功率谱

A．信号与谱的分类

注：功率谱计算的方法之一是由FFT后的谱线平方来得到。

由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱

信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换

后称为谱.

连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限)

绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V,

则前者单位为V,后者单位为V/Hz.

均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz.).

平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz.).

注1平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.

注2功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述, 连续信号的功率谱密度.

为连续(光滑)曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..

注3随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法). 数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.

B.各种谱计算

1. 线性谱Linear Spectrum:对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到, 采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t))

2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum:离散信号的线性谱乘其共轭线性谱APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号).

3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.

CPS(f)=X(f) *conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t))

4. (自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density):

PSD(f)=APS(f)/ΔfΔf—频率分辨率(Hz),

自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系

故功率谱密度也称为规一化的功率谱.

5. 互功率谱密度CSD=CPS(f)/Δf

A.频响函数FRF,传递率

A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用.

H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS / APS.

A2. 频响函数有三种表达形式

频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式.

(两多项式求根后) 频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.

频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.),

例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)

H = 1 / (k+(jω) 2*m+jωC)有理分式(多项式之比)

= (1 /m )* 1/(jω-p1)(jω-p2) 极点,零点和增益ZPK形式

= R1/(jω-p1) + R2/(jω-p2). 部分分式(极点和留数形式)

本例特殊, 分子非多项式,无根(无零点),留数为共轭虚数(一般为共轭复数)

a.共轭极点( 分母多项式的根) p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1

ωd--有阻尼固有频率,ωd=ωn *√1-ζ2

b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2= -1/2j*ωd

c.增益K: K = 1/m

计算留数可用待定系数法或(复变函数中的)留数定理.

多自由度系统中留数包含振型信息.

A3. 频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x N矩阵,但独立元素只有N 个,

测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N, 即激多点,测一点);也可只测一列(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点)

B. 传递率(Transmissibility)

传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,

以位移传递率为例: Tij=Xi(f)/Xj(f)= Xj(f)*conj(Xj(f)) / Xj(f)*conj(Xj(f))=CPSij / APSjj 式中: Xi(f)-- 位移xi的傅里叶变换, Xj(f)-- 位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准)位移.

经典功率谱和Burg法的功率谱估计

现代信号处理作业实验题目：设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。 1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。数据窗采用汉明窗。 2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。 3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。 4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13. 要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。实验原理： 1）。周期图法：又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。 2^ )(1)(jw e X N w P N per = ，其中∑-=-=1 )()(N n jwn N jw N e n x e X 2）。BT 法：对于N 个观察值x(0),x(1),。。。,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。计算r x （m ）为

∑--=-≤+= m N n N N x N m m n x n x N m r 10 1),()(1 )(,计算其傅里叶变换 ∑-=--≤= M M m jwm x BT N M e m r m v w P 1 ,)()()(^ ^ ，作为观察值的功率谱的估计。其中v(m)是平滑窗。 3)。Welch 法：假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M 其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为 2)(1)(^w X MU w P i M i per =，其中∑-=-=1 0)()(M n j w n i M i M e n x w X 。由此得到平均周期图为 ∑-==10 ^_ )(1)(L i i per w P L w P 。其中归一化U 取∑-== 10 2 )(1M n n a M U 。 4）。Burg 法：在约束条件下，使得)(2 1^^^ b f ρρρ+=极小化，其中，约束条件是它所得到的各阶模型解要求满足Levison 递归关系。仿真结果： 1.周期图法

基于Matlab实现现代功率谱估计[1]要点

2011年 8月 15日第 34卷第 16期现代电子技术 M odern Electro nics T echnique A ug. 2011V ol. 34N o. 16 基于 Matlab 实现现代功率谱估计王春兴 (山东师范大学物理与电子科学学院 , 山东济南 250014 摘要 :功率谱估计可以分为经典谱估计和现代谱估计。现代谱的估计可建立 A R 模型对离散信号进行谱估计、建立 M A 模型和 A RM A 模型进行谱估计。基于 M atlab 对三种模型进行仿真 , 并对结果进行了分析。结果显示 , 三种模型对现代谱的获得是有效的 , 并得到较好的谱估计。关键词 :P SE; 现代功率谱估计 ; AR 模型法 ; A RM A 中图分类号 :T N911-34; G202 文献标识码 :A 文章编号 :1004-373X (2011 16-0065-03 Modern Power Spectrum Estimation Based on Matlab W AN G Chun -x ing (Colleg e o f Physics and Elect ro nics, Shando ng No rm al U niversity , Jinan 250014, Chi na Abstract :Po wer spectr um estimation can be divided into classical spectr al estimat ion and modern spectr al estimation. M odern spectr al estimation model can establish AR mo del, M A mo del and ARM A model fo r discr ete sig nals to per for m spec -t ral

matlab程序中功率谱分析的经典常用方法

一、直接法 clear;clc;close all; %清除变量；清屏；关闭当前图形窗口 Fs=1000; t=0:1/Fs:1; nfft=2048; %改变nfft的值可对比不同采样值时的谱估计效果 %****************生成信号、噪声**************% x1=cos(2*pi*40*t)+3*cos(2*pi*45*t);%信号 x2=randn(size(t)); %噪声 x3=x1+x2; %信号+噪声 [Pxx,f]=periodogram(x3,window,nfft,Fs); %直接法 plot(f,10*log10(Pxx)); title('直接法 nfft=2048'); set(gca,'xlim',[1 120]); ylabel('Am/dB'); xlabel('Frequency/Hz'); 二、间接法 Fs=1000;% 采样频率 n=0:1/Fs:1;% 产生含有噪声的序列 x1=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*45*n);%信号x2=randn(size(n)); %噪声x3=x1+x2; %信号+噪声 nfft=1024; cxn=xcorr(x3);% 计算序列的自相关函数 CXk=fft(cxn); Pxx=abs(CXk); index=0:round(nfft/2-1); f=index*Fs/nfft; plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); figure (1) plot(f,plot_Pxx); title('间接法 nfft=1024');ylabel('Am/dB'); set(gca,'xlim',[1 120]); xlabel('Frequency/Hz'); 三、Bartlett法 clear;clc;close all; %清除变量；清屏；关闭当前图形窗口 Fs=1000; t=0:1/Fs:1; nfft=1024; %****************生成信号、噪声**************% x1=cos(2*pi*40*t)+3*cos(2*pi*45*t);%信号 x2=randn(size(t)); %噪声 x3=x1+x2; %信号+噪声 window=hamming(512); %海明窗 noverlap=0; %数据无重叠 p=0.9; %置信概率 [Pxx,Pxxc]=psd(x3,nfft,Fs,window,noverlap,p); index=0:round(nfft/2-1); k=index*Fs/nfft; plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1)); figure(1) plot(k,plot_Pxx);title('Bartlett法海明窗');; set(gca,'xlim',[1120]);ylabel('Am/dB'); xlabel('Frequency/Hz'); 四、Welch法

经典功率谱估计方法实现问题的研究

1 随机信号的经典谱估计方法估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。它的主要特点是与任何模型参数无关，是一类非参数化方法[4]。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计（BT ）、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch 法这四种方法。 2.1 周期图法周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N 长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱)(jw x e S 的估计)(jw x e S 的抽样. 周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。只是1965年FFT 出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法[5]包含了下列两条假设： 1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段 )(n x N 来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。 2．由于对)(n x N 采用DFT ，就默认)(n x N 在时域是周期的，以及)(k x N 在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段)(n x N 的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比，相关法在求相关函数)(m R x 时将 )(n x N 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除)(n x N 外 x(n)是全零序列，这种处理方法显然与周期图法不一样。但是，当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。通过比较我们发现：如果相关法中M=N ，不加延迟窗，那么就和补充（N-1）个零的周期图法一样了。简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。因此相关法和周期图法可结合使用。 2.2 相关法谱估计（BT ）法

现代功率谱估计

现代功率谱估计淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它是随机信号处理的重要内容，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中。其实现方法主要可分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计方法由于其种种缺点，迫使人们大力研究现代谱估计方法。现代谱估计法是以参数模型为基础的方法，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC 方法等。本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。关键词功率谱估计现代信号处理 Matlab

引言功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。傅立叶级数提出后，19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用。周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。 1948年，Bartlett首次提出了用自回归模型系数计算功率谱。自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplitz矩阵结构，Levinson曾根据该矩阵的特点于1947年提出了解Yule-Walker的快速计算方法。这些工作为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。1965年，Cooley和Tukey提出的FFT算法，也促进了谱估计的迅速发展。现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方差性能不好的问题。1967 年，Burg 提出的最大熵谱估计，即是朝着高分辨率谱估计所作的最有意义的努力。由于随机信号是一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。如果随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它的功率谱密度函数，简称功率谱。功率谱反映了单位频带内随机信号的一个样本信号来对该随机过程的功率谱密度函数做出估计。本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。

功率谱估计方法的比较

功率谱估计方法的比较摘要：本文归纳了信号处理中关键的一种分析方法, 即谱估计方法。概述了频谱估计中的周期图法、修正的协方差法和伯格递推法的原理，并且对此三种方法通过仿真做出了对比。关键词：功率谱估计；AR 模型；参数引言：谱估计是指用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的谱。由于谱中包含了信号的很多频率信息，所以分析谱、对谱进行估计是信号处理的重要容。谱估计技术发展渊源很长，它的应用领域十分广泛，遍及雷达、声纳、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其容、方法都在不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。谱估计的理论和方法是伴随着随机信号统计量及其谱的发展而发展起来的，最早的谱估计方法是建立在基于二阶统计量, 即自相关函数的功率谱估计的方法上。功率谱估计的方法经历了经典谱估计法和现代谱估计法两个研究历程，在过去及现在相当长一段时间里，功率谱估计一直占据着谱估计理论里的核心位置。经典谱估计也成为线性谱估计，包括BT 法、周期图法。现代谱估计法也称为非线性普估计，包括自相关法、修正的协方差法、伯格（Burg ）递推法、特征分解法等等。原理：经典谱估计方法计算简单，其主要特点是谱估计与任何模型参数无关，是一类非参数化的方法。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据的观测区间以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，经典法的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。现代谱估计方法使用参数化的模型，他们统称为参数化功率谱估计，由于这类方法能够给出比经典法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法。下面分别介绍周期图法、修正的协方差法和伯格递推法。修正的协方差法和伯格递推法采用的模型均为AR 模型。（1）周期图法周期图法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。假设随机信号x(n)只观测到一段样本数据，n=0, 1, 2, …, N-1。根据这一段样本数据估计自相关函数，如公式（1）对（1）式进行傅里叶变换得到（2）式。 ∑--=+=1||0 *) ()(1 )(?m N n xx m n x n x N m r

MATLAB仿真实现经典谱估计(采用周期图法)

数字信号处理课程实验报告实验指导教师：黄启宏实验名称 MATLAB 仿真实现经典谱估计（采用周期图法）专业、班级电子与通信工程姓名张帅实验地点仿古楼301 实验日期 2013.11.17 一、实验内容采用周期图法（直接法）实现经典谱估计。二、实验目的（1）掌握周期图法（直接法）估计出功率谱的步骤和方法；（2）在实验的过程中找到影响经典谱估计的因素；（3）了解周期图法（直接法）估计功率谱的缺陷。三、实验原理把随机信号()x n 的N 点观察数据()N x n 视为一能量有限信号，直接取得()N x n 傅里叶变换，得()jw N x e ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对()x n 真实的功率谱()jw P e 的估计。即为： ^ 21()|()|PER N P X N ωω= ^ 21()|()|PER N P k X k N = 四、涉及实验的相关情况介绍（包含使用软件或实验设备等情况）一台安装MATLAB 软件的电脑

五、实验记录程序、相关的图形、相关数据记录及分析）（ %采用直接法（周期图法）估计功率谱； clear Fs = 1000;%采样频率 n = 0:1 /Fs: .3;%产生含有噪声的序列 xn = cos(200*pi*n)+0.1*randn(size(n)); subplot(311);%输出随机信号xn； plot(n,xn);xlabel('时间');ylabel('幅度');title('输入信号x（n）'); axis([0 0.3 -2 2]); grid on; window = boxcar( length( xn) ) ;%矩形窗 nfft = 512; [Pxx f]= periodogram( xn,window,nfft,Fs) ;%直接法 subplot(312) plot( f,10* log10( Pxx) ) ; title('直接法经典谱估计,512点'); xlabel('频率（Hz）'); ylabel('功率谱密度'); grid on; window = boxcar( length( xn) ); nfft = 1024;

功率谱估计

功率谱估计及其MATLAB仿真詹红艳（201121070630控制理论与控制工程）摘要:从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。关键词:功率谱估计;周期图法;AR参数法;Matlab Power Spectrum Density Estimation and the simulation in Matlab Zhan Hongyan （201121070630Control theory and control engineering） Abstract:Mainly introduces the principles of classical PSD estimation and modern PSD estimation,discusses the characteristics of the methods of realization in Matlab.Moreover,It gives an example of each part in realization using Matlab functions. Keywords:PSDPstimation,Periodogram method,AR Parameter method,Matlab 1引言现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。 Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,人称矩阵实验室,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境,成为目前极为流行的工程数学分析软件。也为数字信号处理进行理论学习、工程设计分析提供了相当便捷的途径。本文的仿真实验中,全部在Matlab6.5环境下调试通过;随机序列由频率不同的正弦信号加高斯白噪声组成。 2经典功率谱估计经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为:相关函数法(BT法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法,其中周期图法应用较多,具有代表性。 1.1相关函数法(BT法) 该方法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n),然后对R(n)进行傅立叶变换,便得到x(n)的功率谱估计。当延迟与数据长度相比很小时,可以有良好的估计精度。 Matlab代码示例1: Fs=500;%采样频率 n=0:1/Fs:1;

功率谱密度

t=0:0.0001:0.1; %时间间隔为0.0001，说明采样频率为10000Hz x=square(2*pi*1000*t); %产生基频为1000Hz的方波信号 n=randn(size(t)); %白噪声 f=x+n; %在信号中加入白噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(f); %画出原始信号的波形图 ylabel('幅值(V)'); xlabel('时间(s)'); title('原始信号'); y=fft(f,1000); %对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT采样点的个数为1000 subplot(2,1,2); m=abs(y); f1=(0:length(y)/2-1)'*10000/length(y);%计算变换后不同点对应的幅值plot(f1,m(1:length(y)/2)); ylabel('幅值的模'); xlabel('时间(s)'); title('原始信号傅里叶变换'); %用周期图法估计功率谱密度 p=y.*conj(y)/1000; %计算功率谱密度 ff=10000*(0:499)/1000; %计算变换后不同点对应的频率值 figure(2); plot(ff,p(1:500)); ylabel('幅值'); xlabel('频率(Hz)'); title('功率谱密度（周期图法）'); 功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计

功率谱和功率谱密度的区别

谱让人联想到的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两点需要注意： 1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。频谱分析：对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。功率谱密度：功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度； 2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度； 3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周

matlab经典、现代功率谱估计

上机作业： 1、假设一平稳随机信号为()()()0.81x n x n w n =?+，其中是均值为0，方差为1的白噪声，数据长度为1024。（1）、产生符合要求的)(n w 和)(n x ；（2）、给出信号)(n x 的理想功率谱；（3）、编写周期图谱估计函数，估计数据长度N=1024及256时信号功率谱，分析估计效果。（4）、编写Bartlett 平均周期图函数，估计当数据长度N=1024及256时，分段数L 分别为2和8时信号的功率谱，分析估计效果。一、解题思路 w(n)可以通过随机序列randn(1,N)来产生，x(n)可以通过对w(n)滤波产生（由递推式可得系统的传递函数），也可以直接由递推式迭代产生。由于线性系统的输出功率谱等于输入功率谱乘以传递函数模的平方，X(n)可以看做w(n)通过一线性系统的输出，H(z)=1/(1-0.8z)。所以x(n)的理想功率谱P(e jw )=σw 2|H(e jw )|2。周期图方法：直接对观测数据做FFT 变换，变换的结果取模的平方再除以数据长度，作为估计的功率谱。256个观测点时可以对原观测数据以4为间隔提取得到。 Bartlett 法：将L 组独立的观测数据分别求周期图，再将L 个周期图求平均作为信号的功率谱估计。L 组数据可以通过对原观测数据以L 为间隔提取得到。二、MATLAB 实现程序及注解 clc; clear;close all; Fs=500; %采样率 N=1024; %观测数据 w=sqrt(1)+randn(1,N); %0均值,方差为1的白噪声,长度1024 x=[w(1) zeros(1,N-1)]; %初始化x(n),长度1024,x(1)=w(1) for i=2:N x(i)=0.8*x(i-1)+w(i); %迭代产生观测数据x(n) end %% 理想功率谱 [h,w1]=freqz(x); figure,plot(w1*500/(2*pi),10*log10(abs(h).^2));grid on; title('理想功率谱'); xlabel('频率'); ylabel('功率db'); %% 周期图法 %1024个观测点 Pxx=abs(fft(x)).^2/N; %周期图公式 Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); %化为db figure;plot(k,Pxx);grid on; title('周期图1024点');

功率谱图应用

1.基本方法周期图法是直接将信号的采样数据x(n)进行Fourier变换求取功率谱密度估计的方法。假定有限长随机信号序列为x(n)。它的Fourier变换和功率谱密度估计存在下面的关系：式中，N为随机信号序列x(n)的长度。在离散的频率点f=kΔf,有：其中，FFT[x(n)]为对序列x(n)的Fourier变换，由于FFT[x(n)]的周期为N，求得的功率谱估计以N为周期，因此这种方法称为周期图法。下面用例子说明如何采用这种方法进行功率谱用有限长样本序列的Fourier变换来表示随机序列的功率谱，只是一种估计或近似，不可避免存在误差。为了减少误差，使功率谱估计更加平滑，可采用分段平均周期图法（Bartlett法）、加窗平均周期图法（Welch 法）等方法加以改进。 2. 分段平均周期图法（Bartlett法）将信号序列x(n)，n=0,1,…,N-1，分成互不重叠的P个小段，每小段由m个采样值，则P*m=N。对每个小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均作为整个序列x(n)的功率谱估计。平均周期图法还可以对信号x(n)进行重叠分段，如按2:1重叠分段，即前一段信号和后一段信号有一半是重叠的。对每一小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均值作为整个序列x(n)的功率谱估计。这两种方法都称为平均周期图法，一般后者比前者好。程序运行结果为图9-5，上图采用不重叠分段法的功率谱估计，下图为2:1重叠分段的功率谱估计，可见后者估计曲线较为平滑。与上例比较，平均周期图法功率谱估计具有明显效果（涨落曲线靠近0dB）。 3.加窗平均周期图法加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进。在信号序列x(n)分段后，用非矩形窗口对每一小段信号序列进行预处理，再采用前述分段平均周期图法进行整个信号序列x(n)的功率谱估计。由窗函数的基本知识（第7章）可知，采用合适的非矩形窗口对信号进行处理可减小“频谱泄露”，同时可增加频峰的宽度，从而提高频谱分辨率。其中上图采用无重叠数据分段的加窗平均周期图法进行功率谱估计，而下图采用重叠数据分段的加窗平均周期图法进行功率谱估计，显然后者是更佳的，信号谱峰加宽，而噪声谱均在0dB附近，更为平坦（注意采用无重叠数据分段噪声的最大的下降分贝数大于5dB，而重叠数据分段周期图法噪声的最大下降分贝数小于5dB）。 4. Welch法估计及其MATLAB函数 Welch功率谱密度就是用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计的。Welch 法采用信号重叠分段、加窗函数和FFT算法等计算一个信号序列的自功率谱估计(PSD如上例中的下半部分的求法)和两个信号序列的互功率谱估计（CSD）。 MATLAB信号处理工具箱函数提供了专门的函数PSD和CSD自动实现Welch法估计，而不需要自己编程。（1）函数psd利用Welch法估计一个信号自功率谱密度，函数调用格式为： [Pxx[,f]]=psd(x[,Nfft,Fs,window,Noverlap,’dflag’]) 式中，x为信号序列；Nfft为采用的FFT长度。这一值决定了功率谱估计速度，当Nfft采用2的幂时，程序采用快速算法；Fs为采样频率；Window定义窗函数和x分段序列的长度。窗函数长度必须小于或等于Nfft，否则会给出错误信息；Noverlap为分段序列重叠的采样

(完整版)功率谱估计性能分析及Matlab仿真

功率谱估计性能分析及Matlab 仿真 1 引言随机信号在时域上是无限长的，在测量样本上也是无穷多的，因此随机信号的能量是无限的，应该用功率信号来描述。然而，功率信号不满足傅里叶变换的狄里克雷绝对可积的条件，因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。因此，要实现随机信号的频域分析，不能简单从频谱的概念出发进行研究，而是功率谱[1]。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。谱估计方法分为两大类：经典谱估计和现代谱估计。经典功率谱估计如周期图法、自相关法等，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差，频率分辨率低。方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算[2]。分辨率低的原因是在周期图法中，假定延迟窗以外的自相关函数全为0。这是不符合实际情况的，因而产生了较差的频率分辨率。而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率，如自相关法和Burg 法等。 2 经典功率谱估计经典功率谱估计是截取较长的数据链中的一段作为工作区，而工作区之外的数据假设为0，这样就相当将数据加一窗函数，根据截取的N 个样本数据估计出其功率谱[1]。 2.1 周期图法( Periodogram ) Schuster 首先提出周期图法。周期图法是根据各态历经的随机过程功率谱的定义进行的谱估计。取平稳随机信号()x n 的有限个观察值(0),(1),...,(1)x x x n -，求出其傅里叶变换 1 ()()N j j n N n X e x n e ω ω---==∑ 然后进行谱估计

功率谱估计介绍(介绍了matlab函数)

功率谱估计介绍谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT 等技术来计算功率谱。与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。matlab中，welch法用函数psd实现。调用格式如下： [Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP) X：输入样本数据 NFFT：FFT点数 Fs:采样率 WINDOW：窗类型 NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。由于涉及的问题太多，这里不再详述，可以参考有关资料。matlab中，现代谱估计的很多方法都可以实现。music方法用pmusic命令实现；pburg函数利用burg法实现功率谱估计；pyulear函数利用yule-walker算法实现功率谱估计等等。另外，sptool工具箱也具有功率谱估计的功能。窗口化的操作界面很方便，而且有多种方法可以选择在海杂波抑制的研究中，对海杂波谱分析一定要用到谱估计理论，一定得花时间学好！

功率谱估计浅谈汇总

功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。本文主要介绍一种方法：周期图法。周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：

AR功率谱估计MatlAB

AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容 AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容。 1．AR 模型的Yule—Walker方程和Levinson-Durbin递推算法：在MATLAB中，函数levinson和aryule都采用 Levinson-Durbin递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,……,ap及白噪声序列的方差，只是两者的输入参数不同，它们的格式为： A=LEVINSON(R,ORDER) A=ARYULE(x,ORDER) 两函数均为定阶ORDER的求解，但是函数levinson的输入参数要求是序列的自相关函数，而函数aryule的输入参数为采样序列。下面语句说明函数levinson和函数aryule的功能是相同的：例子： randn('seed',0) a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5]; x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20; r=xcorr(x,'biased'); r(1:length(x)-1)=[]; A=levinson(r,5) B=aryule(x,5) 2．Burg算法：格式为：A=ARBURG(x,ORDER); 其中x为有限长序列，参数ORDER用于指定AR 模型的阶数。以上面的例子为例： randn('seed',0) a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5]; x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20; A=arburg(x,5)

3.改进的协方差法：格式为：A=ARMCOV(x,ORDER); 该函数用来计算有限长序列x(n)的ORDER阶AR 模型的参数。例如：输入下面语句： randn('seed',0) a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5]; x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20; A=armcov(x,5) AR模型阶数P的选择： AR 模型阶数P一般事先是不知道的，需要事先选定一个较大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson—Durbin递推方法时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率Pmin（相当于白噪声序列的方差）是递减的。直观上讲，当预测误差功率P达到指定的希望值时，或是不再发生变化时，这时的阶数即是应选的正确阶数。因为预测误差功率P是单调下降的，因此，该值降到多少才合适，往往不好选择。比较常见的准则是：最终预测误差准则：FPE(r)=Pr{[N+(r+1)]/ [N-(r+1)]} 信息论准则：AIC(r)=N*log(Pr)+2*r 上面的N为有限长序列x(n)的长度，当阶数r由1增加时，FPE(r) 和AIC(r)都将在某一r处取得极小值。将此时的r定为最合适的阶数p。 MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明： 1． Pyulear函数：功能：利用Yule--Walker方法进行功率谱估计. 格式： Pxx=Pyulear(x,ORDER,NFFT) [Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT) [Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs) Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)

现代信号处理经典的功率谱估计

《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087 专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。三、具体的实现步骤 1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的

真实功率谱的估计的一个抽样。 1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。 1.2 MATLAB源代码实现 clear all; %清除工作空间所有之前的变量 close all; %关闭之前的所有的figure clc; %清除命令行之前所有的文字 n=1:1:128; %设定采样点n=1-128 f1=0.2; %设定f1频率的值0.2 f2=0.213; %设定f2频率的值0.213 A=1; %取定第一个正弦函数的振幅 B=1; %取定第一个正弦函数的振幅 a=0; %设定相位为0 x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0 temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换 pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计