高二数学数列知识点总结

高二期末复习数列知识点复习小结

一、数列定义：

数列是按照_____________排列的一列数，是定义在正整数集*

N （或它的有限子集

},,3,2,1{n ）上的函数)(n f ，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列

函数值为 ),2(),1(f f ； 通常用n a 代替)(n f ，于是数列的一般形式常记为___________或简记为_________，其中n a 表示数列}{n a 的_________。

注意：（1）}{n a 与n a 是不同的概念，}{n a 表示_________，而n a 表示的是_________；

（2）n a 和n S 之间的关系：??

?≥==)2(__________

)1(__________

n n a n

比中项为G （满

（1）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --=

（2）在等差数列中n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、

负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(3)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，

有 nd S S =-奇偶， 1

+=

n n

a a S S 偶

奇, （4）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，

有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇， 1

-=

n n S S 偶

奇. 三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：________________________}{n a ?是等差数列 ②中项公式法：________________________}{n a ?是等差数列 ③通项公式法：________________________}{n a ?是等差数列

④前n 项和公式法：________________________}{n a ?是等差数列 （2）等比数列的判定方法：

①定义法：________________________}{n a ?是等比数列 ②中项公式法：________________________}{n a ?是等比数列 ③通项公式法：________________________}{n a ?是等比数列 ④前n 项和公式法：________________________}{n a ?是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：

（2）已知n S 求n a ：??

?≥==)2(__________

)

1(__________n n a n ，例如

①已知1532++=n n S n ，求n a =_________；②已知}{n a 中， n n a S 23+=，求n a =________

③已知}{n a 中，)2(1

22,12

1≥-==n S S a a n n n ，求n a =__________

（3）公式法：递推式为d a a n n +=+1及n n qa a =+1（q d ,为常数）直接运用等差（比）数列通项公式

（4）累加法：递推式为)(1n f a a n n +=+

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用累加法

如：数列{}n a 中，()1

1113

2n n n a a a n --==+≥，，求n a =_____________

（5）累乘法：递推式为n n a n f a )(1=+

如：已知}{n a 中21=a ，n n a n

n a 1

1+=

+，求n a =__________ （6）待定系数法：递推式为q pa a n n +=+1（q p ,为常数）： 设)()(1t a p t a n n +=++，得到q t pt =-，1-=

p q t ，则}1

{-+

p q

a n 为等比数列。 如：已知52,111+==+n n a a a ，求n a =___________

（7）转化法：递推式为n

n n q pa a +=+1（q p ,为常数）： 两边同时除去1+n q 得

q q a q p q a n n n n 111+?=++，令n

n n q

a b =，转化为q b q p b n n 1

1+=+，再用（6）法解决。 如：已知}{n a 中，6

5

1=

a ，11)21(31+++=n n n a a ，求n a =_____________

（8）倒数法；如：11212

n n n a a a a +==+，，求n a =______________ 五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前n 项和公式 ②=++++n 321__________； ③6

)

12)(1(3212222++=

++++n n n n ； ④23333]2)1([321+=++++n n n

（2）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

如：已知2

2()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??????++++++= ? ? ??????? __

（3）并项法：如：求100994321100-++-+-= S =________

（4）分组求和法：如：在数列}{n a 中，1210-+=n a n n ，求n S =_________

（5）错位相减法：若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）

前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

如：求和：n

nx x x x S ++++= 3

2

32=______________

（6）裂项相消法：裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，

留下有限项，从而求出数列的前n 项和。

如通项公式为=+=

)

1(1

n n a n ；=++=

n

n a n 11 ；

如：①=+?++?+?+?=

)1(1431321211n n S ； ②=+?++?+?=

)

2(1

421311n n S ； ③若1

1++=

n n a n ，则=n S ；

六、数列问题的解题应注意要点：

①在等比数列中，用前n 项和公式时，要对公比q 进行讨论；只有q ≠1 时才能用前n 项和公

式，q=1时11na S =

②已知n S 求n a 时，要对2,1≥=n n 进行讨论；最后看1a 满足不满足)2(≥n a n ，若满足n a 中的n 扩展到*

N ，不满足分段写成n a