二维形式的柯西不等式
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式 课件
知识点二 求最值
3．函数 f(x)＝ 1－cos 2x＋cos x，则 f(x)的最大值是( )
A. 3
B. 2
C．1
D．2
解析：∵f(x)＝ 2· sin2x＋cos x.
又( 2· sin2x＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，
∴f(x)＝ 2 sin2x＋cos x≤ 2＋1sin2x＋cos2x＝ 3， 当且仅当 cos x＝ 33时取等号， ∴f(x)的最大值为 3. 答案：A
4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2 的最小值为________．
解析：由柯西不等式得，(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2， 所以 5(m2＋n2)≥52，得 m2＋n2≥5，所以 m2＋n2≥ 5.
答案： 5
知识点三 柯西不等式的向量形式的应用
θ2＋sinb
θ2·
1
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2.
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
≥
a1b1·
ab11＋
a2b2·
a22 b2
＝(a1＋a2)2.
a22 b2
2．设mx22＋ny22＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.
证明：因为mx22＋ny22＝1， 所以 x2＋y2＝(x2＋y2)mx22＋ny22 ≥x·mx ＋y·ny2 ＝(m＋n)2.
a2＋b2· c2＋d2≥__|_a_c_＋__b_d_| _(a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥_|_a_c_|＋__|b_d_|_(a，b，c，d∈R)．
二维形式的柯西不等式
思考：求函数y 3 x 1 4 10 2x的最大值 3 x 1 4 10 2x =3 x 1 4 2 5 x
32 +（4 2）2 ( x 1)2 ( 5 x)2 =2 41
随堂练习
1.已知a2 b2 1,求证|a cos bsin |1
a2 a b2 b 2 a3 b3 2
推论 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
a2 b2 c2 d 2 ac bd ad bc
a2b2(a,cb2), d 2 (ca, d2 ) b 2 c 2 d 2
a |c| b | d ||ac || b| d ad bc
(a2 b2)(d 2 c2) (ad bc)2 ac bd 时取“=”
等号成立时条件相同吗？
例题
例1 已知a,b为实数 ,证明
a4 b4
a2 b2
a3 b3
2
.
证明：根据柯西不等式，有
a4 b4 a2 b2 ((a2 )2 (b2 )2 ) a2 b2
| || || || cos |
当且仅当 | cos | 1 时等号成立
即 与 共线
等号
何时成, 是两个向量,则
| || || |
当且仅当 是零向量,或存在实数k, 使 k 时,等号成立. ac bd a2 b2 c2 d 2 (ad bc)
二维形式的柯西不等式
证定明理：1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c, d都是实数,则
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当 ad bc 时,等号成立
平方和的乘积不 小于乘积和的平
方
二维形式的柯西不等式
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
(a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2
2
牛刀小试 例1:设
1 1 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
a 代替a, b 代替b
2
2
a代替c, b代替d
探究2
ab 2
ab ( a, b 0)
D
当且仅当弦为直径时， 等号成立。
A
a
ab 2 ab
O C
b
B
• 半径不小于半弦长
E
探究2
探究2： 二维形式的柯西不等式：
(a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2
2
那它表示的几何意义又是什么呢？
1 1 1 ≥ a4 b 时,等号成立。 ∴ 当且仅当 a 1 b 1 2
∴
≥4 a b
牛刀小试
例 2:设 a , b R, 求证 : (a 4 b 4 )( a 2 b2 ) (a3 b3 )2 .
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
探究1
将我们发现的不等式写成定理形式：
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能否简明地写出这个定理的证明？
探究1
a代替a b代替b
a b 2ab
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
二维形式的柯西不等式 课件
(2)如图，平面内点 B(c，d)到直线 ax＋by＝0 的距离 BH 不 大于线段 OB 的长，因此有
|aca＋2＋bbd2|≤ c2＋d2. 即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(3)如图所示，构造△AOB，点 A(a，b)，B(c，d)，在△AOB 中应用余弦定理可得，
cos∠AOB＝OA2＋2OOAB·O2－B AB2
(2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等 式：
对于任何实数 a，b，c，d，以下不等式成立： a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
2．对二维柯西不等式的认识 二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方 面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉 地应用它． (1)由代数恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，把 非负数(ad－bc)2 舍去，易得不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
x1－x32＋y1－y32
＋
≥______________.
x2－x32＋y2－y32
1.ad＝bc 答 2.|α||β| 零向量 α＝kβ 案 3. x1－x22＋y1－y22
4. x1－x22＋y1－y22
思考探究 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件 可以写成ab＝dc吗？ 提示 不可以．当 b·d＝0 时，柯西不等式成立，但ab＝dc不 成立．
2．用柯西不等式求最值时的关键是什么？ 提示 利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一 边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.
名师点拨 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1：不等式中等号成立的条件是 ad＝bc.这时我们称 (a，b)，(c，d)成比例．如果 c≠0，d≠0，那么 ad＝bc⇔ac＝bd， 若 cd＝0，我们分情况说明：①c＝d＝0，原不等式两边都为 0， 显然成立；②当 c＝0，d≠0 时，原不等式化为(a2＋b2)d2≥b2d2， 是显然成立的；③当 c≠0，d＝0 时，道理和②一样，也是成立 的．所以当 cd＝0 时，不等式也成立．
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
同理： 2· b2＋c2≥b＋c， 2· a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2· (a＋b＋c)．
[悟一法]
利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等 式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a ＋b)· (c＋d)≥( ac＋ bd)2，其中 a，b，c，d∈R＋.
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
[通一类]
2．设 a，b∈R*，且 a＋b＝2. a2 b2 求证： ＋ ≥2. 2－a 2－b
证明：根据柯西不等式，有 a2 b2 [(2－a)＋(2－b)]( ＋ ) 2－a 2－b a 2 b 2 ＝[( 2－a) ＋( 2－b) ][( ) ＋( )] 2－a 2－b
2 2
a b 2 ≥( 2－a· ＋ 2－b· ) 2－a 2－b ＝(a＋b)2＝4. a2 b2 4 ∴ ＋ ≥ ＝2. 2－a 2－b 2－a＋2－b ∴原不等式成立.
2 2 2 2
x y 当且仅当 ＝ 时等号成立， 3 4
3x＋4y＝2， 由x y 3＝4. 6 x＝25， 得 y＝ 8 . 25 6 8 因此， x＝ ，y＝ 时，x2＋y2 取得最小值， 当 25 25 4 最小值为 . 25
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）设x1,Fra biblioteky, 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
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不等式选讲第11课时
二维形式的柯西不等式
学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，
其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：略。
推论：
1．||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)
2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)
3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）
例1：已知a,b 为实数，求证2
332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。
所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。
（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
3
6427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x
x y
当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27
127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2
2.求函数x x y -+-=6453的最大值.
例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+b
a 分析：注意到)11)((11
b a b a b a ++=+，有了)11)((b
a b a ++就可以用柯西不等式了。
课堂练习：已知x+2y=1, 求x 2+y 2的最小值.
几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，
所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则
||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 分析：（课件）
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。
作业：P37页，4，5， 7，8，9
不等式选讲第12课时
一般形式的柯西不等式
学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学过程：
一．复习：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，
则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二．新课
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到
成立.1,2,3)时，等号(b 使得a ，或存在一个实数k， 即共线时，
， 当且仅当)b a b a b (a )b b )(b a a (a 2332211232221232221===++≥++++i i i k 这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i
b a b a ，其中等号当且仅当n
n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=
即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n
i i n i i i n i i b x b a x a x f 12
1212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，
即：0))((4)(4121221
≤-=∆∑∑∑===n
i i n i i n i i
i b a b a ， 即：))(()(12
1221∑∑∑===≤n i i n
i i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当n
n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
如果i a （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立。
二、典型例题：
例1、 已知a 1,a 2,…,a n 都是实数，求证：22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++ 分析：用n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例2、 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
的最小值. 求1,32 例3、已知222z y x z y x ++=++
分析：由的 132 222z y x z y x ++=++以及形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。
练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=1，求z
y x 941++的最小值。
2．已知a+b+c+d=1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值。
3．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+3c=9，求c b a ++23的最大值。
选做：4．已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+2b 2+3c 2=6，求a+b+c 的最小值。
（08广一模）
5．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+c=1，求c
b a 111++的最小值。
（08东莞二模） 6．已知x+y+z=52，则m=x 2+2y 2+z 2的最小值是____________.(08惠州调研)
三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。
五、作业：P41习题3.2 2，3，4，5。