合情推理

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点) 2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)3．了解合情推理在数学发现中的作用．[基础·初探]教材整理1归纳推理和类比推理阅读教材P22～P26“例4”以上内容，完成下列问题.定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()【解析】(1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理．(2)错误．类比推理不一定正确．(3)正确．由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2合情推理阅读教材P27～P29的内容，完成下列问题．1．含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是()A．log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．a x＋y＝a x＋a yD．a·(b＋c)＝a·b＋a·c【解析】由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．【答案】 D[小组合作型]归纳推理(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 017等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________. 【导学号：81092010】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：续表[再练一题]1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图2-1-2A．26B．31C．32D．36(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第六个三角形数是________．图2-1-3【解析】 (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28类比推理在几何中的应用如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c ＝1. 【导学号：81092011】图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a 12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △P ABS △ABC .∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P ABS △ABC＝1. 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a＋p b h b＋p c h c＋p dh d＝1.证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·pa 13S △BCD ·h a＝V P -BCDV A -BCD，同理，p b h b＝V P -ACD V A -BCD，p c h c＝V P -ABD V A -BCD，p d h d＝V P -ABCV A -BCD.∵V P -BCD ＋V P -ACD ＋V P -ABD ＋V P -ABC ＝V A -BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P -BCD ＋V P -ACD ＋V P -ABD ＋V P -ABC V A -BCD＝1.1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．[再练一题]2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面P AB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.[探究共研型]类比推理在其他问题中的应用探究子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理．探究2 在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有什么性质？【提示】 由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .探究3 观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式是什么？【提示】 观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明．【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→ 双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2.则k PM·k PN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．[再练一题]3．在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有T20T10，T30 T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和．可类比得到的结论是________.【导学号：81092012】【解析】因为等差数列{a n}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为3001．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5)．图2-1-5则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【解析】观察前4个正方形数，恰好是序号加1的平方，所以第n个正方形数应为(n＋1)2.【答案】 D2．如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图2-1-6A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.【答案】 A3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) 【导学号：81092013】A.r 22B.l 22C.lr 2D ．无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310.(2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5. 学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”【解析】由实数运算的知识易得C项正确．【答案】 C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，图2-1-7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A二、填空题6．观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， …由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥________.【解析】 52－225－2≥2×72＝21×⎝⎛⎭⎪⎫5＋222－1， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5， 由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r≥ s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r .【答案】 s r ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r7．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 48．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋.10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】 如图所示，由射影定理，得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1 BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC ＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1 AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD ＝A，∴AB⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1 AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1 AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于() 1×9＋2＝11；12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 B2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C3．如图2-1-8所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____________________________________．【导学号：81092015】图2-1-8【解析】如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)．又因为FB→⊥AB→，所以FB→·AB→＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝1＋52或e＝1－52(舍去)．【答案】1＋524．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝3 4sin 2α＋34cos2α＝34.。