巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(四)理科数学及答案
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷(四)数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合1lg 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，{}11B x x =->，则A B =I （ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(,0)(2,)-∞+∞UD ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A解不等式确定集合,A B ，再求交集． 解：由101x x ->+，得1x <-或1x >，即(,1)(1,)A =-∞-+∞U ， 由11x ->，得2x >或0x <，即(,0)(2,)B =-∞+∞U ， ∴(,1)(2,)A B =-∞-+∞I U ． 故选：A.本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域，掌握集合运算的概念是解题基础．2．2(2dx +=⎰（ ）A ．4π+B ．42π+C ．44π+D ．2π+【答案】A由定积分公式，22(22dx dx =+⎰⎰，其中0由定积分的几何意义求解．解：22(22dx dx +=+⎰⎰222240dx x ⎰==，以原点为圆心，2 为半径作圆，如图，2204x dx -⎰表示圆在第一象限部分的面积，∴2204x dx -⎰2124ππ=⨯⨯=，∴222220(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰4π=+．故选：A.本题考查定积分，考查定积分的几何意义．属于基础题．3．直线220x y ++=与圆224x y +=交于,A B 两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为（ ） A 5B ．45C ．85D ．165【答案】C求出圆心到直线的距离，由垂径定理求得弦长，然后可求面积． 解：圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为4r =， 圆心到直线AB 的距离为222512d ==+ ∴22222585222()55AB r d =-=-=，∴118525822555OAB AB d ∆==⨯=． 故选：C.本题考查直线与圆相交问题，直线与圆相交弦长一般用垂径定理求解，即求出圆心到直线的距离，用勾股定理求弦长．4．已知22(2)()4x f x x +=+，则()f x 在区间[2,2]-上的最大值最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】A求导数，确定函数的单调性，再求最值．解：22222(2)444()1444x x x xf x x x x +++===++++，， ()f x '=2222224(4)424(4)(4)(4)x x x x x x +-⋅-=++， ∵22x -≤≤，∴ ()0f x '≥，∴()f x 在[2,2]-上是增函数，∴max ()(2)2f x f ==，min ()(2)0f x f =-=，最大值和最小值的和为2. 故选：A.本题考查函数的最值．用导数确定函数单调性，再求最值是常用方法．5．若实数,x y 满足2402033000x y x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．135C ．103D ．7【答案】C作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．解：作出可行域，如图，五边形OABCD 内部（含边界），作直线:0l x y +=，由24020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即28(,)33C ，向上平移直线l ，z x y =+增大，当直线l 过点28(,)33C 时，2810333z =+=为最大值． 故选：C.本题考查简单的线性规划，作出可行域解题关键． 623cos αα+=，则2cos(2)3πα-=（ ） A ．1718-B ．1718 C ．89-D ．89【答案】C 由已知式求得2cos()36πα-=，然后再由余弦的二倍角公式求值． 解：23cos 3αα+=，得3122(cos )23αα+=，22cos()33πα-=， 2cos()3πα-=， ∴22228cos(2)2cos ()12()1339ππαα-=--=⨯-=-． 故选：C.本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式．7．已知实数0a b >>，则下列不等关系中错误的是（ ）A ．44b b a a +<+B ．lg lg lg22a b a b++> C ．11a b b a+>+D a b a b >-【答案】D对每个不等式进行判断．也可举反例说明不成立．解：∵0a b >>， ∴44(4)4()04(4)(4)b b ab a ab b a b a a a a a a ++-+--==>+++，A 正确； 1lglg (lg lg )22a b ab a b +>=+，B 正确； 111()()(1)0a b a b b a ab+-+=-+>，C 正确；若4,1a b ==，满足0a b >>，但4113a b a b -=-=<=-，D 错误．故选：D.本题考查不等式的证明，不等式的证明可用作差法比较大小，也可用综合法进行证明，还可用反证法证明，如果不等式不成立可以举反例说明．8．已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v ，则AOBBOC S S ∆∆=（ ） A ．1 B ．54C ．2D ．52【答案】D取BC 边中点D ，由5()2AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v 得5AB OD =u u u r u u u r，从而有//AB OD ，5AB OD =，可得OABBODS S ∆∆，从而得所求三角形面积比．解：如图，取BC 边中点D ，则2OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，所以5()2AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v 5OD =u u u r ，∴//AB OD ，5AB OD =，∴OAB BOD S S ∆∆51AB OD ==，又2OBC OBD S S ∆∆=，所以52OAB OBCS S ∆∆=． 故选：D.本题考查向量的线性运算，考查三角形面积比．解题关键是得出//AB OD ，5AB OD =（D 是BC 中点），进而可由三角形面积公式求得面积比．9．已知抛物线2:8x y Γ=，圆222:(2)(4)C x y r -+-=，抛物线Γ与圆C 的某个公共点为P ，若点P 处的抛物线的切线与圆的切线相同，则r =（ ） A ．2 B．C ．4 D ．8【答案】B若点P 处的抛物线的切线与圆的切线相同，则抛物线Γ与圆C 在公共点P 处相切，由两曲线相切可求得r ．解：设00(,)P x y 是两曲线的公共点，它们在P 点处切线相同，由28x y =得，4x y '=，圆心是(2,4)C ，0042PC y k x -=-，2008x y =，∴000244x x y -=--，2000004(2)(4)(4)8x x x y x --=-=-，3064x =，04x =，02y =，∴(4,2)P，r == 故选：B.本题考查则抛物线Γ与圆C 相切，掌握性质“从几何图形上两个曲线在公共点处有相同的切线，则这两个曲线在此公共点处相切”是解题关键．10．已知函数(1),1()1,11f x x f x x x ->⎧=⎨--≤≤⎩，关于x 的方程()log (1)a f x x =+恰有5个解，则a 的取值范围为（ ）A ．1175a ≤<B ．1175a <<C ．1164a <<D ．1164a ≤< 【答案】B根据()f x 求出()f x 有表达式，可用图象来分析，再由()f x 的图象与()log (1)a g x x =+有5个交点可得a 的范围．解：由题意函数()y f x =的图象与log (1)a y x =+的图象有5个交点．作出()f x 的图象，根据函数解析式，其图象在区间[21,21]n n -+（*n N ∈）上的图象与[1,1]-上相同，如图，若1a >，则log (1)a y x =+是增函数，它与()f x 的图象只有一个交点，不合题意，当01a <<时log (1)a y x =+是减函数，要有5个交点，，因此有log (41)1log (61)1a a +>-⎧⎨+<-⎩，解得1175a <<．故选：B.本题考查方程解的个数与函数零点问题．解题时转化为函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．11．将函数22()cos sin f x x x =-的图像向右平移(0)s s >个单位后，得到的图像与函数()sin cos (0)g x a x x a =>的图像关于点(,0)4π对称，则sa 的最小值为（ ）A ．2π B ．34π C ．πD ．32π【答案】D先把两个函数式化简，然后结合函数图象平移与对称得出s 的最小值．a 是确定的． 解：()cos 2f x x =，向右平移(0)s s >个单位后，得到的图像的函数式为()cos 2()h x x s =-，它的图象与1()sin cos sin 22g x a x x a x ==图象关于(,0)4π对称，则12a=，2a =，即()sin 2g x x =,它关于点(,0)4π对称图象的函数解析式是sin 2()sin 22y x x π=--=-cos(2)2x π=+，它就是()cos(22)h x x s =-，∴222k s ππ-=，,4s k k Z ππ=-∈，其中最小的正数是34s π=，33242as ππ=⨯=．故选：D.本题考查函数图象平移变换、对称变换，掌握变换前后函数解析式是解题关键． 函数()y f x =的图象向右平移m 个单位得函数解析式为()y f x m =-，函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称后图象的函数解析式是2(2)y b f a x =--．函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的图象的解析式是(2)y f a x =-．12．已知三棱锥A BCD -的四个顶点均在球O 的球面上，该球的体积为86π，且AB ⊥平面BCD ，BCD ∆是边长为3的等边三角形，则直线AD 与平面ABC 所成角的余弦值为（ ） A ．133 B ．105C ．34D ．7 【答案】A求出球的半径，球心为O ，设E 是BCD ∆的外心，则OE ⊥平面BCD ，由于AB ⊥平面BCD ，因此12OE AB =．得到AB 后， 解：34863R ππ=，6R = 如图， 设O 是球心，设E 是BCD ∆的外心，则OE ⊥平面BCD ，由于AB ⊥平面BCD ，则AB BE ⊥，取AB 中点F ，连接OF ,则OF AB ⊥，∴OFBE 是矩形，12OE FB AB ==，正BCD ∆边长为3，则EB =OE ==AB =连接DE 延长交BC 于M ，则M 是BC 中点，DM BC ⊥，连接AM ，而由AB ⊥平面BCD ，得AB DM ⊥，AB BC B ⋂=，∴DM ⊥平面ABC ，∴DAM ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角．AM ===，AD ===∴cosAMDAM AD∠===故选：A.本题考查直线与平面所成的角，由于三棱锥A BCD -是球内接三棱锥，解题关键是找到球心位置，从而可以计算线段长度．作出直线与平面所成的角也是关键一步．这也是几何法求空间角必须满足的一步，一作二证三计算．二、填空题13．已知a R ∈，复数2a iz i-=+的实部为1（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 【答案】1-先计算z ，由实部为1，求得a 后可得虚部值． 解：()(2)21(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a az i i i i -----+-+====-++-， ∴2115a -=，3a =，∴虚部为215a +-=-． 故答案为：1-．本题考查复数的除法运算，考查复数的概念．掌握复数运算法则是解题基础．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(5,0)F 为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线与,A B 两点，且AB 的中点为4580(,)77M --，则该双曲线的方程为_______. 【答案】221.916x y -=已知弦中点，利用点差法得出,a b 的一个等式，再由焦点坐标得2225a b +=可求得,a b 得双曲线方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得： 1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∵AB 的中点为4580(,)77M --，∴121290160,77x x y y +=-+=-， ∴221212221212()9()16ABy y b x x b k x x a y y a -+===-+， 又80714557AB FMk k -===--，所以229116b a =，即22169a b =， 又22225a b c +==，由222291625b a a b ⎧=⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩． 双曲线方程为221916x y -=．故答案为：221916x y -=．本题考查求双曲线的标准方程，解题关键是利用点差法求得弦AB 的斜率与,a b 的关系．在圆锥曲线中凡是遇到弦中点问题，都可能考虑用点差法寻找关系． 15．在ABC ∆中，3A π=，BC =BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于点D，且BD AD =，则ABC ∆的面积为_______.【答案】在ABD ∆中用正弦定理求得4ABD π∠=，从而有2ABC π∠=，ABC ∆是直角三角形，面积易求． 解：在ABD ∆中，sin sin BD AD A ABD =∠，∴sin sin 32AD ABD BD π∠===，∴4ABD π∠=（三角形内角的一半），∴ 2ABC π∠=．2tan tan 3BC AB A ===，11222ABC S BA BC ∆=⨯=⨯⨯=故答案为：本题考查求三角形面积，考查正弦定理．属于中档题．16．已知函数(0)()1(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，存在(1,1)x ∈-，使得()()0tf x f x -->成立，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】[0,)+∞由于(1,1)x ∈-时，()0f x >，则()()0tf x f x -->转化为()()f x t f x ->，只要求得()()()f xg x f x -=在(1,1)-上的最小值即可． 解：易知当(1,1)x ∈-时，()0f x >，存在(1,1)x ∈-，使得()()0tf x f x -->成立，则()()f x t f x ->， 设()()()f x g x f x -=，则1,01(),101x x x x e g x e x x --+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪+⎩，∴22,01()2,10(1)xx x x e g x x x x e -⎧≤<⎪⎪=⎨--⎪-<<+⎩'⎪．当11x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以(1)0t g ≥=． 所以t 的取值范围是[0,)+∞． 故答案为：[0,)+∞．本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题关键是把不等式恒成立转化为求函数最值．本题属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a S +=+，*n N ∈，在公差不为0的等差数列{}n b 中，24b =，且124,,b b b 成等比数列. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =+++L ，求.n T【答案】（1）13.n n a -=2n b n =（2）(21)31.2n n n T -+=（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 递推关系，从而证明它是等比数列，易得通项公式，数列{}n b 用基本量法求通项公式； （2）用错位相减法求n T ．解：（1）∵121n n a S +=+，∴121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得13(2)n n a a n +=≥， 又因为23a =，∴213a a =， ∴13()N n n a a n +=∈+13.n n a -=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，∵124b b b ，，成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=， ∴2n b n =.（2）12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---=⨯+⨯++++-+L L ，①21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=⨯+⨯++++-+L L ，②②−①得212122323233(2)(21)31n n n n T n n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+=-+L ，∴(21)31.2n n n T -+=本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，则数列11{}n n a a +用裂项相消法求和，数列{}n n a b 用错位相减法求和．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA BC ====，1120A AC ︒∠=，=BC（1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2-（1）记11AC AC O =I ，如图，连接BO ， 通过计算证明OB OC ⊥，从而可证明线面垂直，得面面垂直．（2）以O 为原点，OAOC OB u u u r u u u r u u u r，，分别为x y z ，，轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．解：（1）证明：∵1AC AA =，∴11AC AC ⊥，记11AC AC O =I ，O 是11,AC A C 的中点，如图，连接BO ，在1ACC △中，160ACC ∠=︒， ∴3OC =，12AC AC ==，又12AB BC ==，∴1OB AC ⊥，3OB =， ∴222.OC OB BC OB OC +=⇒⊥ ∵1OB AC O =I ， ∴1A C ⊥平面1ABC .∵1AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC .（2）解：以O 为原点，OAOC OB u u u r u u u r u u u r，，分别为x y z ，，轴正方向建立空间直角坐标系.则11(100)(030)(003)(133)(100)A C B B C ---，，，，，，，，，，，，，，， 11(200)(233)C A AB ==--u u u u r u u u u r，，，，，，由（1）可知(003)OB =u u u r，，为平面11A ACC 的法向量.设平面11AB C 的法向量为()n x y z =r，，，11·20(011).·2330n C A x n n AB x y z ⎧==⎪⇒=⎨=--+=⎪⎩u u u v v vu u u v v，，， 设二面角11B AC C --的大小为π2θθ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则有||2cos .||||OB n OB n θ=-=-u u u r r g u u ur r本题考查面面垂直的证明，考查用空间向量法求二面角．掌握面面垂直的判定定理是解题关键．有了垂直后可建立空间直角坐标系，可用向量法求空间角．19．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名如下：某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表. （1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.【答案】（1）金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人. （2）分布列见解析，() 1.E X =（3）47（1）分层抽样按比例计算各层抽取的人数；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，计算出概率后可得分布列，由于银牌人数就是3人，由分布列计算期望．（3）记事件A 为“3人中有获金牌运动员”，事件B 为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”，求出()P A ，()P AB ，然后由条件概率公式计算概率(|)P B A ．解：（1）由题意可知，德国获奖运动员中，金牌、银牌、铜牌的人数比为2：3：4， 所以这9名获奖运动员中金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，~(933)X H ，，， 3639C 20(0)C 84P X ===，123639C C 45(1)C 84P X ===，213639C C 18(2)C 84P X ===，3339C 1(3)C 84P X ===，X 的分布列为() 1.E X =（3）记事件A 为“3人中有获金牌运动员”，事件B 为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”，3739C 7()1C 12P A =-=， 2111223439(C C C )C 1()C 3P AB +==，()4(|)()7P AB P B A P A ==.本题考查分层抽样，考查随机变量的概率分布列和期望，考查条件概率．本题考查了学生的数据处理能力．属于中档题．20．已知椭圆22:142x y Γ+=，直线y t =与该椭圆交于,A B 两点，M 为椭圆上异于,A B 的点.（1）若2M -，且以AB 为直径的圆经过点M ，求该圆的标准方程； （2）直线,MA MB 分别与y 轴交于,C D 两点，OC OD ⋅是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）22359x y ⎛+-= ⎝⎭（2）是定值，定值为2 （1）设()A s t ，，()B s t -，，则2224s t +=，由以AB 为直径的圆过M 点，则0MA MB =u u u r u u u r g ，两者联立可解得,s t ，得圆心坐标和半径，从而得圆标准方程．（2）设00(,)(,)M x y A s t ，，写出MA 方程，得C 点纵坐标，同理得D 点纵坐标，计算OC OD ⋅即证得结论．解：（1）设()A s t ，，()B s t -，，2224s t +=，以AB 为直径的圆过M 点，∴22030.2MA MB s t ⎛=⇒-++= ⎝⎭u u u r u u u r g联立两个方程可得6t =或2-（舍），得2359s =，所以圆的标准方程为22359x y ⎛+= ⎝⎭. （2）设00()()M x y A s t ，，，，则0000000()MA C t y tx sy l y y x x y s x s x --+-=-=--：，， 同理得00D tx sy y s x +=+， 222222220000222200(42)(42)||||||222C D t x s y t y t y OC OD y y x s t y ----====--.本题考查圆的标准方程，考查椭圆中的定值问题，本题考查学生的运算求解能力．属于中档题．21．已知函数()(1)ln 1,[1,).f x x x x =-+∈+∞ （1）证明：()f x 有唯一的零点；（2）当1x ≥时，函数()ln xg x ae x x =-有零点，记a 的最大值为t ，证明：222ln 22.t e e<< 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（1）用导数证明函数()f x 在[1)+∞，上单调，再说明有零点，则是唯一零点； （2）()0g x =有解转化为ln ()x x x h x a e ==，即a 为ln ()xx x h x e =的最大值．求出()h x '，由（1）知()h x '有唯一零点0x ，且0(2,)x e ∈，这样就有000ln x x x t e =. 接着证明222ln 22t e e <<，一方面022ln 2()(2)h x h e >=， 另一方面，欲证00022ln 22x x x t e e e<⇔<，利用0()0h x '=，00(1)ln 10x x -+=，000ln 1ln x x x =+变形为0021ln 2x x e e +<，由导数求1ln ()xx x e ϕ+=的最大值即可． 解：证明：（1）由题意得1()1ln [1)f x x x x'=--∈+∞，，，易知()f x '单调递减， 且()01f '=，()0f x '≤，所以()f x 在[1)+∞，上单调递减， (2)1ln 20(e)2e 0f f =->=-<，，所以()f x 在[1)+∞，上有唯一的零点0(2e)x ∈，.（2）ln ()e ln 0()e xxx x g x a x x h x a =-=⇔==，(1)ln 1()e x x x h x -+'=，由（1）可知()h x '在[1)+∞，上有唯一的零点0(2)x e ∈，. 且()h x 在0[1)x ，上单调递增，在0[)x +∞，上单调递减， 000ln x x x t e =. 下证222ln 22t e e <<， 一方面022ln 2()(2)h x h e >=， 另一方面，欲证00022ln 22x x x t e e e <⇔<，又00(1)ln 10x x -+=，所以只需要证明0021ln 2x x e e +<，记1ln ()x x x e ϕ+=，1ln 1()xx x x e ϕ--'=，由前面可知()x ϕ在(1)+∞，上单调递减， 所以022()(2)x e ϕϕ<=，证毕.本题考查用导数研究函数的零点，研究函数的单调性与最值．转化与化归是解题的关键．本题属于难题．本题难点有两个，首先a 的最大值，由题意化为求()a h x =的最大值，而()h x 的极值点正好利用第（1）小题结论，()h x '的唯一零点0(2,)x e ∈，即0()t h x =．其次在证明不等式222ln 22t e e <<，特别是22t e<时，利用0()0h x '=把不等式变形化简，再转化为求函数最值．22．已知在平面直角坐标系中，曲线E 的参数方程为221x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），若以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点3(1,0),(2,).2A B π（1）求曲线E 的直角坐标方程以及,A B 两点的直角坐标； （2）曲线E 上有动点21(2,)P t t t t+-，求PAB ∆面积的最小值时点P 的直角坐标. 【答案】（1）曲线E ：22416x y -=，(10)(02).A B -，，，（2）最小的面积为1S =，此时点.P ⎝⎭（1）用消元法得曲线E 的直角坐标方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得,A B 两点的直角坐标．（2）求出直线AB 方程，由点到直线距离公式得P 到直线AB 的距离，这个距离最小，则三角形面积最小．解：（1）由曲线E 的参数方程可得2442x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，，两式相乘得曲线E ：22416x y -=， A B ，两点的直角坐标为(10)(02).A B -，，， （2）由（1）可得A B ，两点确定的直线方程为22x y -=，则动点212P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，到直线AB的距离d =当t =d =最小，此时最小的面积为1||12S d AB ==，此时点.P ⎝⎭本题考查参数方程与普通方程互化，考查极坐标与直角坐标互化．属于基础题． 23．已知函数()|241|,0.f x x a x a =-++> （1）若1a =，求关于x 的不等式()7≤f x 的解集； （2）若关于x 的不等式()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）410.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2） 1.a ≥（1）按绝对值符号里式子的正负分类去掉绝对值符号后解不等式；（2）按绝对值符号里式子的正负分类去掉绝对值符号得分段函数，然后考虑a 值范围确定函数的最小值，由最小值3≥得结论． 解：（1）()|24||1|7f x x x =-++≤.①当2x ≥时，不等式化为1033723x x -⇒≤≤≤； ②当12x -<<时，不等式化为5712x x -+⇒-<<≤； ③当1x ≤-时，不等式化为433713x x -⇒--≤≤≤，综上，原不等式的解集为410.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）(2)42()241(2)412(2)41a x a x f x x a x a x a x a x a x ++-≥⎧⎪=-++=-++-<<⎨⎪-++-≤-⎩，，，，，， ①若min 2()(1)6a f x f =-=≥，； ②若02a <<，min ()(2)3f x f a ==， 综上，()3 1.f x a ⇒≥≥本题考查含绝对值的不等式的解法．解题方法是按绝对值定义去绝对值符号．分类讨论思想是本题的重要思想方法．。
巴蜀中学2020届高考适应性月考(四)文科数学-含答案
则 2019 年的占比预计为11.42% . 20．（本小题满分 12 分）
………………………………（12 分）
解：（1）由题可知 e c a
3， 2
△PF1F2
的面积最大为
1 2
2c
b
bc
3.
由 a2 b2 c2 ，可得 a2 4，b2 1 ，椭圆的方程 E：x42 y2 1 .……………………（5 分）
(3)]
lg
34 33
lg 3 ，故选
D．
文科数学参考答案·第 1 页（共 5 页）
12．根据直线可知 F ( 3，0) ，所以 c
3
，又
P(0，1)
及
FP
2PA
，得
A
3 2
，3 2
，代入椭
圆方程有
3 4a2
9 4b2
1 ，将 b2
a2
3 代入，解得 a2
63 2
3
或 a2
6
3 2
3 c2 3（舍
去），则 e2 2 3 4 2 3 ( 3 1)2 ，故选 D． 63 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 答案
13
y
3 3x
14
15
16
55
y 2x π 1
文科数学参考答案·第 2 页（共 5 页）
则 PE 平面ABCD .
又 PE 平面ADP ，所以平面 PAD 平面 ABCD .
………………………………（6 分）
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)数学试卷答案
语文参考答案·第5页（共27页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ABDCBDBB【解析】1．【“山城学术圈”解析】由{|N y y ==，得[0)N =+∞，，所以[06)M N = ，，故选A ．中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）语文参考答案·第6页（共27页）语文参考答案·第7页（共27页）【解析】13．【“山城学术圈”解析】15i (15i)(1i)1i 5i 523i 1i (1i)(1i)2z +++++-====-+-+-，则||z =语文参考答案·第8页（共27页）17．（本小题满分10分）解：（1）设{}n a 公差为d ，依题意得11133425a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，，所以1(1)21n a a n d n =+-=-*()n ∈N ．…………………………………………………（5分）所以224()1142(41)2143n n T n n -=+=+--⨯ ．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）语文参考答案·第9页（共27页）解：（1）因为222()sin ()sin a c C bc c B -=-，所以222()()a c c bc c b -=-，即222122b c a bc +-=，………………………………………………………………………（3分）所以1cos 2A =.又0πA <<，所以π3A =．………………………………………………………………（6分）1322所以2bc =．………………………………………………………………………………（8分）故ABC △的周长为2a b c ++=+………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）甲通过初试的概率431442146C C C 93C 155P +===，…………………………………（2分）乙通过初试的概率为3133246C C 1C 5P ==，……………………………………………………（4分）所以甲、乙至少一人通过初试的概率为24171.5525P =-⨯=……………………………（6分）语文参考答案·第10页（共27页）（2）甲合格的概率431234423334466C C C 11391(C C )C 8C 8120P ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭ ，………………………（9分）34大.…………………………………………………………………（12分）12015k a a ===，，．………………………………………………………………（2分）当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，43n a n =-．…………………………………………………………………………（5分）语文参考答案·第11页（共27页）当2n ≥时，1111111111(21)22(1)212n S n n n n n nn n ⎛⎫==<=-⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，………………………………………………………………………………………（7分）且2111111111112224222n n n n n ⎛⎫⎪>=- ⎪⎛⎫ ⎪--+- ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………（10分）4133212n T n -<+≤．………………………………………………………………（12分）解得2243a b ==，，所以椭圆C 的方程为143+=．………………………………（4分）语文参考答案·第12页（共27页）韦达定理得：121222693434m y y y y m m -+=-=++，．……………………………………（6分）T (40)，．…………………………………………………………………（9分）1(4TABS x =-△()(4f x x =-，(20)x ∈-，，……………………………………………………………………………………（10分）（12分）21e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………（4分）语文参考答案·第13页（共27页）1x =t e 1-0e 1t <-≤（6分）令2()2ln(1)1h x x x =+-+，则2()0(1)h x x '=<+，…………………………………（9分）。
【4月名校真题理数】重庆市巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(六)理科数学试卷及答案解析
f
π 6
x ，得周期为
π
，所以
2
，由
f
(x)
f
2π 3
x ， 得一个对
称轴为
x
π， 3
所以
f
(x)
sin
2
x
π 6
，故选
B．
9．
P1
1
2 3
2 3
5 9
，
P2
1
2 3
1
1 3
1 3
11 27
，所以
P
1
11 27
5 9
188 243
，故选
A．
10．由
f
(0)
0， 得 a
2 ，而
f
(x2
am ≤ 2am1 ，所以 a3 ≤ 4，a4 ≤ 8，a5 ≤16，a6 ≤ 32，a7 ≤ 64 ， a8 ≤128 ，而 a9 200， 所 以 a8 100，a7 50，a6 25 ，此时 a6 25 8 16 ，所以 a5 无法取整数满足；显然当 n ≤ 8 都不成立，故选 D．
1 2
2 sin
3 2π 3
2 ，可求得球的半
径为 4 1 5.
图1
理科数学参考答案·第 2 页（共 8 页）
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
证明：（1）∵ a1
1 ， an
2an1
1 n 2
(n N*)
，
两边同时乘以 2n ，即有 2n an 2n1 an1 1 ，
又 AD 1 ，所以 AD AB AP PD PB 1 ，
图2
所以 PO BD .
2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cosα＝（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（ ）A ．{1，7}B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】 ∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }，∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r，则实数λ＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B 【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +r r ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a r （1，2），=b r （2，λ），则()=32+a b λ+，r r ， c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1，∴()50.1P x ≥＝，∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝， 故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =- 【答案】B 【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B. 【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ）A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ）B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数， A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角.【详解】由b +c ＝acosB +acosC ， 根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab+-+-++＝， 22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc +++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc +++-+-+， 进一步化简可得222a b c =+∴△ABC 为直角三角形，2A π＝. 故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ）A ．f （cosx ）＝sin 2xB ．f （sin 2x ）＝sinxC ．f （sinx ）＝sin 2xD ．f （sinx ）＝cos 2x 【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x x =-1,∴f ()=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1；∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x ,sin2x =1,∴f )=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项，∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意.故选：D .【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2，∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1，∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-，∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=.故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r |＝1，则PB u u u r •PC uuu r 的最小值是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围，从而得解.【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4，∴2224x y += ∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()+1θϕ=-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r ,故最小值为3-，故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D 【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q 117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--,综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=--故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ）A ．x 2＝yB ．x 2＝2yC ．x 2＝3yD ．x 2＝4y 【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ，可得2220,x pkx pt --=∴12+2x x pk =，设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y可得2220,x pkx pm --=∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线,且所在直线方程为x =pk ，∵E 的横坐标为2k ，∴22k pk p ==，，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y.故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题13．设复数z 满足12z i =+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212z i i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z =故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.14．函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____ 【答案】（﹣∞，﹣4）.【解析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣，即为64{|}x x x -＞或＜，令2224t x x =﹣﹣， 则原函数13y log t ＝， 因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减， 2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4），故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 20cos 0in 202+s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____【答案】（﹣∞，14-ln 2） 【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点； 令g （x ）＝121x --lnx 1x-， ∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +112=sin 2x +cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝，且DE23DS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵E是SD的中点，∴OE∥SB，∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴SB∥平面ACE.（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，∴AC＝2，∵AB＝AD＝2，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴BD＝以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），D0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r（24333，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u r r0，）， 设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则024033m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθ19m n m n ⋅===⋅r r r r .∴二面角S ﹣AC ﹣E的余弦值为19.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立. （1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118=；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P1211111 33333C=⨯⨯+⨯=.（2）记A i表示甲在第i轮胜利，B i表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，∴P（A i）151151384382⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，P（B i）13=，P（∁i）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P1111112228⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P21155 666216 =⨯⨯=，∴经过3轮比赛结束的概率P12154 821627P P=+=+=.【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1，2）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D 的直线交椭圆E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解； （2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e-+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.（2）因为x∈R时，2e2mx x+≥e2x+1恒成立，等价于221mx xxxeee+-≥恒成立，即2e2mx≥e x1xe+（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2e2mx x+-e2x﹣1≥0成立即可，令F（x）＝2e2mx x+-e2x﹣1，F（0）＝0，F′（x）＝2（2mx+1）e2mx x+-2e2x＝2e2x[（2mx+1）e2mx x--1]，F′（0）＝0，令G（x）＝（2mx+1）e2mx x--1，G（0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m1 2≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f （x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。
重庆市巴蜀中学高三第四次月考(数学理).doc
重庆市巴蜀中学高三第四次月考（数学理）数学试题卷共4页。
考试时间1。
第1至10题为选择题，50分；第11至21题为非选择题，100分。
满分150分。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答第1至10题时，必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第11至21题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（有且只有一个正确的选项，每小题5分，共50分）1、若集合},,{},,{},,,{x B A x B x A 311312=== ，则满足条件的实数x 的个数有（ ） (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 42、在空间中，有下列四个命题：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一个平面的两条直线平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一个平面的两个平面平行；其中真命题的个数为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43、若函数)cos()(ϕ+=x x f 22是奇函数，且在),(40π上是增函数，则实数ϕ可能是（ ） (A)2π-(B) 0 (C) 2π(D) π4、下列四个条件中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）(A) p ：22b a q b a >>:, (B) ba qb a p 22>>:,:(C) p ：c by ax =+22为双曲线，0<ab q : (D) 0022>++>++a x bx c q c bx ax p :,:5、设函数)(x f y =存在反函数)(x fy 1-=，且函数)(x f x y -=的图象过点（1，2），则函数x x fy -=-)(1的图象一定过点（ ）(A) (2,-2) (B) (-2,2) (C) (1,-2) (D) (-1,2)6、已知A(1,2),B(3,2),C(2,2+3)，则向量→--→--CB AC ,的夹角为（ ）(A) 3π (B) 32π (C) 6π(D) 65π7、已知椭圆)(012222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点为F(c ，0)，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21x x ,，则点P(21x x ,)（ ）(A) 必在圆222=+y x 内 (B) 必在圆222=+y x 上 (C) 必在圆222=+y x 外 (D) 以上三种情形都有可能 8、已知,)(lim 2122=--+∞→b an n n n 其中R b a ∈,，则=-b a （ ）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 69、已知函数a xb a x a x x f +++++=)()()(2312131有两个极值点21x x ,，且21021<<<<x x ，则ab的取值范围为（ ）(A) ),(211-- (B) ),(123-- (C)),(232-- (D) ),(212-- 10、已知点),(y x P 在椭圆3222=+y x 上运动，则22121y x ++的最小值是（ ） (A) 5104 (B) 59(C)5221+(D) 2 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（把最后结果填写在答题卡上，每小题5分，共25分）11、函数⎩⎨⎧>-≤+-=01012x x x x x f ,|,|)(那么不等式0<)(x f 的解集是__________________ 12、已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球表面积为_________13、已知)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()(13-=+x f x f ，当),(20∈x 时，22x x f =)(，则=)(7f _________________C14、已知三角形ABC 的三个内角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,，且321222+==-+b c a bc c b ;.则tanB=____________15、设P 为双曲线C: ),(0012222>>=-b a b y a x 的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F 为双曲线C的右焦点，A 为双曲线C 的右准线与x 轴的焦点，若APF ∠的最大值为3π，则双曲线的离心率为_________________ 三、解答题（写出主要解题过程，共6个小题，满分75分）16. 本小题满分13分已知函数)(sin )sin(sin sin x x x x y -+-+=2332222ππ（1）若21=x tan ，求y 的值；（2）若,[20π∈x ，求y 的值域；17. 本小题满分13分 已知}{n a 为等比数列，1211253a n a a a b n n n n )(-++++=-- ，已知5121==b b ,，记数列}{n a 的前n 项和为nS 。
重庆市巴蜀中学2023届高三第四次月考数学试题及答案
数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B C B A D C B【解析】1．22a b a b >⇔>，2222ln ln 0a b ab >⇔>>，故选D.2．2(2i)34i 12i 12i 12i z ++===-+--，则2||5z z z == ，故选B. 3．由12l l m ⊥⇒=，则d ==，故选C. 4．可采用插空法，2223A A 23212=⨯⨯=，故选B.5．22||()9a b a b -=-= ，则有2229a b a b +-= ，可得2a b =- ，则a 在b 方向上的投影为1||a b b =- ，则a 在b 上的投影向量为12b - ，故选A. 6．天干可看成周期为10的周期数列，地支可看成周期为12的周期数列，而2023是以1933为首项的第91项，则天干为癸，地支为卯，故选D.7．当1121222n n n n a a a a ---=-= ≥，，，，则12112(12)2222212n n n n a a ----=+++==-- ，解得：21n n a =-．而1111112111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n a a a -+++++⎛⎫==- ⎪-----⎝⎭，则有1111221n n S +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．又n S 是单调递增数列，所以有1111232n S S ⎡⎫⎡⎫∈=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，. 对任意的正整数n ，都有n k S >，则12k ≥，故选C ． 8．由2212211122()()()()x x x f x x x x f x ->-，有121212()()()0f x f x x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，可得()f x x 在(0)+∞，上单调递增．于是(ln 2)(ln 4)(ln 4)(2)ln 2ln 42ln 22f f f f <=<，化简可得a c b <<，故选B.数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 题号9 10 11 12 答案AC ACD BCD BC【解析】 9．对于A ：n l n l αα⇒∃⊂∥，∥，而m α⊥，m l m n ⊥⇒⊥，故A 正确；对于B ：若m β⊂，同样满足条件，故B 错误；对于C ：m ，n 可以分别看作α，β的法向量，m n ⊥，则αβ⊥，故C 正确；对于D ：若αβ⊥，设l αβ= ，当m l ∥，m α⊄时，满足m α∥，但m β⊥不成立，故D 错误，故选AC.10．由cos()sin b B C R B +=，有2sin 1cos cos 22RB A A b-=⇒=-．而(0π)A ∈，，可得2π3A =，故A 正确，B 错误；又由2sin a R A=，有12sin a R A ===，故C 正确；利用余弦定理有：2222232cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+++=≥，当且仅当b c =时取等号，则1bc ≤，可得1sin 244S bc A bc ==≤，故D 正确，故选ACD. 11．对于A ：由直接法有：2222(2)(1)2[(1)(1)]x y x y ++-=-+-，化简得228210xy x y +---=，其标准方程为22(4)(1)18x y -+-=，故A 错误；对于B ：r =2DG =到直线的距离d ===，计算可得19c =--或，故B 正确；对于C ：四边形QEMF 的面积1222QEM S S QE r === △．而QM =24=，故C 正确；对于D ：3l 始终平分圆M 的面积，则3l 过圆心(41)，，得41a b +=．则(1)(1)2112a b b a ab a b ab ab a b+++++==++ 1142(4)77411b a a b a b a b ⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，故D 正确，故选BCD.数学参考答案·第3页（共8页）12．对于A ：1a =时，1()e x f x x -=-，1()e 1(1)2x f x f -'=--⇒'=-，则切线方程为2(1)y x =--，化简得22y x =-+，故A 错误；对于B ：令1e 0x a x --=，化为11e e x xx a x --==，设1()e x h x x -=，111()e e e (1)0x x x h x x x ---'=+=+>在(1)x ∈+∞，恒成立，所以()h x 在(1)+∞，上单调递增. 而(1)1()h x h x =→+∞→+∞，时，. 利用图象可得，若()f x 没有零点，则1a ≤，故B 正确；1ln 1()(e 1)ln e(1)e eln ln e e e e e(ln 1)x a x g x a x a x a a x x a x --=----+=--+-+=-+ ln 1e (ln 1)1a x a x -+---++，令ln 1[1ln 1ln ]t a x a a =-+∈-++，，()e e 1t m t t t =--+，则()e e 1t m t '=--，令()0m t '>，解得ln(e 1)t <-，则()(ln(e 1))m t -∞-在，上单调递增，在(ln(e 1))-+∞，上单调递减. 注意到(0)(1)00ln(e 1)1m m ==<-<，且，令()0m t ≥，可得01t ≤≤.对于C ：若()0g x ≥在[02]，上无解，则1ln 01ln 1a a +<-+>或，解得210e e a a <<>或，则当()0g x ≥在[02]，上有解时，21e ea ≤≤，故C 正确；对于D ：若()0g x ≥在[02]，上恒成立时，1ln 0e 1ln 101a a a a -+⎧⎧⇒⎨⎨+<⎩⎩≥≥，≤≤，无解，故D 错误，故选BC. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．利用特殊值法有(1)(1)f f =--，则有12212112a a ++=---，解得1a =，代入检验可得()f x 为奇函数，符合题意.14．圆1C 可化为22(2)(2)8x y m ++-=-，由80m ->，有8m <．设2()C a b ，与1(22)C -，关于直线20x y -+=对称，则有212222022b a ab-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，，解得00a b =⎧⎨=⎩，，则2C ：228x y m +=-，6m ≤，6m ≤∴.数学参考答案·第4页（共8页）15．由题意可知在ABC △中，3ππ5π4126ADC ADB BDC ∠=∠+∠=+=则5ππ6DAC ∠=- ππ1212-=，300AD DC ==，在BDC △中，DCB ACD ACB ∠=∠+∠π2π3π1234=+=，有3ππππ4126DBC ∠=--=，故有sin sin BD CD DCB DBC =∠∠，可得sin sin CD DCB BD DBC ∠=∠300212==，则在ADB △中，22223π2cos 3004AB AD BD AD BD =+-=+223004500002+⨯⨯=，故AB =（米）． 16．由0TN TP MT TN TP TM +=⇒++= ，可得：T 是MNP △的重心．又有PQ x ∥轴，则有2PQ PT MF TF==，可得24PQ MF ==．设00()P x y ，，由抛物线的定义得014x +=，解得03x =．设P在第一象限，则有0y =．可得11123323TMF PMF S S ==⨯⨯⨯=△△． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）3(0)2f =-∵，1sin 2ϕ=-∴，由π||2ϕ<得π6ϕ=-， 2π()3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，()f x ∴关于π3x =对称， ∴ππππ362k k ω-=+∈Z ，，解得32k k ω=+∈Z ，， 因此，当0k =时，ω取到最小的正数为2， 此时π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………………………………………………（5分）（2）ππππ()3sin 23sin 23cos 26662g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，π3π9()()3sin 23cos 232cos 226232f x g x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，即πsin 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[0π]x ∈，∵，ππ5π2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴，π3x =∴或π2， ππ32A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，∴. ……………………………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）解：由122n n a S +=-得2n ≥时，122n n a S -=-，两式相减得11(2)2n n a a n +=≥， 又令1n =，得2122211a S =-=-=，解得212a =，2112a a =∴， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴． ………………………………………………………………（6分）（2）证明：1142n n n n b a n +⎛⎫== ⎪⎝⎭∵， 2311112222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， 342111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得：13122211182111111111(2)124222422212n n n n n n T n n n -++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ， 111(2)12n n T n +⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭∴． …………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设3人中女驾驶员人数为X ，则(30.3)X B ，， ………………………（3分）所以P （3人中恰有1人为女性）123(1)C (0.7)0.30.441P X ==== .……………………………………………………………………（6分） （2）设事件A ：驾驶员为女性，事件B ：驾驶员发生了交通事故，则()0.3P A =，(0.7P A =，4(|)0.2510P B A -=⨯，4(|) 2.2010P B A -=⨯，()()(|)0.075(|)0.046()()(|)()(|) 1.615P AB P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ===≈+. ……………………………………………………………………（12分）数学参考答案·第6页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图所示，取P A 中点的N ，连结MN ，DN ，则MN 12AB ，又CD 12，所以MN CD ，故四边形CDNM 为平行四边形，CM DN ∥∴，又CM ⊄平面PAD ，ND ⊂平面PAD ，所以CM ∥平面PAD ． …………………………………………………………（5分） （2）解：取AB 的中点E ，连结CE ，BD ，设CE ，BD 交于点O ，由条件易知四边形BCDE 是边长为2的正方形.PB PC PD ==∵，P ∴在平面ABCD 内的射影是△BCD 的外心，即点O .PO ⊥∴平面ABCD .如图，以O 为原点，分别以OE ，OB ，OP 所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， ∴可得后面点的坐标：(00)(00)00)(00)D B E C ，，，，，，，0)A ，设(0)OP a a =>，则(00)P a ，，，00)(0)0)0)DA DP a CB CP a ==== ，，，，，∴，设平面PAD PBC ，的法向量分别为111222()()m x y z n x y z == ，，，，，，则1110000DA m DP m az ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨=+=⎪⎩ ，，取(0m a =- ，，，22220000CB n CP n az ⎧+==⎪⇒⎨=+=⎪⎪⎩⎩ ，，取(n a a =-- ，，， ∵平面PAD 与平面PBC 的夹角为45︒，|||cos |2||||m n m n m n <>== ，∴ 解得227a =，从而22222167PC PO OC a =+=+=， 所以侧棱PC的长为7. ………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）21．（本小题满分12分）解：（1）易知(0)(0)A a B a -，，，，设()P x y ，，则22221x y a b+=，由2222222222114PA PBx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭====-=-+--- ， 得224a b =，∴椭圆C 的方程为222214x y b b+=， ∵点12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上，2231414b b +=∴，解得1b =，2a =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………（4分）（2）直线b y x a =±，即12y x =±，显然直线l 的斜率存在.设1122()()M x y N x y ，，，，直线l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，由22222(14)844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，由于l 与椭圆相切， 其2216(41)0k m ∆=+-=，故2241m k =+．由2112122y kx m m m M k k y x =+⎧⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪--=⎝⎭⎪⎩，，2112122y kx mm m N k k y x =+⎧-⎪⎛⎫⇒⎨⎪++=-⎝⎭⎪⎩，， 2212221122214||||||222121214|14|OMNm m k S m x x m m k k k k +=-=+==-+--△， 当2104k <≤时，2222(14)2211414OMN k S k k +⎛⎫==-+ ⎪--⎝⎭△， 因为20141k <-≤，所以21114k-≥，2OMN S △≥∴； 当214k >时，2222(14)22124141OMN k S k k +⎛⎫==+> ⎪--⎝⎭△． 综上，OMN △面积的最小值为2． …………………………………………（12分）数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分12分）解：（1）2()ln f x ax bx x =-+∵，1()2(0)f x ax b x x'=-+>∴，因为()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为2230x y --=，1(1)2(1)1f f ⎧=-⎪⎨⎪'=⎩，即12211a b a b ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩， 解得：112a b ==.…………………………………………………………（4分） （2）21()()ln (1)(0)2g x f x mx x x m x x =-=+-+>， 则21(1)1()(1)x m x g x x m x x-++'=+-+=，由()0g x '=，得2(1)10x m x -++=，因为1122()x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，所以方程2(1)10x m x -++=有两个不相等的正实根12x x ，， 所以121x x m +=+，121x x =，这样211x x =， 因为32m ≥，所以111512x m x +=+≥，解得1102x <≤或12x ≥，因为12110x x x <<=，所以1102x <≤， 所以221211122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x m x x x m x -=+-+--++ 221121221ln()(1)()2x x x m x x x =+--+- 21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，……………………………………………………（9分）令22111()2ln 022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤，则223321(1)()0x F x x x x x --'=--=<， 所以()F x 在102⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减，所以当12x =时，()F x 取得最小值，即min 11115()2ln 42ln 22248F x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 3231ln 4ln e 2<<=∵，31572ln 2888<-<∴， 所以满足条件的实数λ的最大整数值为0. ……………………………（12分）。
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷文科(四)试卷+解析
绝密★启用前巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（四）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 设全集为R ，集合{}2=20A x x x -<，集合{}=B x x <1，则=A B I （ ）A. (1,1)-B. ()1,2-C. ()0,1D. ()0,22. 已知复数2000(1)z i i =⋅+，则z 的模z =（ ）A. 1B.C. D. 43.在2019年国庆放假期间，重庆再次出现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万次的游客，北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”，如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（ ）A.16B.56C.13D.234. 已知非零向量,a b r r 满足：(1,1),||1a b =r r ，()a b b -⊥r r r ，则向量,a b r r的夹角的大小为（ ）A.6π B.4πC.3π D.2π 5.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为1S ,2S ,则12S S =（ ） A. 1 B.12C.13D.146.函数2cos sin ()12cos x xf x x=-g 的一个对称中心为（ ）A.,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,08π⎛⎫⎪⎝⎭7.已知函数()f x 满足：,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩则(2019)f =（ ）A.1e -B.eC.0D.18.有些数学游戏的结果是可以预知的，比如从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，任取两个数字出来，然后排出所有的两位数，数字不能重复. 把所有的两位数全部加起来，再除以这两个数字之和，结果一定是11。
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷(四)数学(文)试题(解析版)
（2）连 ，由（1）可得平面 平面 ，过 作 与 ，根据面面垂直的性质定理，可得 平面 ，即 为所求，且 为 斜边上的高，可得出结论
【详解】
（1）证明：由 ， 点为 的中点，
可知 ，再已知 ，
且 ， 相交于 ，则 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，
5．已知正方体 的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为 ， ，则 （）
A．1B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解.
【详解】
内切球的半径 ，外接球的半径 ，
所以表面积之比为 .
故选：C.
A．111B．11
C．22D．222
【答案】D
【解析】取出不同的三个数字，如1,2,3，将这三个数排出6个数，根据这6个数的关系，求出这6个数的和，除以6，即可求出结果.
【详解】
假设取的是1，2，3，可以组成6个数，每位上三个数字各出现2次，所以所有的和为1332，除以6等于222，
故选：D.
【点睛】
【详解】
求导 ，将 代入得斜率为2，
直线为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16．“层层叠”是一款经典的木制益智积木玩具，它的设计理念来源于我国古代汉朝的黄肠题凑木模.玩法是先将木块三根为一层，交错叠高成塔（或者其他叠法），然后轮流抽取任意一层的一根木块，在抽取的过程中木塔倒塌则算输.如图，现用9根尺寸为 的木条，叠成一个正方体，并编号1～9.小张抽出中间的5号木条后，正方体表面积由54变为64.若小王又把8号木条抽走，现在几何体的表面积为______.
2020届重庆市巴蜀中学高三毕业班上学期高考适应性月考卷(四)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班上学期高考适应性月考卷(四)数学(理)试题(解析版)一、选择题1.已知集合1lg 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，{}11B x x =->，则A B =（ ） A. (,1)(2,)-∞-+∞B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,0)(2,)-∞+∞D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合,A B ，再求交集． 【详解】由101x x ->+,得1x <-或1x >,即(,1)(1,)A =-∞-+∞, 由11x ->,得2x >或0x <,即(,0)(2,)B =-∞+∞,∴(,1)(2,)A B =-∞-+∞．故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算,考查对数函数的定义域,掌握集合运算的概念是解题基础． 2.2(2dx =⎰（ ）A . 4π+B. 42π+C. 44π+D. 2π+【答案】A【解析】 【分析】 由定积分公式,22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰,其中2204x dx -⎰由定积分的几何意义求解． 【详解】22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰222240dx x ⎰==, 以原点为圆心,2 为半径作圆,如图,2204x dx -⎰表示圆在第一象限部分的面积,∴2204x dx -⎰2124ππ=⨯⨯=, ∴22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰4π=+．故选：A.【点睛】本题考查定积分,考查定积分的几何意义．属于基础题．3.直线220x y ++=与圆224x y +=交于,A B 两点,O 为坐标原点,则AOB ∆的面积为（ ）5 B. 45 C. 85 D. 165。