金融工程-二叉树模型——期权定价方法实验报告---用于合并
期权定价（二叉树模型）实验报告
班级： 创金1201 姓名： 郑琪瑶 学号： 08
一、实验目的
本实验基于二叉树模型对期权定价。
利用Excel 计算出支付连续红利率资产的期权价格，并探究输入参数（如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方式、收益率等等）对于期权价格的影响，从而巩固二叉树模型这种期权定价的数值方法的相关知识。
二、实验原理
当标的资产支付连续收益率为q 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为q r -，因此参数p （股票价格上升的概率）、u 、d 应该满足以下式子：
d p pu
e t q r )1()(-+=∆-；
同时在一小段时间内股票价格变化的方差满足下式：
2222])1([)1(d p pu d p pu t -+--+=∆σ；
考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是d
u 1
=，将三式联列，可以解
得（*） 三、实验内容
1. 假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权，有效期期限为5个月，目前 的股票价格和期权执行价格都为50元，无风险利率为10%，波动率为40%，连续收益率为3%，为了使得估计的期权价格比较准确，把时间区间划分成30步，即N=30，利用excel 加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格
2.探究基于不同红利支付类型：支付已知收益率和支付已知红利数额，计算出相
应的美式和欧式期权价格。
3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。
使资产连续复利收益率在[1%,10%]变
化，保持其余变量不变，分别计算出相应美式f 1和欧式f 2期权的价格
4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。
探究下一期的红利支付数额为常
数、递增及递减情况下， 保持其余变量不变，分别计算出相应美式和欧式期权的价格。
5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图，观察折线图，得出结论。
四、实验过程：
步骤一：输入已知参数
步骤二：根据已知参数及式（*）原理，计算如下参数
步骤三：改变参数，确定期权价格
（1）以支付已知收益率模式下分析期权价格。
改变连续复利收益率在[0.1%,3%]，可得相应美式f1和欧式f2看涨期权的价格
表1 看涨期权价格随收益率的变化
表2 看跌期权价格随收益率的变化
相应美式f1和欧式f2期权的价格
表3 看涨期权价格随红利支付额的变化
表4 看跌期权价格随红利支付额的变化
五、实验结论
1、两种红利支付模式已知收益率和支付已知红利数额的期权定价，计算出相
应的美式和欧式期权价格影响机制具有加大的差别，并且对美式的看涨和看跌期权，及欧式的看涨和看跌期权的变化影响也有较大的区别。
（如附表）
2、在红利支付收益率[0.1%,3%]的变化时，美式和欧式看涨及看跌期权价格是同步变化；在支付已知红利数额[0.1,1]的变化时，美式和欧式看涨及看跌期权价格是不完全同步的，随着支付红利数额的增加，对看涨期权而言，美式期权比欧式期权价格上升得快，对看跌期权而言，美式期权比欧式期权价下降得慢，这就体现了欧式和美式行权的时间限制，美式期权可在到期前有行权选择权，在某种程度上赋予了更大的价值。
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
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ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
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愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
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如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
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我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
金融工程实验报告范文(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过模拟金融市场环境，使学生了解金融工程的基本原理和应用，掌握金融衍生品的设计与定价方法，提高学生在金融风险管理、金融产品设计等方面的实践能力。
二、实验内容1. 金融市场环境模拟：通过模拟现实金融市场环境，让学生熟悉股票、债券、期货、期权等金融工具的交易过程。
2. 金融衍生品设计与定价：学习金融衍生品的基本概念，掌握金融衍生品的设计方法和定价模型，如Black-Scholes模型等。
3. 金融风险管理：学习金融风险管理的理论和方法，通过模拟操作，了解金融风险对投资组合的影响，并学会运用金融工具进行风险控制。
三、实验步骤1. 实验环境搭建：使用金融工程模拟软件，搭建模拟金融市场环境。
2. 基本操作练习：熟悉模拟软件的操作，包括股票、债券、期货、期权等金融工具的交易。
3. 金融衍生品设计与定价：- 学习Black-Scholes模型的基本原理。
- 利用模拟软件，输入相关参数，计算期权的理论价格。
- 对比理论价格与市场价格，分析模型误差。
4. 金融风险管理：- 构建投资组合，模拟投资过程。
- 分析投资组合的收益和风险，了解金融风险对投资组合的影响。
- 利用金融工具（如期权、期货等）进行风险控制。
四、实验结果与分析1. 金融市场环境模拟：通过模拟操作，学生熟悉了股票、债券、期货、期权等金融工具的交易过程，掌握了基本操作技能。
2. 金融衍生品设计与定价：- 利用Black-Scholes模型，计算了期权的理论价格，并与市场价格进行了对比。
- 分析了模型误差，了解了影响期权定价的因素。
3. 金融风险管理：- 构建了投资组合，分析了投资组合的收益和风险。
- 学会了运用金融工具进行风险控制，降低了投资组合的风险。
五、实验结论1. 学生通过本次实验，掌握了金融工程的基本原理和应用，提高了金融风险管理、金融产品设计等方面的实践能力。
2. 学生熟悉了金融市场环境，掌握了金融工具的交易操作。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型
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风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
2020/11/29
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学上表现为衍生证券定价的 微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变 量，尤其是期望收益率。
第7章 期权定价的二叉树模型
➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
STu 22 cTu 1
S0 20 c0 ?
3个月
STd 18 cTd 0
执行价格为21 元的看涨期权。
第7章 期权定价的二叉树模型
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股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
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⒉ 两步二叉树的一般形式
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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期权定价的二叉树模型说明
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q ) n jm sa jd u n x j k ( ,0 )]
j oj ! ( n j)!
n
p e rT[
n ! q j(1 q )n jmk asx jd u n j(,0 )]
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
4
分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
5
资产组合的目前成本与未来价值
6
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚
再令qerT d ud
CerT qcu (1q)cd
8
6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
9
假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
10
假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
11
期权二叉树定价模型
84 美式期权估值8.4.1 方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
8.2 风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理 式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
当两个价值相等时 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 在节点C，期权价格为0。 在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个节点都是相同的。
金融工程学CH06-期权定价的离散模型——二叉树模型(上财)
Su
S0
VTu
V0
Sd
VTd
书上例子回顾
Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0
p是风险中性概率 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523
或者我们可以用以下公式求出：
期权V的空头和D份基础资产S组成组合P
DSTu – Vu
P DS -V
DSTd – Vd
假设存在D使得P是无风险的，即使得PT= DST –VT无风险，即P的收益等于 无风险的债券的收益
PT P0
BT B0
PT
P0 DST
- VT
P0
求解D和V0
形成方程组 解得：
DS0u -VTu DS0 -V0
举一个例子，某人投一次硬币。那么样本空间就是正 面和反面。此外如果该硬币是工整的，那么这个试验， 也就是投一次硬币的概率测度就可以确定了。它是： Prob({正面})=Prob({正面})=0.5 Prob(空集)=0 Prob({正面,反面})=1
概率测度Q
定义新的概率测度Q
qu =ProbQ{ST
DS0d
- VTd
DS0
-V0
D VTu - VTd
S0 u - d
V0
-
1
PT
DS0
1
u
-d -d
VTu
u u
-
d
VTd
d u
股票预期收益的无关性
当根据股票价格为期权估值时，我们不需要考 虑股票的预期收益
风险中性定价
VT =e-rT [ p VTu + (1 – p )VTd ] 变量 p 和(1 – p )可以解释为风险中性的上涨和下跌概率
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1