高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.1导数的加法与减法法则北师大版选修2

高中数学第二章变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则课件北师大版选修22

(e +1)'(e -1)-(e +1)(e -1)'
(4)y'=
2
(e -1)
e (e -1)-(e +1)e
-2e
=
2
(e -1)
=
2
(e -1)
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
为
.
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率
k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
探究一
探究二
思维辨析
因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】求下列函数的导数.

2
2
2
(1)y=(x +1) ;(2)y=cos 2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够
直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等
变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求
导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.

高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.1导数的加法与减法法则课件北师大版选修22

12345
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x). 【做一做1】已知f(x)=ex+x-2(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导数f'(x)等于( ) A.xex-1-2x-3 B.ex-x2 C.ex-2x-3 D.ex-x-2ln 2
解析:∵f(x)=ex+x-2,∴f'(x)=(ex)'+(x-2)'=ex-2x-3.
∴曲线在点(1,3)处的切线方程为y-3=3(x-1),
即3x-y=0.
答案:3x-y=0
5.求函数f(x)=x4-tan x+7x+ex的导数.
解∵f(x)=x4-tan x+7x+ex, ∴f'(x)=(x4-tan x+7x+ex)'
=(x4)'-(tan x)'+(7x)'+(ex)' =4x3-co1s2��+7xln 7+ex.
(2)y=x7+tan x;
(3)y=sin x+cos x-3x.
解:(1)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=��ln110-ex.
(2)y'=(x7+tan
x)'=(x7)'+(tan
x)'=7x6+
1
cos2��.
(3)y'=(sin x+cos x-3x)'=(sin x)'+(cos x)'-(3x)'=cos x-sin x-3xln 3.

高中数学第二章变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件32高二选修22数学课件

（1）设 f (x) x2与 g(x) 2x，则
导数(dǎo shù)
公式
由函数(hánshù)和的求导法则
可得：
12/8/2021
第八页，共十六页。
（2）由函数(hánshù)差的求导法则可得：
12/8/2021
第九页，共十六页。
动手做一做
1. 求下列函数(hánshù)的导数：
y 2 2 33 x
2.4.1 导数(dǎo shù)的加减法法则
12/8/2021
第一页，共十六页。
复习(fùxí)回顾
＊计算导数(dǎo shù)的步骤：
求导“三步曲”：求 y
＊导函数(hánshù)定义：
求 y x
求 lim y x0 x
f (x是) x的函数，称之为 f ( x的) 导函数，也简称导
数。
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求 f(x)xx2的导函数。
∴ x (x 2 ) 1 2 x (x x 2 )
所以(suǒyǐ)
同理
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概括(gàikuò)
两个函数(hánshù)和（差）的导数，等于这两个函数(hánshù)导
数的和（差），即
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＊常用导数(dǎo shù)公式：
（1） C0(C为常数 ) （2） (xn)nxn1(nR) （3） (sinx)cosx （4） (cosx)sinx （5）（6）
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第三页，共十六页。
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果(rúguǒ)给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的和、差、积、商的导数呢？

高中数学第二章变化率与导数4导数的四则运算法则教案含解析北师大版选修2_2

4导数的四则运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x . 问题2：试求Q (x )＝x ＋x 2的导数．提示：因Δy ＝Δx ＋2x Δx ＋(Δx )2，Δy Δx＝1＋2x ＋Δx ，当Δx →0时，f ′(x )＝1＋2x . 问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数和．问题4：对于任意函数f (x )，g (x )都满足(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )吗？提示：满足．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ).已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2.问题1：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )成立吗？提示：不成立，因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，而f ′(x )·g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3. 问题2：能否用f (x )和g (x )的导数表示f (x )·g (x )的导数？如何表示？提示：能．因f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x ，(f (x )g (x ))′＝5x 4，有(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？提示：满足．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gxg 2x.(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．注意f (x )g (x )的导数是f ′(x )g (x )与f (x )g ′(x )之和；f xg x的导数的分子是f ′(x )g (x )与f (x )g ′(x )之差，分母是g (x )的平方． 2．[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠fxg x. 3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．[例1] (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x 2＋log 3x ； (3)y ＝x 2·sin x ； (4)y ＝e x＋1e x －1.[思路点拨] 结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (3)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x ·sin x ＋x 2·cos x .(4)y ′＝x＋x－－x＋x－x －2＝exx－－x＋xx －2＝－2e xx －2.[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．下列求导运算中正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x－x 2sin x ，故D 错，故选B.2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103.3．求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝lg x －1x2；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋cos x －x ·sin x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3. (3)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.[例2] (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． [一点通](1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程．4．曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选D 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′| x =2＝7，故选D.5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：26．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，则b ＝________，c ＝________.解析：由题意得f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ·0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ·0＋c ＝1，解得b ＝0，c ＝1. 答案：0 17．已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．解：f ′(x )＝1－a x2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，于是a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上，可得f (2)＝2－82＋b ＝－2＋b ＝7，解得b ＝9.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．1．若f ′(x )＝f (x )，且f (x )≠0，则f (x )＝( ) A ．a xB ．log a xC ．e xD ．e －x答案：C2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5解析：选B ∵点(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上，该点处切线的斜率为k ＝y ′|x =1＝(3x 2－6x )| x =1＝3－6＝－3，∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＞0，整理得x ＋x －x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴x ＞2.5．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3的导数为________．解析：y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，y ′＝3x 2－2x3.答案：3x 2－2x36．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：－1e7．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(2)y ＝x tan x ； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝3ln x ＋a x(a >0，且a ≠1)．解：(1)∵y ＝x ·1x－x ＋1x－1＝－x ＋1x，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x＋－12x x ＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x .(2)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝1－12cos x .(4)y ′＝(3ln x ＋a x)′＝3x＋a x ln a .8．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

2.4导数的四则运算法则(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第二册)

(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
5：求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (3)y＝xx－＋11；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (4)y＝x·tan x.
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
[ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)] f g
y f g x x x
lim
x0
y x
lim
x0
f x
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
解：(3)y′＝(xx2＋＋33)′＝x＋3′x2＋3x2－＋3x＋ 2 3x2＋3′
＝x2＋3－x2＋x＋332×2x ＝－xx2－ 2＋63x＋2 3.
小结
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
探究导数的乘法与除法法则
思考： [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？

高中数学第二章变化率与导数 2.4 导数的四则运算法

导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、会运用两个函数的和、差、积、商的求导公式求含有积、商综合运算的函数的导数；2、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、教学重点：两个函数的和、差、积、商的求导公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='（二）、探究新课例1：求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=；（2）2cos x x x y -=。

解：（1）解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x xx x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=。

高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.2导数的乘法与除法法则课件北师大版选修2_2

��(��) ��(��)
'=��'(��)��(��2)-(��()��)��'(��).
【做一做1】函数y=(x-a)(x-b)的导数是( )
A.y'=ab B.y'=-a(x-b)
=- ��sin��+c2os��=-cos��2��+��2��sin��.
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
5曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程
【做一做 2】函数 f(x)=e��的导数为 f'(x)=
.
解析:f'(x)=
e��
'=��e��2-e�� = e��(��2��-1).
答案:e��(��2��-1)

高中数学第二章变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件52高二选修22数学课件

z3(ca,db)
第八页，共十一页。
课堂小结 (kètáng)
• 1、复数加减法法则
• 2、复数加法运算律 • 3、复数加减法的几何(jǐ hé)意义
第九页，共十一页。
谢谢
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
2.1复数的加法和减法。两个复数的和（或者(huòzhě)差）仍然是一个复数。它的实部是两个复数实部的和（或者(huòzhě)差），它的虚部是两个复数虚部的和（或者(huòzhě)差）。n个复数的和（或者(huòzhě)
设 z 1 a b , z 2 i c d , 那 i z 3 ( a c 么 ) （ b d ) i
如下(rúxià)z 图1 对， o1 应 ,z z2 对 o2 应， z o 那 3 zo1 么 zo2z
z1(a,b) z3(ac,bd) o1z(a,b)o , 2z(c,d)
而 o3 z(a ,b ) (c ,d ) (a c ,b d )
z2(c,d)
两者吻合！说明复数之间相加可以看作是
对应的向量相加。
第七页，共十一页。
oz2 oz1
z1(a,b) z2(c,d)
z2z1可以z2 看与 z1在作复平
所对应 o2z 的与 o1相 z向减量 o， 2zo1即 z
差）。
第五页，共十一页。
2、复数(fùshù)加法满足交换律和结合律
• 交换律： Z1Z2Z2Z1
• 结合律： (Z 1 Z 2 ) Z 3 Z 1 (Z 2 Z 3 )
第六页，共十一页。
3、复数加减法的几何(jǐ 意义 hé)
平面(píngmiàn)向量的加法满足平行四边形法则，而复数可以表示平面 (píngmiàn)中的向量。那么复数的加法是否与向量的加法具有一致性呢？