2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何
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的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到
正视图可以为
A．
B．
【答案】A 15.．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在下列命题中,不是公理的是
C．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013高考立体几何试题汇总
专题七：立体几何一、选择题错误！未指定书签。
1．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ A ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π2错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ D ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥4错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于 （ A ）A ．23 B C D ．135错误！未指定书签。
．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ A ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+错误！未指定书签。
6．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ C ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<错误！未指定书签。
2013高考数学真题——立体几何分大题汇编
AC BD ， BC 1 , AD AA1 3
（1）证明： AC B1 D ； （2）求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值。
9、 （2013 北京卷理 17）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形， 平面 ABC 平面 AA1C1C ， AB 3, BC 5 . （1）求证： AA1 平面 ABC ； （2）求二面角 A1 BC1 B1 的余弦值；
21、 （2013 辽宁卷文 18）如图， AB 是圆 O 的直径， PA 圆所在的平面， C 是圆 O 上的 点。 （1）求证： BC 平面 PAC ； （2）若 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，求证： QG ∥平面 PBC
P
Q A G C O B
22 、 （ 2013
P M A
（2）若二面角 C BM D 的大小为 60 ，求 BDC 的大小.
0
B
Q
D
C
17、 （2013 福建卷理 19） 如图， 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， 侧棱 AA1 底面 ABCD ，AB ∥ DC ， AA1 1 ， AB 3k ， AD 4k ， BC 5k ， DC 6k , (k 0) 。 （1）求证： CD 平面 ADD1 A1 ； （2）若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为
1 （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ，且点 Q 满足 DQ CP . 记直线 PQ 2 与平面 ABC 所成的角为 ，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ，二面角 E l C 的大小为
，求证： sin sin sin .
2013年高考数学试题（8）立体几何
1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。
都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。
则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。
所以的中点。
所以BC 是EFG D 的中位线。
故BC EF ∥。
（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013 年高考新课标1（理））如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为（）A．50033cm B．86633cm C．137233cm D．204833cm【答案】 A2 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）A．若, m , n , 则m n B．若// , m , n , 则m // nC．若m n , m , n , 则D．若m , m // n, n // , 则【答案】 D3 ．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）A．1: 2 B．1: 4 C．1: 8 D．1:16【答案】 C4 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱A BCD ABC D 中AA1 2AB , 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于（）1 1 1 1A．23B．33C．23D．13【答案】 A5 ．（2013 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16【答案】 A6 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为V1 , V2 , V3 , V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A．V1 V2 V4 V3 B．V1 V3 V2 V4 C．V2 V1 V3【答案】 C7 ．（2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可．能．．等于（）A．1 B． 2 C．2-12D．2+12【答案】 C8 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是122正视图侧视图11第5 题图俯视图（）14 16A．4 B．3 C．3 D．6【答案】 B9 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n为异面直线, m 平面, n 平面. 直线l 满足l m,l n,l ,l , 则（）A．// , 且l // B．, 且lC．与相交, 且交线垂直于l D．与相交, 且交线平行于l【答案】 D10．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱9ABC A B C1 1 1的侧棱与底面垂直, 体积为4, 底面是边长为 3 的正三角形. 若P 为底面A1B1C1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）5A．12 B．3 C．4 D．6【答案】 B11．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5 图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200 D．240【答案】 C12．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A B C的 6 个顶点都在球O 的球面上, 若1 1 1AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12, 则球O 的半径为（）A．3172B．210 C．132D．310【答案】 C13．（2013 年高考江西卷（理））如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且AB CD , 正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n , 那么m n（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】 A14．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),,(画0,该0,四0)面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】 A15．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中, 不是公．理．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】 A16．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中, 过点A 作平面的垂线, 垂足为B , 记B f ( A). 设, 是两个不同的平面, 对空间任意一点P , Q1 f [ f ( P)], Q2 f [ f ( P)] , 恒有PQ1 PQ2 , 则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的( 锐) 二面角为045C．平面与平面平行D．平面与平面所成的( 锐) 二面角为060【答案】 A17．（2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】 D二、填空题18．（2013 年高考上海卷（理））在xOy 平面上, 将两个半圆弧 2 2( x 1) y 1(x 1) 和2 2(x 3) y 1(x 3)、两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, y )(| y | 1) 作的水平截面, 所得截面面积为 24 1 y 8 , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为__________【答案】 22 16 .19．（2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.3 2111【答案】320．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径,3OK , 且圆O与圆K 所2在的平面所成的一个二面角为60 , 则球O的表面积等于______.【答案】1621．（2013 年高考北京卷（理））如图, 在棱长为 2 的正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E为BC的中点, 点P在线段D1E上, 点P到直线CC1 的距离的最小值为__________.D 1 C 1A1D PB1CEAB2 5 【答案】522．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图, 在三棱柱 A B C ABC1 中, D，E，F 分别是AB，AC，AA1 的中点, 设三棱1 1锥 F ADE 的体积为V , 三棱柱A1B1C1 ABC 的体积为V2 , 则1V1 :V____________.2CBAFCEA D【答案】1: 24B23．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图( 单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积等于________ 2cm .4332正视图侧视图3俯视图（第12 题图）【答案】2424．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图, 正方体ABCD ABC D 的棱长为1,P 为BC的中点,Q 为线段CC1 上的动点, 过点A,P,Q 的平1 1 1 1面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当01 1 3CQ 时,S 为四边形; ②当CQ 时,S 为等腰梯形; ③当CQ 时,S 与2 2 41C D 的交点R满足 1 1C R ; ④当1 13 34CQ 1时,S 为六边形; ⑤当CQ 1时,S 的面积6为. 2【答案】①②③⑤25．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是____________.【答案】16 1626．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图. 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是_______________【答案】1227．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）在如图所示的正方体A BCD ABC D 中,1 1 1 1异面直线A1B 与B1C 所成角的大小为_______D1 C1A1B1D CA B【答案】3WORD文档三、解答题28．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I) 求证: 平面PAC 平面PBC；(II) 若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值.【答案】WORD文档29．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为PC 的中3 点, AF PB .(1) 求PA 的长; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 °. AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦, 轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.( Ⅰ) 证明: 平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; ( Ⅱ) 求cos COD .【答案】解: ( Ⅰ) 设面面直线且面面PAB PCD m, AB/ /CD CD PCD AB/ / PCDAB / /直线m AB 面ABCD 直线m // 面ABCD .所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD .( Ⅱ)PO设底面半径为.r,线段CD的中点为F，则OPF 60 .由题知tan 22.5r, tan 60 OFPOtan 60 tan 22.5OFrcosCOD2, tan 4512 t antan22 .5222.5.cos COD 2 2 COD cos CODcos 1 tan 22.5 2 -1,2 2 1[ 3( 2 - 1,)] 2 3(3 2 2 )cos COD 17- 12 2.所以cos COD 17 -12 2 . 法二:1．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图, 在四面体A BCD 中, AD 平面BCD , BC CD, AD 2, BD 2 2 . M 是AD 的中点, P是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ 3QC .(1) 证明: PQ // 平面BCD ;(2) 若二面角 C BM D 的大小为060 , 求BDC 的大小.AMPQDBC（第20 题图）【答案】解: 证明( Ⅰ) 方法一: 如图6, 取MD 的中点 F , 且M 是AD 中点, 所以AF 3 FD . 因为P 是BM 中点, 所以PF / /BD ; 又因为( Ⅰ)AQ 3QC 且AF 3FD , 所以QF / / BD , 所以面PQF / / 面BDC , 且PQ 面BDC , 所以PQ / / 面BDC ;方法二: 如图7 所示, 取BD 中点O , 且P 是BM 中点, 所以1PO/ / MD ; 取CD 的三等2分点H , 使DH 3CH , 且AQ 3QC , 所以/ / 1 / / 1QH AD MD , 所以4 2P O// Q H P /Q/ ,O且H OH BCD , 所以PQ / / 面BDC ;( Ⅱ) 如图8 所示, 由已知得到面ADB 面BDC , 过C 作CG BD 于G , 所以CG BMD , 过G 作GH BM 于H , 连接CH , 所以CHG 就是C BM D 的二面角; 由已知得到BM 8 1 3, 设BDC , 所以CD CG CBcos ,sin CD 2 2 cos ,CG 2 2 cos sin , BC 2 2 sin , BD CD BD,在RT BCG 中, BCG sin BG BG 2 2 sin2BC, 所以在RT BHG中,HG22 2 sin21 2 2 sinHG , 所以在RT CHG 中3 3tan CHG tan60 3 CGHG2 2 cos sin22 2 sin3tan 3 (0,90 ) 60 BDC 60 ;2．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）如图, 在正三棱锥ABC A1B1C1 中, AA1 6 ,异面直线B C 与1 AA 所成角的大小为1 6, 求该三棱柱的体积.A1 C1B1A CB【答案】[ 解] 因为C C1 AA1 .所以B CC 为异面直线BC1 与AA1 . 所成的角, 即BC1C =1 6 .在Rt BC C 中,13BC CC tan BC C 6 2 3 ,1 13从而32S BC 3 3 , ABC4因此该三棱柱的体积为V S ABC AA1 3 3 6 18 3 .3．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14 分.如图, 在三棱锥S ABC 中, 平面SAB 平面SBC , AB BC , AS AB , 过A 作AF SB , 垂足为 F , 点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证:(1) 平面EFG // 平面ABC ; (2) BC SA.SE GFCAB【答案】证明:(1) ∵AS AB , AF SB∴F分别是SB的中点∵E.F 分别是SA.SB的中点∴EF∥AB又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面EFG // 平面ABC(2) ∵平面SAB 平面SBC平面SAB 平面SBC =BCAF 平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC∴AF⊥BC又∵AB BC , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA4．（2013 年高考上海卷（理））如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A 1A=1, 证明直线BC1 平行于平面DA1C,并求直线BC1 到平面D1AC的距离.D CABA1D1B1C1【答案】因为ABCD-A1B1C1D1 为长方体, 故AB// C1D1, AB C1D1 ,故ABC1D1 为平行四边形, 故B C1 // AD1, 显然 B 不在平面 D1AC上, 于是直线BC1 平行于平面DA1C;直线BC1 到平面D1AC的距离即为点 B 到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1 的体积, 以ABC为底面, 可得V1 1 1( 1 2) 13 2 3而ADC 中, AC D1C5, AD1 2 , 故1 SAD C1321 3 12 2所以, V h h , 即直线BC .1 到平面D1AC的距离为3 2 3 3 35．（2013 年高考湖北卷（理））如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A,B 的点, 直线PC 平面ABC , E , F 分别是PA, PC 的中点.(I) 记平面BEF 与平面ABC 的交线为l , 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系, 并加以证明;(II) 设(I) 中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D , 且点Q 满足 1DQ CP . 记直线PQ2 与平面ABC 所成的角为, 异面直线PQ 与EF 所成的角为, 二面角 E l C 的大小为, 求证: sin sin sin .第19 题图【答案】解:(I) EF AC , AC 平面ABC , EF 平面ABC EF 平面ABC又EF 平面BEFEF ll 平面PAC(II) 连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)WORD文档6．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB 上的点, CD BE 2, O 为BC 的中点. 将ADE 沿DE 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE , 其中A O 3 .( Ⅰ) 证明: A O 平面BCDE ; ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值.CO.BAD ECO BA DE 图1 图2【答案】( Ⅰ) 在图 1 中, 易得O C 3, AC 3 2, AD 2 2ACO BDEH连结OD ,OE , 在OCD 中, 由余弦定理可得2 2 2 cos45 5 ODOC CD OC CD由翻折不变性可知 A D 2 2 ,所以 2 2 2A O OD A D , 所以A O OD ,理可证 A O OE , 又OD OE O , 所以 A O 平面BCDE . ( Ⅱ) 传统法: 过O作OH CD 交CD 的延长线于H , 连结A H , 因为A O 平面BCDE , 所以 A H CD ,所以 A HO 为二面角 A CD B 的平面角.结合图 1 可知, H 为AC 中点, 故3 2OH , 从而22 2 30A H OH OA2cos A HO 所以O HA H155, 所以二面角 A CD B 的平面角的余弦值为15z5A.向量法: 以O 点为原点, 建立空间直角坐标系O xyz如图所示,则A 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D 1, 2,0 所以CA 0,3, 3 , DA 1,2, 3 CDxO向量法图EBy设n x, y,z 为平面A CD 的法向量, 则n CA n DA 0, 即3y 3z 0x 2y3z 0, 解得y xz 3x, 令x 1, 得n 1, 1, 3由( Ⅰ) 知, OA 0,0, 3 为平面CDB 的一个法向量,所以cos n, O An OAn OA3 1553 5, 即二面角 A CD B 的平面角的余弦15 值为. 57．（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB// DC, AB⊥AD, AD= CD= 1, AA1 = AB= 2, E 为棱AA1 的中点.( Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;( Ⅱ) 求二面角B1- CE- C1 的正弦值.( Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1 所成角的正弦值为的长.26, 求线段AM【答案】8．（2013 年高考新课标1（理））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BA A1=60° .( Ⅰ) 证明AB⊥A1C;( Ⅱ) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】 ( Ⅰ) 取 AB 中点 E,连结 CE, A B , 1A E ,1∵AB=AA 1 , BAA 1 =60 , ∴ BAA 1是正三角形 , ∴ A E ⊥AB, ∵CA=CB,∴CE ⊥AB,∵C EA 1E =E, ∴AB ⊥面CEA 1 ,1∴AB ⊥ A C ;1( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 EC ⊥AB, EA 1 ⊥AB,又∵面 ABC ⊥面 A BB A , 面 ABC ∩面 ABB 1A 1 =AB, ∴EC ⊥面ABB 1 A 1 ,∴EC ⊥EA 1,1 1∴EA,EC, E A 两两相互垂直 , 以 E 为坐标原点 , EA 的方向为 x 轴正方向 ,| EA | 为单位1长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ,有 题 设 知A(1,0,0),A (0,3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则1BC =(1,0, 3 ), BB 1 = AA 1 =(-1,0, 3 ), A 1C =(0,- 3 , 3 ),设 n =(x, y, z) 是平面 CBB C 的法向量 , 1 1则nn B C BB 10 0, 即 x 3z 0 x 3y 0, 可取 n =(3,1,-1),∴cos n , A C =1n | n ||A C 1 A 1C |10 5,∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为1059．（2013 年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,AB AA1 2 .( Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;( Ⅱ) 求平面OCB1 与平面BB1 D1D的夹角的大小.D1C1A1B1DCOAB【答案】解:( Ⅰ) A1O 面ABCD,且BD 面ABCD, A O BD ; 又因为, 在正1方形AB CD 中, AC BD；且A1O AC A,所以BD 面A1 AC且A1C 面A1AC，故A1C BD .在正方形AB CD中,AO = 1 . RT A1OA中，A O 1.在1设.B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C E1O又BD BB1 D1D,E1O BB1 D1D . BD E1O O面面，且，所以由以上三点得A1C 面BB1 D1D .( 证毕)( Ⅱ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题.以O为原点, 以OC为X 轴正方向, 以OB为Y轴正方向. 则B（0,1, 0）,C (1，0，0), A1(0，0，1), B1(1,1,1) A1C (1, 0, 1) .由( Ⅰ) 知, 平面BB 1 A C OB OC （）1D1D的一个法向量n (1,0, 1), (1,1,1) ,1,0, 0 .1 1设平面OCB1 的法向量为D1C1 ,则0, 0，n2 n OB n OC2 1 2A1B1解得其中一个法向量为n2 ( 0,1, -1).DCOcos | cos| n n | 1 11 2n ,n| .1 12| n | | n | 2 21 2A B所以, 平面OCB1 与平面BB1D1D的夹角为310 ．（2013 年高考江西卷（理））如图, 四棱锥P A B C中, PA 平面ABCD, E为BD的中点, G为PD的中点，3DAB DCB ,EA EB AB 1，PA , 连接CE 并延长交AD 于F .2(1) 求证: AD 平面CFG ;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1) 在ABD 中, 因为E 是BD 的中点, 所以EA EB ED AB 1,故,BAD ABE AEB ,2 3因为DAB DCB , 所以EAB ECB ,从而有FED FEA ,故E F AD, AF FD , 又因为PG GD,所以FG ∥PA .又PA 平面ABCD ,所以GF AD,故AD 平面CFG .(3) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则3 3A(0,0,0), B(1,0,0), C( , ,0), D (0, 3,0) ,2 2(4)3P (0,0, ) , 故21 3 3 3 3 3 3 BC ( ，，0), CP ( ，, ), C D ( , ,0)2 2 2 2 2 2 21 3y12 2设平面BCP 的法向量n (1, y , z ),则1 1 1,3 3 3y z1 12 2 2解得y1z12333 , 即 3 2n (1, , ).13 3设平面DCP 的法向量n2 (1, y2 ,z2 ) , 则3 3y22 23 3 3y z2 22 2 2y, 解得 2z223,即n2 (1, 3,2) . 从而平面 B C P与平面 D C P的夹角的余弦值为cos n n1 2n n1 243169824.11 ．（2013 年高考四川卷（理））如图, 在三棱柱A BC A B C中, 侧棱1 1 AA 底面1ABC , A B AC 2AA , BAC 120 , D,D1分别是线段BC, B1C1 的中点, P 是线1段AD 的中点.( Ⅰ) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A BC 平行的直线l , 说明理由, 并证明直线1l 平面ADD1A1;( Ⅱ) 设( Ⅰ) 中的直线l 交AB 于点M , 交AC 于点N , 求二面角 A A M N 的余弦1值.CDA PBC1D1A1B1【答案】解: 如图, 在平面ABC 内, 过点P 做直线l // BC , 因为l 在平面ABC 外,1BC 在平面A BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l // 平面A1BC .1由已知, AB AC , D 是BC 的中点, 所以, BC AD , 则直线l AD .因为AA1 平面ABC , 所以AA1 直线l . 又因为AD, AA1 在平面ADD1A1 内, 且AD与A A 相交, 所以直线平面ADD1A11解法一:连接A1P , 过A 作AE A1P于E , 过E 作EF A1M 于F , 连接AF .由知, MN 平面AEA, 所以平面AEA1 平面A1MN .1所以AE 平面AMN , 则A1M AE.1所以A M平面AEF , 则A1M AF .1故AFE 为二面角 A AM N 的平面角( 设为).1设A A1 1 , 则由 A B 2A 1 C , A BAC A 120 , 有BAD 60 , AB 2, AD 1 .又P 为AD 的中点, 所以M 为AB 的中点, 且1AP , AM 1 ,2在5Rt AAP 中, A1P ; 在Rt A1AM 中,12A1M 2 .AA AP从而,1AEA P11 5,AFAA AM 1A M11 2, 所以 sinAE AF 2 5. 所以222 15 cos 1 sin155.故二面角 AA 1M N 的余弦值为155解法二 :设A A 1 1. 如图 , 过 A 1 作 A 1E 平行于B 1C 1 , 以 A 1 为坐标原点 , 分别以 A 1E,A 1D 1 , AA 1 的 方向为 x 轴, y 轴, z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz ( 点O 与点A 重合).1则 A 1 0,0,0 , A 0,0,1 .因为 P 为 AD 的中点 , 所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点 , 故3 13 1 M, ,1 ,N , ,1 , 2 22 2所以3 1A M, A 1A0,0,1 , NM 3,0,0 ., ,112 2设平面 A AM 的一个法向量为n 1 x 1,y 1,z 1 , 则1nA M 11n A A,11,n A M0,11即故有n A A0,113 1x , y,z, ,1 0,1 1 12 2x , y,z0,0,1 0,1 1 13 1x y z从而 1 1 12 20,z122.6取x1 1, 则y1 3 , 所以n1 1, 3,0 .设平面A MN 的一个法向量为n2 x2 , y2,z2 , 则1n A M 2 1n NM2 ,,即n A M2 1n NM20,0,故有3 1x , y , z , ,1 0,2 2 22 2x , y ,z3,0,0 0,2 2 2从而3 1x y z2 2 22 20,3x 0.2取y2 2, 则z2 1, 所以n2 0,2, 1 . 设二面角A A1M N 的平面角为, 又为锐角,则cos n n1 2n n1 21, 3,0 0,2, 1 152 5 5.故二面角A A1M N 的余弦值为15 512．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10 分.如图, 在直三棱柱A B C ABC中, AB AC , AB AC 2 , AA1 4 , 点D 是1 1 1BC 的中点(1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值(2) 求平面A DC 与ABA1 所成二面角的正弦值.1【答案】 本题主要考察异面直线 . 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算 , 考察运用空间向量解决问题的能力 .解:(1) 以 A B, AC, AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,1则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C ( 0,2,0) ,A (0,0,4) , D (1,1,0) , C 1 (0,2,4)1∴ A 1B (2,0, 4) , A 1 B (1, 1, 4) ∴cos A B, 1C D1A B 1A 1BCD1C D118 20 183 10 10∴异面直线 A 1 B 与C 1D 所成角的余弦值为3 10 10(2)AC (0,2,0)是平面ABA 的的一个法向量1设平面 ADC 1 的法向量为m (x, y, z) , ∵ AD (1,1,0), AC 1(0,2,4)由 mAD, m AC1∴x2y y 4z 0 0取 z 1, 得 y2, x 2 , ∴平面ADC 的法向量为 m (2, 2 ,1)1设平面 ADC 1 与A BA 1 所成二面角为∴cos cosAC m 4 2AC, m , 得2 3 3AC msin53∴平面ADC 与ABA1 所成二面角的正弦值为15 313．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图, 四棱锥P ABCD 中, ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都是等边三角形.(I) 证明: PB CD ; (II) 求二面角 A PD C 的大小.【答案】14．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示, 在三棱锥P ABQ 中, PB 平面ABQ , BA BP BQ , D,C, E, F 分别是A Q,B ,Q A,P的中B点P, AQ 2BD , PD 与EQ 交于点G , PC 与FQ 交于点H ,连接GH .( Ⅰ) 求证: AB GH ; ( Ⅱ) 求二面角 D GH E 的余弦值.【答案】解:( Ⅰ) 证明: 因为D,C,E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点,所以EF ∥AB , DC ∥AB , 所以EF ∥DC ,又EF 平面PCD , DC 平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF 平面EFQ , 平面EFQ 平面PCD GH ,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .( Ⅱ) 解法一: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ=90 , 即A B BQ , 因为PB 平面ABQ , 所以AB PB ,又BP BQ B, 所以AB 平面PBQ , 由( Ⅰ) 知AB ∥GH ,所以GH 平面PBQ , 又FH 平面PBQ , 所以GH FH , 同理可得GH HC , 所以FHC 为二面角 D GH E 的平面角, 设BA BQ BP 2 , 连接PC ,在Rt △FBC 中, 由勾股定理得, FC 2 ,在Rt △PBC 中, 由勾股定理得, PC 5 ,又H 为△PBQ 的重心, 所以1 5 HC PC3 3FH5 3同理,在△FHC 中, 由余弦定理得cos FHC5 5249 95 529,4即二面角 D GH E 的余弦值为5.解法二: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ 90 , 又PB 平面ABQ , 所以BA, BQ, BP 两两垂直,以B 为坐标原点, 分别以BA, BQ, BP 所在直线为x 轴, y 轴, z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设BA BQ BP 2 , 则E (1,0,1) , F (0,0,1) , Q (0,2,0) , D (1,1,0) , C (0,1,0) P (0,0, 2) ,, 所以EQ ( 1 , 2 ,, FQ (0,2, 1) , DP ( 1,1,2) , CP (0, 1,2) ,设平面EFQ 的一个法向量为m(x , y ,z)1 1 1,由m EQ 0, m FQ 0 ,x 2y z 01 1 1得2y z 01 1取y1 1, 得m (0,1,2) .设平面PDC 的一个法向量为n (x2 , y2 ,z2) 由n DP 0, n CP 0 ,x y 2z 02 2 2得y2z 0 2 2取z2 1, 得n (0,2,1). 所以cos m, nm nm n454因为二面角 D GH E 为钝角, 所以二面角 D GH E 的余弦值为5. 15．（2013 年高考湖南卷（理））如图5, 在直棱柱ABCD A1B1C1D 中，AD / /BC , BAD 90 ,AC BD, BC 1, AD AA1 3.1(I) 证明: A C B D ; (II) 求直线1 B C与平面ACD 所成角的正弦值.1 1 1【答案】解: ( Ⅰ) ABCD A1B1C1D1是直棱柱BB1 面ABCD,且BD 面ABCD BB1 AC又.AC BD,且BD BB1 B, AC 面BDB1。
2013年全国高考理科数学考试试题分类汇编7：立体几何
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1BC ．2D ．2【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形.若P 为底面111A B C的中心,则PA 与平面ABC所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图【答案】C12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ）A B ．C ．132D ．【答案】C13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且ABCD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】51B22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2423．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2424．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,SA BCADEF BC【答案】①②③⑤25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；D 1 C 1 B 1A 1D C AB(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCDA -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABCDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P OQ H P Q O H ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D--的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中,2133HG α=∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 6033CGCHG HG ∠==== tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 6BC CC BC C =⋅∠==,从而2ABC S ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SAABCSGFEB 1A 1C 1ACB4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中,11AC DC AD ===,故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴平面第19题图⊆平面又EF BEF∴EF l∴平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.CO BDEA CDOBE'A图1图2连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2AH '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '--.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;C D OBE'AH(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1, 求线段AM的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC1BB =1AA),1A C设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,可取n,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n ||∴直线A 1C 与平面BB1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设. [来源:学_科_网]，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π1A10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D ,(4)3(0,0,)2P ,故133333(0),(,),(2222BC CP CD ==--=-，，，设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =,则11110233022y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)3n =. 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =,则2223233022y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2n =.从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124cos 416n n n n θ⋅===. 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.[来源:学,科,网](Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AA P 中, 12A P =;在1Rt A AM中, 1AM =从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==,所以sin AE AF θ==.所以cos θ===. 故二面角1A A M N --解法二:设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =.设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有 ()()()1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩ 从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩取11x =,则1y =所以()11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,220.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-. 设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角,则1212cos 5n n n n θ∙===∙.故二面角1A A M N -- 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=B A ,)4,1,1(1--=B A∴10103182018,cos 11==>=<C A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =,∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=m AC θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为3513．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值. 【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ平面PCD GH =,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH . (Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B =,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC =又H 为△PBQ 的重心,所以133HC PC == 同理3FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-. 解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =,由0m EQ ⋅=,0m FQ ⋅=,得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m =.设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅=,0n CP ⋅=,得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =,得(0,2,1)n =.所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-.15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
(2014年高考必备)2013年全国各地高考理科数学立体几何
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B C D ．13【答案】A5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1B C D 【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图【答案】C12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ．【答案】C13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是 （ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A 17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48ππ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60 ,则球O 的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】 22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2423．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2424．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S的面积为2【答案】①②③⑤25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.A BCADEF BC【答案】1616π-26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1 C 1 B 1A 1D C AB【答案】29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒ 设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABCDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P O Q H P Q O H∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D --的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中, 13HG =∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 60CG CHG HG ∠====tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 6BC CC BC C =⋅∠==,从而24ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面ABCS GFEB 1A 1C 1ACBDA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1ADC ∆中,11AC DC AD ===故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.【答案】解:(I)EFAC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴ 平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴第19题图平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =,O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.CO BDEA CDOBE'A图1图2连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而AH '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--.7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.C D OBE'AH(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1, 求线段AM的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC1BB =1AA),1AC),设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,可取n,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n||∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA =(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设. [来源:学_科_网]，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OC OB C A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π 10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，1A3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(,22A B C D , (4)3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(2222BC CP CD ==-=-设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z = ,则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)33n =- .设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z = ,则22232233022y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(1n = .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos 4n n n n θ⋅=== . 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠= ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1ABC 外,BC 在平面1ABC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1ABC . 由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADDA 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF AM ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1AM AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ). 设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AAP 中, 1AP =在1Rt A AM 中, 1AM =从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==所以sin AE AF θ==.所以cos θ===. 故二面角1A AM N --解法二:设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1AA的方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11,12A M ⎫=⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,)NM =.设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有 ()()()1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =,所以()11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,20.y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-.设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos n n n n θ∙===∙.故二面角1A AM N --的余弦值为512．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,AA AC AB 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=B A ,)4,1,1(1--=B A∴10103182018,cos 11==∙>=<D C B A C A∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =,∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=m AC θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为3513．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆ ，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .(Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠ ,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B = ,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC =,又H 为△PBQ 的重心,所以13HC PC == 同理FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-. 解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =-- ,(0,2,1)FQ =- ,(1,1,2)DP =-- ,(0,1,2)CP =- ,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z = , 由0m EQ ⋅= ,0m FQ ⋅=,得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m = . 设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z = 由0n DP ⋅= ,0n CP ⋅=,得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =,得(0,2,1)n = .所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-. 15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥= ,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解: (Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
2013高考数学真题——立体几何分类汇编
立体几何空间向量例题讲解例1、如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,F E C D ,,,分别是BP AP BQ AQ ,,,的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（1）证明：AB ∥GH ；（2）求二面角E GH D --的余弦值。
（3）BQ BP BA ===1求点A 到平面EGHF 的距离 （4）求异面直线EG 与PH 所成的角例2、如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =,0160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值AB CC 1A 1B 1例题4、在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝M ，N分别为PB ，PD 的中点．(Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．例题5、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。
（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？ 若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长。
2014-5-27数学作业作业1、如图，AB 是圆的直径，⊥PA 圆所在的平面，C 是圆上的点。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值。
作业2、如图5，在直棱柱1111D C B A ABCD -中，AD ∥BC ，090=∠BAD ，BD AC ⊥，1=BC ,31==AA AD（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值。
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（ ）
4. ．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱
ABCD A1B1C1D1 中 AA1 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于
（ ）
2
A．
3
3
B．
3
2
C．
3
1
D．
3
【答案】A [来源:]
5. ．（2013 年高考新课标 1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
则该几何体的体积为
560
A．
3
580
B．
3
C． 200
D． 240
（ ）
【答案】C
12.．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,则球 O 的半径为 （ ）
(x 3)2 y2 1(x 3) 、两条直线 y 1 和 y 1围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y
轴旋转一周而成的几何体为 ,过 (0, y)(| y | 1) 作 的水平截面,所得截面面积为 4 1 y2 8 , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 的体积值为__________
C1 B1
A1
F
C
E
B
AD
【答案】1: 24
23.．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)
如图所示,则此几何体的体积等于________ cm2 .
4
3
3
2 正视图
侧视图
3
俯视图 （第 12 题图）
【答案】24
24.．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））如图,正方体 ABCD A1B1C1D1
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何
一、选择题 1. ．（2013 年高考新课标 1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放
在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为
（ ）
A． 500 cm3 3
2 -1
C．
2
2 +1
D．
2
8. ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））某四棱台的三视图如图所 示,
则该四棱台的体积是 1
2
2 正视图
1
侧视图
1
俯视图
第 5 题图
（ ）
A． 4
14答案】B
9. ．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））已知 m, n 为异面直线,
【答案】
科网]
[来源:学
29.．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥 P ABCD 中, PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为 PC 的中点, AF PB . 3 (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B AF D 的正弦值.
A．16 8
【答案】A
B． 8 8
C．16 16
D． 8 16
（ ）
6. ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,
其体积分别记为V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则
有
（ ）
（ ）
16.．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））在空间中,过点 A 作平面 的
垂 线 , 垂 足 为 B , 记 B f ( A) . 设 , 是 两 个 不 同 的 平 面 , 对 空 间 任 意 一 点 P ,
Q1 f [ f (P)],Q2 f [ f (P)] ,恒有 PQ1 PQ2 ,则
m 平面 , n 平面 .直线 l 满足 l m,l n,l ,l ,则
（ ）
A． // ,且 l //
B． ,且 l
C． 与 相交,且交线垂直于 l
D． 与 相交,且交线平行于 l
【答案】D
10.．（2 013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧
的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.
则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
①当
0
CQ
1 2
时,S
为四边形;②当 CQ
1 2
时,S
为等腰梯形;③当 CQ
3 4
C．10
D．11
14.．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））一个四面体的顶点在
空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以
zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为
【答案】
1.．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））如图,圆锥顶点为 p .底面圆心
为 o ,其母线与底面所成的角为 22.5°. AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°.
(Ⅰ)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求 cos COD . 【答案】解: (Ⅰ) 设面PAB 面PCD 直线m, AB / /CD且CD 面PCD AB / /面PCD
【答案】A
B． 866 cm3 3
1372
C．
cm3
3
D． 2048 cm3 3
2. ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设 m, n 是两条不同的直线, ,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是 源:学科网]
A．若 , m , n ,则 m n B．若 // , m , n ,则 m // n
与 B1C 所成角的大小为_______
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
【答案】
3
三、解答题
28.．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆
所在的平面,C 是圆上的点.
(I)求证: 平面PAC 平面PBC；
(II) 若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角C PB A的余弦值.
9 棱与底面垂直,体积为 4 ,底面是边长为 3 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面
ABC 所成角的大小为
（ ）
5 A． 12
B． 3
C． 4
D． 6
【答案】B
11.．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题 5 图所示,
3 17
A．
2
B． 2 10
13
C．
2
D． 3 10
【答案】C
13.．（2013 年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 AB CD ,正 方
体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m, n ,那么 m n
（ ）
A．8 【答案】A
B．9
PO
r
2
1 tan 2 22.5
cos COD 2 cos2 COD 1 tan 22.5 2 -1, cos COD 1 [ 3( 2 -1, )]2 3(3 2 2)
2
2
cos COD 17 -12 2.所以cos COD 17 -12 2 .
法二:
1.．（2013 年普通高等学校招生统一 考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））如图,在四面体 A BCD 中, AD 平面 BCD , BC CD, AD 2, BD 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ 3QC . (1)证明: PQ // 平面 BCD ;(2)若二面角 C BM D 的大小为 600 ,求 BDC 的大小.
D
C
A
E B
25
【答案】
5
22.．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题））如图,在三
棱柱 A1B1C1 ABC 中, D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点,设三棱锥 F ADE 的体积为V1 , 三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为V2 ,则V1 : V2 ____________.
（ ）[来
C．若 m n , m , n ,则 D．若 m , m // n , n // ,则
【答案】D
3. ．（2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1: 4 ,则这两个球的体积之比为
A．1: 2
【答案】C
B．1: 4
C．1: 8
D．1:16
A．
B．
C．
D．
【答案】A
（ ）
15.．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））在下列命题中,不是公理的是