数列的极限与函数的导数
专题九：数列的极限与函数的导数
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1)c c c n (lim =∞
→是常数）,2)01
lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自
都有极限时才能适用。对00、∞
∞
、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限，
一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年，14）
π
ππ
--→x x x x cos )(lim
=
【分析】这是00
型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π
ππ--→x x x x cos )(lim
=x x x cos )(lim ππ
+→=π2-。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的
和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2004年,4）-+++-+∞→131211(
lim n n n n …+1
2112+-
++n n
n n )的值为…（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2
1
（D ）
1
【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限Θ12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1
(lim +-∞→n n n =-1，故选)(A 。
3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和q
a s -=
11
及重要应用。例如（2004年，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比2
1
-=q ，且
)(lim 12531-∞→++++n n a a a a Λ=3
8
，则=1a 【分析】Θ数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是4
1
2=q 的等比数列，
∴)(lim 12531-∞
→++++n n a a a a Λ=
211q a -=3
8
，解得1a =2。 4，当且仅当()()a x f x f o
x x x x ==+-→→lim lim 0
时，()a x f o
x x =→lim ，0x x =时()x f 可
有定义也可无定义。例如下列命题正确的是…………( ) (A )若()1-=
x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()2
22++=x x
x x f ,则
()2lim 2
-=-→x f x ，)(C 若()x
x f 1=,则()0lim =∞
→x f x ， (D)若
???<+≥=)
0(1)
0()(x x x x x f ,则0)(lim 0
=→x f x 。
【分析】Θ(A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)
0)(lim 0=+
→x f x ，1)(lim 0
=-→x f x ，故()B 是正确的。
5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00
lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如
||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？
【分析】1||lim |0||0|lim 00
=??=?-?+++
→?→?x x x x x x Θ，x
x x ?-?+-
→?|
0||0|lim 0 1|
|lim 0-=??=-
→?x
x x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。 【经典题例】
【例１】求下列数列的极限： （１）)310(lim +-∞
→n l n l g
g n ；（２）θθθθn n n n n sin cos sin cos lim +-∞→（2
0π
θ≤
≤）； （３）)]1
1()31()21()1(1[1lim a n
n n a n a n a n n -+++++++++∞→Λ；
（４）已知0>a ，数列{n a }满足n
n a a a a a 1
,11+==+，若{n a }的极限存在且大于零，求n n a ∞
→lim 的值。
【例２】求下列函数的极限： （1）2
2312lim
4
---+→x x x （2）2
sin 2cos cos lim
2x x x
x -→
π
（3）)1311(lim 21x
x x ---→ （4）)11(lim 2
2--+∞→x x x x
【例３】求下列函数的导函数：
（１）)(x f ＝)sin (cos x x e x +-； （２）)(x f ＝)2(ln cos 2x ； （３）)(x f ＝2
1lg
x x x +-； （４）已知)(x f ＝||323x x x +，
求)0(f '。
【例４】设121-++++=n n q q q a Λ（1,2≠∈*q N n ），=n A （11
a C n + n n
n n n a C a C a C +++Λ3322）。（Ⅰ）用q 和n 表示n A ；（Ⅱ）当13<<-q 时，
求n n
n A 2lim ∞→的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求x
qx x 11lim 30-+→的取值围。
【例５】过点（2，0），求与曲线32x x y -=相切的直线方程。
【例６】（2004全国卷二，22）已知函数x x x f -+=)1ln()( ，x x x g ln )(=。 （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；
（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2
(2)()(0a b b
a g
b g a g -<+-+<。
【例７】（2004卷，21）设函数)(x f =)ln(m x x +-，其中常数m 为整数。 （Ⅰ）当m 为何值时，)(x f 0≥；
（Ⅱ）定理：若函数)(x g 在[b a ,]上连续，且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈使0)(0=x g 。试用上述定理证明：当整数1>m 时，方程
)(x f =0，在[m e m e m m ---2,]有两个实根。
【例８】溶液自深18cm ，顶直径12cm 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12cm 时，其水平下落的速度为1cm ∕min ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？
【热身冲刺】 一、选择题：
1、下列数列极限为1的
是
…………………………………………………………（
）
)(A n m m m )1(
lim -∞→； )(B n
n m
m )1(lim -∞→； n n n C )9999.0()1(lim )(-∞→； )1
1(lim )(2n n e n
n D -∞→++。
2、
已
知
65
2
52lim 221-=+--→ax x x x ，则常数a 的值
为…………………………………（ ）
65)(-A （B ）5
6
- 526)(-
C 526)(
D ； 3、
)1ln(3[lim 111
x e x
x -++--→]的值是………………………………………………
（ ）
0)(A 1)(B e C )( )(D 不存在；
4、若??
?
??=≠-≥-+-+=)
0()01(1
111)(3x a x x x x x f 且在点0=x 处连续，则=a （ ）
23)(A 3
2
)(B 0)(C 1)(D
5、若)1(-x f 为偶函数，且)1(-'f 存在，则=-')1(f ……………………（ ）
（A ）0 )(B x - )(C 1 )(D -1； 6、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
7、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是……………………………（ ）
（A ）0.>a 0)(≥a B 0)( （A ）1,-1 （B ）1,-17 （C ）3,-17 （D ）9,-19 9、)(x f 、)(x g 分别是定义R 上的奇函数和偶函数。当0 0)()()()(>'+'x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()( （ ） （A ）（-3，0）Y （3，∞+） )3,0()0,3)((Y -B （C ）),3()3,(+∞--∞Y )3,0()3,)((Y --∞D 10、三次函数)(x f =b bx x 333+-在[1，2]恒为正值的充要条件为………… （ ） （A ）21≤≤b )(B 0 9 1 3-=x y 在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）； 12、a x f =')(，则=?-?-→?x x f x x f x ) ()2(lim 0 ； 13、已知)(x f 是x 的一个三次多项式，若2)(lim 2-→x x f x =4 ) (lim 4-→x x f x =1， 则3 )(lim 3-→x x f x = 14、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半 三角函数、数列导数测试题及详解 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 3．2 (sin cos )1y x x =+-是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量 *1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是 A ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列 6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ． 133 8 + B ． 133 8 C ． 133 8 ± D ． 12 4 - 7．如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低 点，O 为坐标原点，则OA OB ?的值为 A ．12π B ． 2 119π+ C ．2 119 π- D ．2 113 π- 8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数） （本题满分14分） （1）()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分 （2）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3）若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+- 上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减，单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴ 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/6417353832.html, 导数应用与数列求和 作者：王大成 来源：《神州》2011年第31期 高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义，在应用方面也给出了一些例题，主要是解决函数单调性、最值、不等式证明等问题。但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及到，因此我仅以本文来为导数的应用开辟一条新的途径。 问题一：数列（an）的通项公式an=n×2n-1（n∈N*），求数列（an）的前项和Sn. 1.错位相减法： Sn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n-1 (1) 2Sn=1×21+2×22+...+（n-1）×2n-1+n×2n (2) 由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n， 有-Sn=1+（n-1）×2（n∈N*） 2.导数法：令f（x）=x+x2+x3+…xn（x≠0，x≠1） f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（2）， f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x， 因为f（x）=［1-（n-1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2 有Sn=f（2）=1+（n-1）×2n 定理1：数列（an）的通项公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前项n和为Sn，则Sn=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2。 证明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1）， 所以，f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（p）， f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因為f（x）=［1-（n+1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2 有Sn=f（p）=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2，证毕。 数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()() 112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10 ．n = 解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ??? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0x → 解：原式有理化 16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x → 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形 注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x →∞?? ?∞??-?- 17．求02lim sin x x x e e x x x -→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?? 解： (1) 拆项，111...1223(1) n n +++??+ 1111111...122311n n n ??????=-+-+-=- ? ? ???++????(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?? 高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞ 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3→∞??+-+===??-?? 所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[ 0,2)x ∈时，()f x =2 2x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞ =（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x = -，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（） 高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]． g3.1030数列与函数的极限（1） 一、知识回顾 1、 数列极限定义 （1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。 对前任何有限项情况无关。 *（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε0，则特别地 01 lim =∞→n n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞ →n q n =0；;1lim ,1==∞ →n n q q ,1-=q 或n n q q ∞ →>lim ,1不存在。 若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：q a s s n n -= =∞ →1lim 1 3、数列极限的运算法则 如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B (3)lim ∞ →n n n b a =B A (B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞ →n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322 lim n n n n n →∞+++= 2、135(21) lim 2462n n n →∞+++???+-+++???+=_________________ 3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn c an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是……… （ ） A . 121 B .61 C .2 3 D .6 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 基础 数列极限与函数极限 一、实验目的 从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验材料 1.1割圆术 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 “割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 以n S 表示单位圆的圆内接正123-?n 多边形面积，则其极限为圆周率π。用下列 Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况： m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-?n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图) 1.2裴波那奇数列和黄金分割 由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。 如果令n n n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[511 1++???? ??--???? ??+=n n n F ； 2 15lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。 用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n R }的收敛情况： n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项) rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 1.3收敛与发散的数列 数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。 1.4函数极限与数列极限的关系 用Mathematica 程序 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 新导数与数列求和01 以下不等式需要记住，这些公式经常结合数列进行命题，前5个需牢记！ ,①ln 1(0)x x x ≤->（仅当x=1时取“=”），y=lnx 在(1,0)处的切线方程为y=x-1. ②ln(1)(1)x x x +≤>- （仅当x=0时取“=”）， y=ln(x+1)在(0,0)处的切线方程为y=x . ③1x e x ≥+，y=e x 在(0,1)处的切线方程为y=x+1. ④1x e x -≥-，y=e -x 在(0,-1)处的切线方程为y=-x+1. ⑤ sinx ＜x ＜tanx ，(0,)2 x π ∈ ； ⑥2ln(1)(0)x x x +<>； ⑦ ln 1(1)12 x x x x -<>+ ； ⑧22ln 11(0)22x x x x <-> ； 证明：lnx ≤x-1（当x=1，时等号成立），令x =n 2（n ∈N * ，n ≥2）， 则l nn 2＜n 2-1， 11111111123341 n n -++-++?+-++＜（）（）（） 2111211n n n n =--+=++ 证明：当＞＞，（．∈）时， 证明：≤（当，时等号成立）， （7）设各项为正数的数列{a}满足a=1，a=lna+a+2（n∈N*），求证：a≤2n-1．∴n+1n n≤n n n， 证明：证明：lnx≤x-1（当x=1，时等号成立）， 证明：证明：ln（x+1）≤x（当x=0，时等号成立）， 证明：证明：lnx≤x-1（当x=1，时等号成立）， 证明：证明：lnx≤x-1（当x=1，时等号成立）， 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n = 解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?== 关于数列极限和函数极限解法的解析 王雅丽 摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。 ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则 关键词数列极限N 早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。 1 数列极限 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12 ，第二天截下 2 12 ……第n 天截下 12 n ,……这样 就得到一个数列{ 12 n } 。只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{ 1 2 n } 的通项 12 n 随着n 的无限增大而无限地接近于0。“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述， 无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项 12 n 与0的距离 102 n -要多小有多小。 下面把任意小量化： 对于 12 ，如果要求 11102 2 2 n n -= < ，只需要1n >即可； 对于 2 12 ，如果要求 2 1110222n n -= < ， 只需要2n >即可； 对于 31 2，如果要求 311102 2 2 n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的 n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12 ， 2 12 ， 3 12 ... 为此就出现了任意小的正数ε。 对于ε 如果要求 1102 2 n n ε-= <， 只需要1 2log n ε >， 即可； 从数列1 2log N ε ??=???? 项以后的正整数都能满足不等式11022n n ε-=<，通过任意小的正整数 专题九：数列的极限与函数的导数 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自 都有极限时才能适用。对00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限， 一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14） π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的 和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： 专题十 数列极限与函数极限 一、选择题 1．（2008年高考·湖北卷）已知m ∈N * , a 、b ∈R ，若0n lim →b x a x)(1m =++，则a ·b=（ ） A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 2．∞→n lim )2n 8641864164141(+++++++++++ 的值为（ ） A ．1 B ．411 C ．1811 D ．2411 3．若函数?????>+≤+-=1)(x 1 3x 15a 1)(x a 2x x f(x)23在点x=1处连续，则实数a=（ ） A ．4 B ．-41 C ．4或-41 D ．4 1或-4 4．下列命题：①发果f(x)=x 1，那么∞→x lim f(x)=0；②如果f(x)=1x -，那么f(x)=0；③如果f(x)=2x 2x x 2++，那么2x lim -→f(x)不存在；④如果?????<+≥=0 x 1,x 0x ,x f(x)，那么0lim →x f(x)=0，其中真命题是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．③④ D ．①②④ 5．设abc ≠0，∞→x lim 31b ax a cx =++，∞→x lim 43c bx bx ax 22=-+，则∞→x lim a cx bx c bx cx 233+--+的值等于（ ） A ．4 B ．94 C ．41 D ．4 9 6．设正数a, b 满足2x lim →(x 2+ax-b)=4，则n 1n 1n 1n n 2b a ab a lim ++--+∞→等于（ ） A ．0 B ．41 C ．21 D ．1 7．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则1a 12a lim n n n +-∞→等于（ ） A ．4 1 B ．21 C ．1 D ．2 二、填空题 8．已知数列的通项a n =-5n+2，其前n 项和为S n ，则2n n n S lim ∞→=________． 9．2x lim →)2 x 14x 4(2---=________．三角函数、数列、导数试题及详解
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