与2.2数列极限函数极限
《大学数学基础》课程教学大纲
《大学数学基础》课程教学大纲大学数学基础课程教学大纲一、课程背景大学数学基础课程是为了帮助学生建立数学思维、培养分析问题和解决问题的能力而设计的基础性课程。
本课程的目标是通过系统性的学习和实践，使学生掌握数学基本概念、理论和方法，为进一步学习高级数学和相关学科打下坚实的基础。
二、课程目标本课程旨在培养学生的数学逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学建模能力。
通过对数学基本概念、原理和方法的学习，培养学生的数学素养和创新精神，为学生今后的学习和科研提供坚实的数学基础。
三、课程内容与学时安排1. 数集与函数（30学时）1.1 数集的基本概念与操作1.2 函数的概念与性质1.3 基本初等函数及其图像和性质1.4 函数的运算与逆函数1.5 复合函数与反函数1.6 指数函数与对数函数2. 极限与连续（40学时）2.1 数列极限与数列的收敛性2.2 函数极限的概念与性质2.3 极限运算法则2.4 无穷小与无穷大2.5 连续函数与间断点2.6 闭区间上连续函数的性质3. 导数与微分（40学时）3.1 函数的导数与导数的简单运算 3.2 高阶导数与高阶导数的运算 3.3 微分的概念与微分近似计算 3.4 函数的凹凸性与拐点3.5 高阶导数的应用4. 积分与不定积分（40学时）4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 定积分概念与性质4.4 定积分的计算方法与应用4.5 反常积分的概念与判敛4.6 反常积分的计算方法与应用5. 微分方程（40学时）5.1 微分方程的基本概念与分类5.2 一阶微分方程的常微分方程解法5.3 高阶微分方程的解法5.4 微分方程的应用四、教学方法与要求1. 教学方法本课程将采用问题导向的教学方法，鼓励学生积极参与讨论、实践和独立思考。
教师将引导学生分析问题的本质和关键点，培养学生分析和解决问题的能力。
2. 学习要求学生应积极参与课堂讨论与互动，完成课后作业，并及时批改和讲解。
数列极限与函数极限的区别与联系
数列极限与函数极限的区别与联系在数学中，极限是一个非常基础的概念，而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。
数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式，但是它们之间还是存在很多的区别和联系。
本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面，分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。
一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列中的每个项都趋向于某个固定的数。
数列极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a$ 表示数列的极限。
2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个固定的数。
函数极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x$ 表示自变量，$x_0$ 表示自变量的趋向值，$A$ 表示函数的极限。
二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。
即数列和函数只有一个极限值。
2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限，如果它们的极限值是正数，那么它们的项或函数值都可以取到正数。
如果它们的极限值是负数，那么它们的项或函数值都可以取到负数。
3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。
它可以用来求解一些难以直接求解的极限。
夹逼定理的表述如下：设数列 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$，且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$，则 $lim_{n to infty} b_n = A$。
三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
高等数学农学教材目录
高等数学农学教材目录1. 前言2. 第一章：数列与极限2.1 数列的概念与性质2.2 数列极限的定义与性质2.3 极限存在准则2.4 数列极限的计算2.5 无穷小量与无穷大量2.6 常用数列的极限3. 第二章：连续与导数3.1 函数的连续性与间断点3.2 导数的概念和性质3.3 导数的计算法则3.4 高阶导数与Leibniz公式3.5 隐函数与参数方程求导4. 第三章：微分学应用4.1 函数的凸性与曲率4.2 反函数求导4.3 高阶导数的应用4.4 微分中值定理与Taylor公式4.5 函数的渐近线与拐点5. 第四章：不定积分5.1 不定积分的概念和性质5.2 基本积分表5.3 定积分与不定积分的关系 5.4 牛顿-莱布尼茨公式5.5 积分换元法6. 第五章：定积分与其应用6.1 定积分的概念和性质6.2 定积分的计算方法6.3 定积分的应用6.4 反常积分7. 第六章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶常微分方程7.3 高阶常微分方程7.4 变量分离与齐次方程7.5 二阶线性常系数齐次微分方程7.6 常系数线性非齐次微分方程8. 第七章：多元函数微分学8.1 二元函数及其偏导数8.2 隐函数求导与全微分8.3 二重积分及其应用8.4 三重积分及其应用8.5 曲线积分与曲面积分9. 第八章：无穷级数与幂级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的基本判别法9.3 幂级数的收敛范围和求和函数9.4 泰勒级数与函数的展开以上是《高等数学农学教材》的目录内容，涵盖了数列与极限、连续与导数、微分学应用、不定积分、定积分与其应用、微分方程、多元函数微分学、无穷级数与幂级数等主要内容。
希望本教材能为农学领域的学习者提供良好的数学基础，帮助他们更好地掌握与应用数学知识。
高等数学第2课数列的极限、函数的极限2
课题数列的极限、函数的极限课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解数列的极限。
（2）掌握收敛数列的性质。
（3）理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。
（4）理解函数极限的性质。
思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质教学难点：计算函数的极限、左极限和右极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）→问题讨论（10min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】通过庄子的“截杖问题”和刘徽的“割圆术”，引出并讲解数列以及数列的极限案例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．分析这是战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，永远取不尽”．我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得数列：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀。
学习数列极限的定义和收敛数列的性质。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学211112482n ，，，，，． 随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数n 无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长度12n越来越接近于数0． 案例2 刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失亦”．分析 “割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作圆的内接正十二边形，其面积记为2A ；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为3A ；照此下去，把圆内接正162n -⨯边形的面积记为n A ，这样得到一个数列：1A ，2A ，3A ，，n A ，如图1-18所示．图1-18由图1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近．当边数n 无限增大时，圆内接正162n -⨯边形的面积n A 会无限接近圆的面积A ．对于一些数列，如1123nn n n ⎧⎫+⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，，若当n 无限增加时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的做一体化3极限．在数学上，需要从定量角度定义数列的极限． 给定一个数列{}n a 和常数a ，为证明{}n a 的极限为a ，需要证明n 越来越大时，||n a a -越来越趋于0．为了定量描述随n 增大||n a a -逐渐接近于0，{}n a 与a 的接近程度可用||n a a ε-<（ε为任意小的正数）代替．ε越小，{}n a 越接近于a ，满足||n a a ε-<成立的n a 的项数n 越大．因此，给定一个正数ε，就存在一个正整数N +∈Z ，当n N >时，||n a a ε-<，ε越小，N 就越大，如图1-19所示．图1-19定义1 设{}n a 是数列，a 为常数，若对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||n a a ε-<成立，则称数列{}n a 收敛于a ，a 称为数列{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=．例1 对数列(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，当取10.1ε=，20.01ε=，求满足1(1)0n n ε--<，2(1)0nnε--<的n 的范围，并证明(1)lim 0n n n→∞-=． 解 因为(1)10n n n--=，所以要使1(1)00.1n n ε--<=，只要10.1n<，即10n >即可．同理，要满足2(1)00.01,nnε--<=，只要100n >即可． 现证明(1)lim 0nn n→∞-=．4对任意给定的0ε>，要使(1)10n n n ε--=<，只要1n ε>，因此，可以取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦（1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能为0）．当n N >时，就有(1)0n n ε--<，故(1)lim 0nn n→∞-=．如果数列{}n a 没有极限，则称该数列发散．我们还可以用数列极限的定义证明如下重要极限：lim n C C →∞=（C 为常数），1lim 0n n →∞=，lim 0(||1)n n a a →∞=<，1lim 1(0)nn a a →∞=>，lim 1n n n →∞=．⏹ 【学生】理解数列及数列的极限⏹ 【教师】讲解收敛数列的性质定理1（极限的唯一性） 如果数列{}n a 收敛，那么它的极限唯一．证明 用反证法．假设同时有lim n n a a →∞=和lim n n a b →∞=，且a b <，取2b aε-=． 因为lim n n a a →∞=，故∃正整数1N ，当1n N >时，不等式||2n b aa a --<（1） 成立．同理，因为lim n n a b →∞=，故∃正整数2N ，当2n Ν>时，不等式||2n b aa b --<（2） 也成立．取12max{}N N N =，（表示N 是1N 和2N 中较大的5那个数），则当n N >时，（1）式及（2）式同时成立．但由（1）式有2n a b a +<，由（2）式有2n a ba +>，这是矛盾的，故假设不成立．定义2 对于数列{}n a ，如果存在正数M ，使得对于一切n a 都满足不等式||n a M ，则称数列{}n a 是有界的；否则称数列{}n a 是无界的．定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n a 收敛，那么数列{}n a 一定有界．证明 设数列{}n a 收敛于a ，根据数列极限的定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，不等式||1n a a -<成立．于是，当n N >时，有||||||||1||n n n a a a a a a a a =-+-+<+．取12max{||||||1||}N n M a a a a =+，，，，，则数列{}n a 中的一切n a 都满足不等式||n a M ．这就证明了数列{}n a 是有界的．定理3（收敛数列的保号性） 如果数列{}n a 收敛于a ，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，有0n a >（或0n a <）．当0a >时，根据极限定义，只要取02aε=>，即可证明结论．推论 如果数列{}n a 从某项起有0n a （或0na ），且数列{}n a 收敛于a ，则0a （或0a ）．证明 就0na 情形证明．设数列{}n a 从1N 项起，即当1n N >时有0na ．现在用反证法证明，若0a <，则由定理3知，2N +∃∈Z ，当2n N >时，有0n a <，取12max()N N N =，，则当n N >时，有0na 与0n a <同时成立，矛盾，所以0a．6对于0na 的情形，可以类似地证明．定义3 在数列{}n a 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}n a 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}n a 的子数列（或子列）．设在数列{}n a 中，第一次抽取1n a ，第二次在1n a 后抽取2n a ，第三次在2n a 后抽取3n a ，，这样无休止的抽取下去，得到一个数列1n a ，2n a ，，k n a ，，这个数列{}k n a 就是数列{}n a 的一个子数列．⏹ 【学生】掌握收敛数列的性质问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．若lim n n a a →∞=，能否得到结论：对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||2n a a ε-<（或2ε）成立？2．在数列极限定义的N ε-语言中对任意给定的正数ε，可否规定01ε<<？3．有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？ 4．如果数列{}n a 收敛于a ，且n ∀∈N ，有0n a >（或0n a <），则是否一定有0a >（或0a <）？5．若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？⏹ 【学生】发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（30 min）【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用1．自变量趋于无穷时函数的极限当x→+∞时，函数()f x的极限定义与数列极限定义相似，因此可以给出当x→+∞时，()f x极限的Mε-定义．定义1设()f x在()a+∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0(||)M M a∃>>，当x M>时，有|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x趋于+∞时，以A为极限，记为+lim()xf x A→∞=或()()f x A x→→+∞．定义1'设()f x在()a-∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0()M M a∃>-<，当x M<-时，|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x→-∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→-∞=或()()f x A x→→-∞．定义1"设()f x在()()a a-∞+∞，，上有定义，A为实常数，若对0ε∀>，0M∃>(||)M a>，当||x M>时，|()|f x Aε-<，则称函数()y f x=在x→∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→∞=．定理1lim()xf x A→∞=lim()xf x→+∞⇔lim()xf x→-∞=A=．证明必要性显然．下证充分性．lim()lim()x xf x f x A→+∞→-∞==时，0ε∀>，1M∃>，使当1x M>时|()|f x Aε-<；2M∃>，使当2x M<-时|()|f x Aε-<．取12max{}M M M=，，则当x M>或x M<-，即||x M>时，同时有|()|f x Aε-<，所以lim()xf x A→∞=．例1求21lim1x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．78解 考察函数21()1f x x =+，如图1-21所示．图1-21当x →+∞时，函数211x +无限趋于常数1；当x →-∞时，函数211x +同样无限趋于1，所以 21lim 11x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 例2 考察函数()arctan f x x =当x →+∞和x →-∞时的极限，并说明它在x →∞时的极限是否存在．解 如图1-22所示，当x →+∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π，所以 lim arctan 2x x →+∞π=． 当x →-∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π-，所以 lim arctan 2x x →-∞π=-． 由于lim arctan lim arctan x x x x →+∞→-∞≠，所以limarctan x x →∞不存在．9图1-222．自变量趋于有限值时函数的极限对于函数21()1x f x x -=-，()f x 在1x =无意义．当1x ≠时，()1f x x =+，如图1-23和表1-2所示，当1x →时，()2f x →．这样对0ε∀>，要使|()2||1|f x x ε-=-<，定有|1|x -在确定的范围内，即0δε=>，0|1|x δ<-<．ε越小，δ越小，δ由ε确定．这样我们可以得到，当0x x →时，函数()f x 极限的εδ-定义．图1-23表1-2x … 0.9 0.99 0.999 … 1 … 1.001 1.01 1.1 … y… 1.91.991.999… 2 … 2.0012.012.1…定义2 设()f x 在0x 的某个去心邻域o01()U x δ，上有定义，A 为实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于0x 时，以A 为极限，记作lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．定义2' 设()f x 在0x 的某个去心右邻域o01()U x δ+，上有定义．A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当1000||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x +时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→．定义2" 设()f x 在0x 的某个去心左邻域o01()U x δ-，上有定义，A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x -时的左极限，记作lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→．定理2 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==．证明与定理1类似．例3 设21()31x x f x x x +⎧=⎨<⎩，，，，试判断1lim ()x f x →是否存在．解 先分别求()f x 当1x →时的左、右极限，11lim ()lim33x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)3x x f x x ++→→=+=， 因为左、右极限各自存在且相等，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=．⏹ 【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限⏹ 【教师】讲解函数极限的性质定理3（极限的唯一性） 如果0lim ()x x f x →存在，则极限lim ()x x f x →是唯一的．定理4（局部有界性） 如果0lim ()x x f x A →=，则存在常数0M >和0δ>，使得当00||x x δ<-<时，有|()|f x M <．2数列的极限、函数的极限 第 课 11 局部有界性是指函数在0x 的去心邻域o 0()U x δ，内有界．定理5（局部保号性） 设0lim ()x x f x A →=，如果0A >（或0A <），则0δ∃>，使当00||x x δ<-<时，()0f x >（或()0f x <）．推论 如果在0x 的某去心邻域内()0f x （或()0f x ），且0lim ()x x f x A →=，则0A （或0A ）．⏹ 【学生】理解函数极限的性质问题讨论（10 min ） ⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点？（1）0lim x x C C →=（C 为常数）； （2）00lim x x x x →=； （3）00lim sin sin x x x x →=； （4）00lim cos cos x x x x →=． 2．从函数极限定义的角度考虑，若令()n f n a =，数列极限还可以怎样叙述？3．若对o0()U x δ，，()0f x >，且0lim ()x x f x A →=，是否一定有0A >⏹ 【学生】讨论、发言课堂小结（5 min ） ⏹ 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念、函数极限的性质的相关知识及其应用。
关于数列极限和函数极限解法的解析
关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。
上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。
ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。
公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。
极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。
1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。
只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。
“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。
下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。
考研《数学分析》考试大纲
707数学分析第1章函数1.1 集合与实数系1.2 函数概念1.3 函数的特性1.4 反函数和复合函数1.5 初等函数第2章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数极限2.3 无穷小和无穷大2.4 连续函数第3章导数与微分3.1 导数的概念3.2 基本初等函数的导数公式3.3 导数的运算法则3.4 高阶导数3.5 微分3.6 导数与微分的简单应用第4章微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.2 不定式的定值法4.3 泰勒公式4.4 导数在函数研究中的应用第5章不定积分5.1 原函数与不定积分5.2 换元积分法5.3 分部积分法5.4 有理函数和积分法5.5 三角函数有理式的积分法第6章定积分6.1 定积分的概念6.2 定积分的性质6.3 微积分基本定理6.4 定积分的计算6.5 定积分的应用6.6 广义积分6.7 广义积分的判别法第7章空间解析几何与向量代数7.1 空间直角坐标系7.2 向量代数7.3 空间平面7.4 空间直线7.5 空间曲面7.6 空间曲线第8章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.3 多元复合函数的微分法8.4 隐函数的微分法8.5 多元函数的泰勒公式8.6 方向导数和梯度8.7 偏导数的应用第9章重积分9.1 二重积分9.2 三重积分第10章级数10.1 常数项级数的概念与性质10.2 正项级数10.3 任意项级数10.4 函数项级数的一致收敛10.5 幂级数10.6 泰勒级数10.7 傅里叶级数。
2.2函数的极限
0 | x x0 | 的x, 对 应 的 函 数 值 满
0.0001 0.000000010
足 | f (x) A | ，那 么 称 当x x0
时 ，f
(x)以A为 极 限. 记 为lim xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
例1： 证 明lim(3x 2) 4 x2
证 明 ： 0, 要 使 | (3x 2) 4 || 3x 6 | 3 | x 2 |
来 找M.
注：2. 定 义 中 刻 画 了f (x)与A的 接 近 程 度 ，M刻 画
了x充 分 大 的 程 度 。
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证 0, 取 M 1 , 则 当x M时 恒 有
sin x 0 1 1 ,
x
xx
故 lim sin x 0. x x
| f (x) A |
则 称 当x 趋 于 无 穷 时 ， 函 数f (x)以A为 极 限 。 记 为
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x
证 明lim
sin
x
0.
证
x x 0,
取M 1,
则 当| x | M时 恒 有
sin x 0
1
1
,
x
x |x|
y sin x x
当x在x0的去心邻 A
域时,函数y f ( x)
A
A
图形完全落在以直
线y A为中心线,
o
宽为2的带形区域内.
y f (x)
x0 x0 x0
x
(2).单侧极限
左极限
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
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高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
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x
x
x
1
如:lim e x x
e0 1
发散的情况:
lim 2x
x
1 x2 lim x x lim( 1 )x x 2
lim sinx
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
n
n
若0 q 1, 要使得 xn 0 qn , 有n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
直观地: 设数列{an },当n 时, an无限趋于一个常数a,
则称{an }收敛于a,记
1
(5) y ex limex 1 lim ex 0 lim ex
x
x0
x0
1
lim ex不存在 x0
(6) y arctanx lim arctanx
x
2
2
lim arctanx
x
2
y arctan x
2
lim arctan x不存在
x
(7) lim sin x不存在, lim cos x不存在
lim
n
an
a,
否
则
称
数
列{an
}发
散,
或
lim
n
an不
存
在.
发散的三种情况:
lim(n 1)
n
1 (1)n lim
不确定
n
2
limsinn 振荡
n
例1: 观察下列数列的变化趋势
(1) 10,10,10, (2) 1,-1,1,-1,
lim 10 10
n
发散
n2 (3)xn 1 n2
例3 观察下列函数的变化趋势
(1) lim c xx0
(2) lim x xx0
(3) lim(2x 1) x1
(4) y 1 x
lim 1 0; lim 1 0; lim 1 0
x x
x x
x x
lim 1 x1 x
1;
lim 1 x x0
lim 1 x x0
1
1
1
lim 1 x0 x
x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) 0 表示 f ( x) 0 任意小;
x X 表示x 的过程.
1. 定义P40 :
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总 存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x ,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切xn ,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
A
y f (x)
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
3.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0;
当n N时，恒有x 0(或x 0).(保号性)
n
n
推论：若xn
0(或xn
0)且
lim
n
xn
a，则a
0(或a
0).
(4)如果数列收敛于a,则它的任一子数列也都收敛,
且极限也是a.(收敛数列与其子列的关系)
例2 求下列数列的极限
(1)lim n( n 1 n 1) n
(2)设x1
1, x2
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
f (x)在点x0的某个去心领域内有定义，观察 x x0时，f (x) A?
例P36:
(1) lim(2x 1) x 1 2
4x2 1
(2) lim g( x) g(x)
x 1
2x 1
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例(P33) 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
第二章 极限与连续
• 一、数列的极限 • 二、函数极限 • 三、无穷大与无穷小 • 四、极限的运算法则 • 五、极限存在准则、两个重要极限、连续复利 • 六、无穷小的比较 • 七、函数的连续性 • 八、闭区间上连续函数的性质
§2.1 数列的极限
1.概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
xx0
xx0
xx0
(2) lim f (x) lim f (x),则limf (x)不存在且不为无穷大
x
x
x
例 验证 lim x 不存在. x0 x
y
1
证 lim x lim x
x x x0
x0
o
x
1
lim(1) 1 x0
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
1, xn
n k3
1 k(k
, 1)
求
lim
n
xn
n
(3)设an
2n
2, xn
k 1
ak
,
求
lim
n
xn
§2.2 函数的极限
考虑x在D(f )中变化时,函数f (x)的变化趋势.
x的变化趋势有: x 记 : x x x x x0,x x0
x x0 , x x0 ,记 : x x0
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn } .
若存在正数M,对所有的n都满足| xn | M ,则称数列
{xn} 为有界数列,否则称为无界数列.
P31 下界 上界 单调增数列 单调减数列 子列
3.数列极限的定义
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
通过上面演示实验的观察:
x
x
(8) lim sin 1 x0 x
lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x2 x 1
例4
f(x)
1/2 x -1
x 1 1 x 2,求 lim f ( x), lim f ( x),lim f ( x),
1
x - 1
x2
x1
x1
x2
lim f ( x), lim f ( x),lim f ( x)
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 ;
y x2 1 x
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A.
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
2
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数A 就叫函数