1数列与函数极限
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。
数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。
数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。
其中，A称为数列的极限值。
一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。
通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。
二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。
其中，A称为函数的极限值。
函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。
三、数列极限与函数极限是密不可分的。
事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。
换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。
当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。
即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。
这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。
通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。
数列极限与函数极限的区别与联系
数列极限与函数极限的区别与联系在数学中，极限是一个非常基础的概念，而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。
数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式，但是它们之间还是存在很多的区别和联系。
本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面，分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。
一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列中的每个项都趋向于某个固定的数。
数列极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a$ 表示数列的极限。
2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个固定的数。
函数极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x$ 表示自变量，$x_0$ 表示自变量的趋向值，$A$ 表示函数的极限。
二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。
即数列和函数只有一个极限值。
2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限，如果它们的极限值是正数，那么它们的项或函数值都可以取到正数。
如果它们的极限值是负数，那么它们的项或函数值都可以取到负数。
3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。
它可以用来求解一些难以直接求解的极限。
夹逼定理的表述如下：设数列 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$，且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$，则 $lim_{n to infty} b_n = A$。
三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
d2_1数列的极限与函数的极限
充分大的程度
“ε - M 语言 ”定 义 ∀ε > 0 , ∃M > 0 , 当| x |> M 时， 恒有 | f ( x ) − A |< ε 成立， lim f ( x ) = A 成立， 则
x →∞
几何解释
| x |> M ⇔ x < − M , x > M
| f ( x ) − A |< ε ⇔ A − ε < f ( x ) < A + ε
极限。 数列 {xn } 以A为极限。 成立, 成立, 则称当 n → ∞ 时 ，
{x 收敛于数 或称数列 {xn } 收敛于数 A
记作: 记作: lim xn = A ,
n→ ∞
否则,称数列是发散的. 否则,称数列是发散的 发散
或 xn → A (n →∞).
" ε − N " 定义：
成立, 恒有 xn − A < ε 成立, ∀ε > 0, ∃N 自然数）当 n > N 时， , （自然数） 则 lim xn = A n→ ∞
20
提高题目 例3 设
1 x1 = 2 , L , xn = 1 + , xn −1
(n ≥ 2) ，求 lim xn n →∞
21
三、函数的极限
1、当 x → ∞ 时,函数f ( x ) 当 函数 限 的极
−∞
0
1
+∞
注意： 注意：
x→∞
x → +∞
x → −∞
22
1、
时函数 f (x)的极限 x →∞
{ }
1 2 3 4 5 n ,L 例如, 例如,数列 ( 1 ). , , , , ,L , 2 3 4 5 6 n+1 1 3 5 2k − 1 , , ,L , ,L 取奇数项: 取奇数项: 2 4 2k 6 2 4 6 2k , , ,L , ,L 取偶数项: 取偶数项: 3 5 7 2k + 1
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限是微积分中非常重要的概念，它们都涉及到数值序列的趋势和趋近性。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增长逐渐趋近于某个常数，而函数极限则是指随着自变量趋近于某个值时函数的取值趋近于某个特定的值。
首先，我们来看数列极限。
数列极限是指当数列的序号趋近无穷大时，数列的数值趋近于某个常数。
数列极限可以表示为lim(n→∞)an = a，其中an表示数列中的第n个数，a为极限值。
当数列满足数列收敛条件时，即存在这样一个常数a使得对于任意给定的正数ε，总能找到一个正整数N，使得当n>N时，有|an - a|<ε成立。
这意味着数列中的数值可以无限靠近极限值a，同时数列中的任意一项an与极限值a的差值都可以任意小。
函数极限是指当自变量趋近某个值时，函数的取值趋近于某个特定的值。
函数极限可以表示为lim(x→x0) f(x) = L，其中f(x)表示函数的取值，x0为自变量的极限值，L表示函数值的极限。
当函数满足函数收敛条件时，即存在一个数L，使得对于任意给定的正数ε，总能找到一个正数δ，当0<|x - x0|<δ时，有|f(x) - L|<ε成立。
这意味着函数的取值可以无限靠近极限值L，同时函数值与极限值L的差值都可以任意小。
数列极限和函数极限之间存在一定的关系。
在一些特定的情况下，可以通过数列极限来判断函数极限的存在或计算函数极限的值。
对于一些函数，可以通过将自变量x用数列的方式去逼近某个值来计算函数的极限值。
例如，若函数f(x)的极限值lim(x→x0)f(x)存在，那么对于任意数列an满足lim(n→∞)an = x0，可以得到li m(n→∞)f(an) = lim(x→x0)f(x)。
这意味着通过将自变量x用数列an代替并使其趋近于x0，可以得到函数极限的值。
这种方法被称为数列极限方法，常用于计算函数极限的值。
另外，对于数列极限也可以通过函数极限来进行计算。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
一、两者之间的联系
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。
在极限论中海涅定理处于重要地位。
有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
二、两者之间的区别
1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。
而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。
2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。
函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。
3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。
而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x 趋于负无穷大；x趋于无穷大；x 左趋近于x0；x右趋近于x0 ; x趋近于x0，并且是连续增大。
而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。
扩展资料：
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
第四节数列的极限与函数的极限
lim f ( x ) A.
定义4 如果当 | x | 无限增大时， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于无穷 大时的极限，记作
lim f ( x) A.
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x x
x
定义5 如果当 x 无限接近 于 x0 时（x0 除外），恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义6 如果当 x 从 x0 的右 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时
例2
Байду номын сангаас
解 当 x 1 时， x 2 3.从而 3
x 1
lim(3x 2 x 1) 3.
§4 数列与函数的极限 一 数列的极限 数列定义 按照某一规则，
n N ，对应一个确 对于每一个
定的实数 un ，这些实数 un 按照 下标 n 从小到大排列得到的一 个序列 u1, u2 ,, un , 称为数列， 记为 {un } 。
下面我们观察两个数列： 1 1 2 3 1 u n 1 : 0, , , , ,1 , n 2 3 4 n
的右极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义7 如果当 x 从 x0 的左 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的左极限，记作
数列极限与函数极限
例 5 计算 lim sin 2 x . x→0 → 解 令 u = 2x , 则函数 y = sin 2 x 可视为由
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散 发散的 如果一个数列没有极限 就称该数列是发散的. 常读作: 趋于无穷大时, 注: 记号xn → a( n → ∞ ) 常读作 当 n 趋于无穷大时
xn 趋于 a .
下列各数列是否收敛, 若收敛, 例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出 其收敛于何值. 其收敛于何值
数列的极限 按 一定次序排列的无穷多个数
x1 , x2 ,L, xn ,L
称为无穷数列, 简称数列 数列. 称为无穷数列 简称数列 可简记为{xn }. 其中的每 个数称为数列的项, xn 称为通项 一般项 称为通项 一般项). 通项(一般项 个数称为数列的项 数列可看作数轴上一个动点, 注: (1) 数列可看作数轴上一个动点 它在数轴上 依次取值
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A)( x → x0 ). x→ x
0
试根据定义说明下列结论: 例5 试根据定义说明下列结论:
(1) x→ x x = x0 ; lim
0
( 2) x→ x C = C (C为常数 ). lim
0
显然, 解 (1) 当自变量 x 趋于 x0 时, 显然, 函数 y = x 也趋于 x0 , 故
n +1
} 无休止地反复
取1、 1 两个数, 而不会无限接近于任何一个确 − 两个数,
定的常数, 故该数列是发散的; 定的常数, 故该数列是发散的; (4) 数列 n − 1 即为
n 1 , 2 , 3 ,L , n − 1 ,L 0, 2 3 4 n 易见, 易见, 当 n 无限增大时, n − 1 无限接近于 1 , 无限增大时, n 故该数列收敛于 1 .
高考数学函数的极限1
2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
； .au/ 悉尼驾照翻译
也有
lim f ( x) C
x
2.3 函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取 负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变 化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋 近于常数a
极限表示
x
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系： 数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即 当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
2.3 函数的极限
如果 lim f ( x ) a且 lim f ( x ) a 那就是说当x 趋向于 x x 无穷大时，函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a 也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
x
对于常数函数
f ( x) C ( x R)
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
yn
b, 且若正整数N ,
当n N时,有xn yn ,则必有a b.
证: 反设 a<b, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时,
有 xn< yn. 此与条件矛盾，故 a b .
子列
所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右 排成一个新的数列， 这个数列称为{xn}的子列.
1
n
3n
2 3
n
1
3
第二节函数的极限
类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对
应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定
的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。
对于数列极限 lim 1 0 n n
lim 1 0 x x
lim 1 0 x x
注：由定理5，若{ xn } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则{xn}发散；
或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.
例,
xn
1
(1) n 2
,
0, 1, 0, 1, 发散.
例,
xn
sin
n
2
, 1,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
0,
发散.
若
lim
很自然地
故 lim 1 0 x x
又如：当 x 1时，x 1 2 ，记作
lim(x 1) 2
x1
相似地 lim(x2 1) 1 x0
自变量趋于无穷大时函数的极限
如果 x 无限增加(记作x )
y
AA
时，函数值 f (x)可以无限逼近
A
常数A,则称常数A是函数f (x)在
X
x<-X
0<|x - x 0 |<
0<x - x 0 < (即 x 0 <x < x 0 +)
- <x - x 0 < 0 (即 x 0 - <x < x 0)
18/25
y
考虑符号函数
1
o
x
-1
现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限 从右边趋于0
右极限
从左边趋于0
不为零，但无限接近零
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少，割之又割，以 致于不可割，则与圆周合体而无所失矣
数列的概念
数列 就是指按自然数编了号的一列数
a1, a2 , a3 , an ,
记为 {an }, 其中 an 称为该数列的通项。
几个数列的例子:
2n
2，4，8，... , 2n ，... ,
n
n
1
1n1
1, 2, 3, 234
,n, , n 1
1, 1, 1, , (1)n1 ,
引例：考察数列an，an
1
(1)n1 n 1
n 1, 2,
3, 2, 5, 4, 7, 6, 234567
n 10
30
39
50
99
1000
…
an 0.9000 0.96775 1.02500 0.98040 1.01000 0.99901 …
x
lim f (x) A 0, M 0, x M时, f (x) A <
x
从图像容易看出结果
0
0
所以
观察 y = arctan x 的图像
lim arctan x 不存在
x
y y=1/x
o
x
y
y=arctan x
o x
a 1
考虑函数 f (x) = ax , 分 a>1,, 0<a<1两种情形下，
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a , )
(n N)
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例如,
1 2
1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。
0 a 1
y
y
o
x
o
x
所以，a 1或0 a 1时， lim ax 都不存在。 x
自变量趋于有限值时函数的极限
即
度量 f (x) 与 A的接近程度 度量 x 与 a 的接近程度
注意事项： （1）定义中 x→a的过程中, x≠a 成立。
1
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特别
给定
1 100
,
由
1 n
1 100
,
只要
n
100时,
有
xn
1 1 , 100
给定 1 ,
1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 ,
10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1。 10000
注意: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给
比如，x2, x5, x14, , x78, 就是{xn}的一个子列
子列中第一项记作xn1 , 第二项记作xn2 ,, 第 k 项 记作xnk , 子列记作{xnk }
上列中n1=2, n2=5, n3=14等.
定理5.
lim
n
xn
a 的充要条件是 {xn}的任何子列
都收敛,且都以 a 为极限.
(2) lim
1
n
n
(3) lim( n 1 n) lim
1
0
n
n n 1 n
(4) lim 0.99 99 1 n n个
(2)n1 3n1 (5) lim
n (2)n 3n
lim
3n1
2 3
n1
1
右极限 right-hand limit
x 仅从 a 的右侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f( a )
函数f (x)当x a时极限存在
左极限与右极限都存在,并且相等
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
（2） x a 0 x a 0
（3）极限值 lim f (x) 与函数值 f (a) 无关。 xa
几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
o a a a
x
9/25
左极限与右极限
左极限 left-hand limit
x 仅从 a 的左侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f ( a )
设 f (x)是定义域为D 的基本初等函数，对x0 D，有
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
若函数f (x)是定义在区间I上的初等函数，对x0 I
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化 为该点函数值的计算。
无穷 小
如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）
定理4(局部保序性) 若存在>0, 使当0<|xx0|< 时,
lim f ( x ) a, lim g( x ) b, 则 a b(或a b).
xx0
xx0
定理5(局部有界性)
如果 lim f (x) 存在，则函数 f (x)在点 a 的某个去心邻域内有界。 xa
初等函数的极限性质
an 1 0.10000 0.03225 0.02500 0.01960 0.01000 0.00099 …
当 n 越来越大时，an 1 越来越小，而且不管先指定一个多么小的
正数 （ 如 0.0001)，一定可以找到数列的某一项aN (如N 1000), 使得 对aN后面的每一项an 都有 an 1 , 我们就说数列an以1为极限。
左极限
左右极限不相等
例题
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
lim(x 1) 1
x0
lim f (x)
x0
y
o
x
lim f (x)不存在
x0
设函数
f (x)
x2
x 0 在 x 0 时的极限存在，求 a.