关于数列极限和函数极限解法的解析

关于数列极限和函数极限解法的解析

王雅丽

摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。

ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则

关键词数列极限N

早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。

1 数列极限

古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12

，第二天截下

2

12

……第n 天截下

12

n

,……这样

就得到一个数列{

12

n

} 。只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{

1

2

n

} 的通项

12

n

随着n 的无限增大而无限地接近于0。“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，

无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项

12

n

与0的距离

102

n

-要多小有多小。

下面把任意小量化： 对于

12

，如果要求

11102

2

2

n

n

-=

<

，只需要1n >即可；

对于

2

12

，如果要求

2

1110222n

n

-=

<

， 只需要2n >即可；

对于 31

2，如果要求

311102

2

2

n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的

n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12

，

2

12

，

3

12

...

为此就出现了任意小的正数ε。 对于ε 如果要求

1102

2

n

n

ε-=

<，

只需要1

2log n ε

>，

即可；

从数列1

2log N ε

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

项以后的正整数都能满足不等式11022n n ε-=<，通过任意小的正整数

ε ，以及 1

2log ε 的存在性揭示了数列{

12

n

}和0当n 无限增大时的关系。

对于任意给的正数ε，存在自然数1

2log N ε

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，对任意的自然数n N >，有11022n n

ε-=<成立。这样就可以引出数列极限的定义，利用极限的定义来求解。

1.1 数列极限的N ε-定义

设 {n a } 为数列, a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时,有n a a ε-<,则称数列{n a }收敛于a ,定数a 称为数列{n a }的极限，并记做l i m n n a a →∞

=或

()n a a n →→∞。

逻辑符号表示：

0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立

用定义证明数列的极限 证明极限：只需证明

0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立

即可，定义中的“ε”任意给出的，先给出ε之后，要找N N +∈。使n N >时有不等式n a a ε-<成立，因此找N 是证明数列极限的关键，怎么样找N ？

应该从解不等式n a a ε-<中找N ，N 是变化过程的界限，它由ε确定，ε越小，N 就越大，可记为()N ε，且取定ε后，N 的取值不唯一，满足此不等式的N 是正整数集合N +的无限子集中的任意一个数作为N 即可。

具体步骤：（1）任意取0ε>，建立不等式n a a ε-<； （2）解不等式，找出N ；

（3）对给定的ε和求出的N ，叙述极限的定义。 例1： 证明lim

11

n n n →∞

=+

证明： 对于0ε∀>， 要是不等式

11n n ε-<+ 成立， 解得： 1

1n ε

>

-

取11N N ε+⎡⎤

=-∈⎢⎥⎣⎦

， 对于：

0ε∀> 11N N ε+⎡⎤

∃=-∈⎢⎥⎣⎦

， n N ∀> 有11n n ε-<+成立 即有lim

11

n n n →∞

=+。

例2：证明2

2

3lim

33

n n

n →∞

=-

分析：由于

2

2

2

39933

3

n

n n n

-=

≤

--

()3n ≥ ()1

因此，对任给的0ε>，只要9n

ε<，便有

2

2

333

n

n ε-<-

()2，

即当9

n ε

>

时， ()2式成立，又由于()1式是在3n ≥的条件下成立的，故应取

9m ax 3,N ε⎧⎫

=⎨⎬

⎩⎭ ()3

证明：任给0ε>，取9ma x 3,N ε⎧

⎫

=⎨

⎬⎩

⎭

。据分析，当n N >时有()2式成立。于是本题得证。

例3：证明lim

1n →∞

=，其中 0a >。

证明：)1当1a >时，有1

1n a >

0ε∀> ()01a ε<

<-，要使不等式

1

1

11n n a a ε-=-<成立，

解得 ()ln ln 1a

n ε>

+ 取(

)ln ln 1a N ε⎡⎤

=⎢⎥+⎣⎦

于是：0ε∀> ∃()ln ln 1a N ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦

N +∈，n N ∀>有1

1n

a ε-<

即：lim

1n →∞

=，1a >;

)

2当1a =时 n N +∀∈ 1

1n a =是常数列 则lim

1n →∞

=，1a =;