关于数列极限和函数极限解法的解析

关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。

上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。

ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。

公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。

极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。

1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。

只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。

“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。

下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。

对于ε 如果要求11022nnε-=<，只需要12log n ε>，即可；从数列12log N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦项以后的正整数都能满足不等式11022n n ε-=<，通过任意小的正整数ε ，以及 12log ε 的存在性揭示了数列{12n}和0当n 无限增大时的关系。

对于任意给的正数ε，存在自然数12log N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，对任意的自然数n N >，有11022n nε-=<成立。

这样就可以引出数列极限的定义，利用极限的定义来求解。

1.1 数列极限的N ε-定义设 {n a } 为数列, a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时,有n a a ε-<,则称数列{n a }收敛于a ,定数a 称为数列{n a }的极限，并记做l i m n n a a →∞=或()n a a n →→∞。

逻辑符号表示：0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立用定义证明数列的极限 证明极限：只需证明0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立即可，定义中的“ε”任意给出的，先给出ε之后，要找N N +∈。

使n N >时有不等式n a a ε-<成立，因此找N 是证明数列极限的关键，怎么样找N ？应该从解不等式n a a ε-<中找N ，N 是变化过程的界限，它由ε确定，ε越小，N 就越大，可记为()N ε，且取定ε后，N 的取值不唯一，满足此不等式的N 是正整数集合N +的无限子集中的任意一个数作为N 即可。

具体步骤：（1）任意取0ε>，建立不等式n a a ε-<； （2）解不等式，找出N ；（3）对给定的ε和求出的N ，叙述极限的定义。

例1： 证明lim11n n n →∞=+证明： 对于0ε∀>， 要是不等式11n n ε-<+ 成立， 解得： 11n ε>-取11N N ε+⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 对于：0ε∀> 11N N ε+⎡⎤∃=-∈⎢⎥⎣⎦， n N ∀> 有11n n ε-<+成立 即有lim11n n n →∞=+。

例2：证明223lim33n nn →∞=-分析：由于222399333nn n n-=≤--()3n ≥ ()1因此，对任给的0ε>，只要9nε<，便有22333nn ε-<-()2，即当9n ε>时， ()2式成立，又由于()1式是在3n ≥的条件下成立的，故应取9m ax 3,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ()3证明：任给0ε>，取9ma x 3,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。

据分析，当n N >时有()2式成立。

于是本题得证。

例3：证明lim1n →∞=，其中 0a >。

证明：)1当1a >时，有11n a >0ε∀> ()01a ε<<-，要使不等式1111n n a a ε-=-<成立，解得 ()ln ln 1an ε>+ 取()ln ln 1a N ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦于是：0ε∀> ∃()ln ln 1a N ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦N +∈，n N ∀>有11na ε-<即：lim1n →∞=，1a >;)2当1a =时 n N +∀∈ 11n a =是常数列 则lim1n →∞=，1a =;)3当01a <<时，令1a b=从而1b > ,有1111111111nnn n nb ab b b --=-=<-由)1知道 0ε∀>, ()ln ln ln 1ln(1)ba N N εε+⎡⎤⎡⎤-∃==∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦n N ∀> , 有1111n n a b ε-<-<成立,即：lim1n →∞= 01a <<.1.2 数列极限的性质：1).唯一性：若数列{n a }收敛，则它只有一个极限。

2).有界性：若数列{n a }收敛，则{n a }为有界数列，即存在正数M 使得对一切正整数n 有n a M ≤。

3).保号性：若lim n n a a →∞=>0（或<0），则对任何)('0,a a ∈（或)(',0a a ∈）,存在正数N ，使得当n>N 时，有'n a a >（或'n a a <）。

4).保不等式性：设{n a }与{}n b 均为收敛数列，若存在正数0N ，当N>0N 时，有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤。

5).迫敛性：设收敛数列{}n a 与{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当n>0N 时，有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=。

6).四则运算法则：若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b -，{}n n a b +，{}n n a b ∙也都是收敛数列，且有lim ()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞∙=∙。

特别当n b 为常数C 时，有lim ()lim n n n n a C a C →∞→∞±=±,lim lim n n n n Ca C a →∞→∞=，若假设n b ≠0及lim 0n n b →∞≠则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有lim limlim nn n n nnn a a b b →∞→∞→∞=。

1.3 数列极限的求法在以上几个性质当中，我们主要应用迫敛性及四则运算法则来求数列极限，则求数列极限方法我们总结有以下几种：1). 应用收敛数列性质求数列极限：⑴ 应用迫敛性求数列极限；⑵ 应用四则运算法则求数列极限；2). 应用 无穷小×有界变量=无穷小 求数列极限 3). 通项由递推关系给出的数列极限的求法 ⑴利用单调有界收敛法则求之a. 判定数列单调有界，从而证其极限存在，设为A ；b. 建立数列相邻两项之间的关系式；c. 两端取极限得关于A 的方程；d. 解此方程，若可解出A ，即求出所求极限。

例4. 已知数列的通项为 11121n n n x x x --+=+， 11x =，证明lim n n x →∞存在并求出极限值。

证明：由11101n n n x x x --=+>+， 11x =得到12111x x x =++，又12111012x x x x -==>+，故21x x >设1k k x x ->，下证1k k x x +>，事实上()()1111111110111111k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ---+---⎛⎫⎛⎫--=+-+=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 故()1n n x ∞=为单调增加数列，又111112211n n n n x x x x ---=+=-<++故()1n n x ∞=有上界，所以lim n n x →∞存在。

设lim n n x a →∞=，则0a ≥对1111n n n x x x --=++两边取n →∞时的极限得到11a a a=++.解得(1a +=（已设去负根）故1lim n n x →∞+=.⑵先用递推关系式求出一般项的表示式，再求极限。

例5. 设11x =，)11,2,n x n +== ，求lim n n x →∞解：111111111111121222222244242111222222222nn n n n n x x x x -+--⎛⎫==∙=∙==∙∙∙= ⎪⎝⎭故1lim 2n n x +→∞=4). 无限项之和与无限项之积的极限求法⑴无限项之和的极限的求法a. 先求和再求极限 常用公式：()12n n +；()()1216n n n ++；()12n n a a +；1na aq q--b. 裂项相消法 常用裂项法：()11111k k k k=---；()211112111ak ak ak ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭-；()()()n+1111!1nn n n n ==-+++1-1！！！；()()()()()1111122112k k k k k k k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦c. 根据迫敛性求极限。