空间向量基本定理和坐标表示
空间向量的基本定理及坐标表示
求
解:
a b , a b ,8a。
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例2：P80例2.
base vectors. 空间任何三个 e1 , e 2 , e 3 都叫做 基向量
特别地, 设e1 , e 2 , e 3为有公共起点 O的三个两 两垂直的单位向量 ( 我们称它们为单位正交 基底) , 以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原点, 分别 以e1 , e 2 , e 3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz. 那么, 对于空间任 意一个向量 p, 一定可以把它平移, 使它的起
基本定理：
间任一向量 p, 存在唯一的有序实数组 x, y, z,
定理： 如果三个向量e1 , e 2 , e 3不共面, 那么对空
使得p xe1 ye 2 ze 3 .
定理告诉我们，若三向 量不共面， 则空间任一向量都可由 他们线性表示 我们把e1 , e 2 , e 3 叫做空间的一个基底base , 不共面的向量都可构成 空间的一个基底 .
空间向量的基本定理及坐标表示
我们知道, 平面内任意一 个向量p都可以用两个不 共线的向量a, b来表示(平 面向量基本定理 ).对于空 间任意一个向量, 有没有 类似的结论呢? 如图3.1 15, 设i, j, k是空
i
z
P
k
O
j
Q
y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3.1 15
间三个两两垂直的向量, 且有公共起点O.对于空间 任意一个向量 p OP , 设点Q为点P在i, j所确定的 平面上的正投影,由平面向量基本定理可知, 在OQ , k所确定的平面上, 存在实数z , 使得OP OQ zk.
空间向量基本定理正交分解及坐标表示-精品
空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，—> —•TTy，z,使p=xa+yb+za任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.2.单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.3.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。
为原点，分别以3，荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.其中，点。
叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.4.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).【解题方法点拨】1.基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立.2.空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用己知的基向量表示出来.3.用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.（2）若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
1:如何确定空间中点的坐标? (对空间任一点 P(x,y,z),如图(1)所示,过 P 作面 xOy 的垂线,垂足 为 P',在面 xOy 中,过 P'分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A,C, 则|x|=P'C,|y|=AP',|z|=PP'.
比如在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,则 B1(2,3,1),B(2,3,0),C1(0,3,1),A1(2,0,1),如图(2))
空间向量基本定理的应用
【例 3】 如图所示,在空间四边形 OABC 中,其对角 线为 OB、AC,M 为 OA 的中点,D 为 BC 的中点,G 为 △ABC 的重心,用向量 OA , OB , OC 表示 MG .
解:∵G 为△ABC 的重心,
1 ∴ AG = AD , 3
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
2:投影是向量还是数量? (投影是数量,可正可负可为 0)
三、空间向量基本定理
3:在上述实例②中,向量 p 如何用向量 a,b,c 表示?
(p= AB + AD + AA1 =a+b+c)
3:(1)如果向量 e1、 e2、 e3 是空间三个不共面的向 量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ 1、λ 2、λ
BA = BA + AA =- OC + OO =c-b, CA = CA + AA = OA - OC + OO =a-b+c.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
空间向量考点(全)
空间向量考点（全）1、空间向量的坐标及基本运算空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =， ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a ++=⋅ ，向量平行：a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 。
向量垂直：0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
222321a a a ++===⇒•=空间两个向量的夹角公式：232221232221332211||||,cos bb b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρ空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=. 2、法向量若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量. 3、向量的应用①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||n ②.利用向量求异面直线间的距离d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.利用向量求直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④.利用法向量求二面角的平面角定理 21,n n 分别是二面设角βα--l 中平面βα,的法21,n 所成的角就向量，则是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. ⑤.证直线和平面平行定理已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）. 4、向量的基本概念（1） 共线向量共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若∥，则存在小任一实数λ，使λ=.（×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0=.（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量] （2） 共线向量定理AB对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3） 共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4） 证明四点共面的常用方法.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC四点共面的充要条件.（证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）4、向量的基本定理如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=OABCD。
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析 对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝ ，y＝ ，z＝ B．z＝ ，y＝ ，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝ ，y＝ ，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝ ，y＝ ，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
空间向量运算的坐标公式解读
求P点的坐标。
课堂小结： 空间向量的坐标运算公式、 模长公式、夹角公式及其应用。 注：空间向量的坐标运算公式、模长公式、 夹角公式的形式与平面向量中相关内容一致， 因此可类比记忆；
例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
空间向量的基本定理：
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z， 使得：
a , b , c 如果三个向量 不共面，那么对空间
p xa yb zc
基底 a, b, c 叫做空间的一个______
空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底
一、空间直角坐标系
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ;
例 1、 （1）求向量 a ( x, y, z ) 的模 | a
|
（2）求两个非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) ，
b ( x2 , y2 , z2 ) 的夹角的余弦值
（3） 、 已 知 向 量 a (2, 3,5) ， b (3, 1, z) ， 且
如果三个向量任一向量使得不共面那么对空间c存在一个唯一的有序实数组xyzbapczbyaxpc基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底ba叫做空间的一个一空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用ijk来表示
空间向量运算的坐标公式
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点 建立空间直角坐标系， N、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点， 写出下列向量的坐标.
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
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选修2-1 课 题：空间向量与立体几何第4课时 空间向量基本定理主备人：学习目标：1、掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任一向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的2、理解空间向量的基底、基向量的概念.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其简单应用）学习难点：空间向量基本定理证明，选择适当的基底来表示任一空间向量 教学过程：【温故习新▪导引自学】1．（1）空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对于空间任一向量p ，存在一个唯一的_______________________________________ （2）基底、基向量，正交基底，单位正交基底：说明：对于基底｛c b a ,,｝，应明确：①空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底； ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）；③一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.（3）空间向量基本定理的推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四个点，则对空间任一点P ，都存在一个_____的有序实数组x 、y 、z ，使 ___________________．说明：若x ＋y ＋z ＝１，则根据共面向量定理得：P 、A 、B 、C 四点共面．【交流质疑·精讲点拨】 题型一 基底的概念辨析例1 下列命题中正确的命题是________①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②O ,A ,B ,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O , A , B , C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底. 变1：在空间四边形P -ABC 中，,,PA a PB b PC c ===，则在向量,,,,2a b b c a c a b a c +++--中，能构成 ______组空间的基底；题型二 利用基底表示其他向量例2、如图，在正方体OADB —CA ’D ’B ’中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是OD ’与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示向量'OD 和OM变式2、已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底OC OB OA ,,表示向量OG题型三 空间向量基本定理的应用例3 如下图，在三棱锥P —ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且 PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若,,PD mPA PE nPB PF tPC ===，求证：111m n t++为定值，并且求出该定值．【当堂反馈·效果评价】1.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示).2.如下图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，设1,,AB a AC b AA c ===，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使1,(01)AM k AC BN kBC k ==≤≤．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.【作业巩固·拓展迁移】 1．下列命题中： ① 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组x y z 、、，使OP xOA yOB zOC =++；② 若123{,,}e e e 为空间的一个基底，则132312{,,}e e e e e e +++也能构成空间的一个基底； ③ 给定,a b ，,a b 不共线，则存在无穷多个向量，使得它与,a b 一起构成空间的一个基底；④ 若,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 中至少有两个向量共线． 其中正确的个数有2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点,且向量a OA OB OC =++,向量a OA OB OC =+-,则向量OA ，OB ，OC 与,ab 不能构成空间基底的向量________3.已知123{,,}e e e 构成空间的一个基底，若1231223()(1)()2()3()x y e y e z y e e e e e -++++=-++，则x =____，y =____，z =___； 4．点G 为ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA OB OC OG λ++=，则λ=______；5．如下图在底面为正三角形的斜棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1AB ∥平面1C BD .6.已知3个向量,,a b c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，试问,,p q r 是否共面？7.如图，在平行六面体''''ABCD A B C D -中，',,AB a AD b AA c ===，M 是'CD 的中点，N 是''C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =，用基底{,,}a b c 表示下列向量（1）AM ；（2）AN ；（3）AQ ．8.四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG =2GD ，,,PA a PB b PC c ===，试用基底{,,}a b c 表示向量PG ．BDQNM AC'D 'C 'B 'A选修2-1 课 题：空间向量与立体几何第5课时 空间向量的坐标表示主备人：学习目标：1、理解空间向量坐标的定义，能正确表示向量的坐标 2、掌握两向量加、减、及向量数乘的坐标运算法则3、能正确判断两向量平行及解决有关问题学习重点：空间向量的坐标运算学习难点：能正确判断两向量平行及解决有关问题 教学过程：【温故习新▪导引自学】 1、向量的坐标：2、向量坐标运算的法则（1）________________________（2）________________________（3）________________________3、设a b b b b a a a a ),,,(),,,(321321==∥)0(≠a b ⇔__________________4、若A (x 1,y 1,z 1）,B (x 2,y 2,z 2)，则_________＝AB【交流质疑，精讲点拨】题型一 空间向量的坐标表示例1在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别是1,DD BD 的中点,G 在棱CD 上,且14CG CD =,H 为1C G 的中点,(1) 试建立适当的空间直角坐标系,写出E ,F ,G ,H 的坐标.﹡(2)用向量的方法证明：①求证：11,,,A B C D 四点共面 ②设1111AC B D J =,求证：//AJ 面1BC D变1 如图,多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得,其中AB =4,BC =1,BE =3,CF =4.求EF ,点G 的坐标, AG题型二 空间向量的坐标运算例2、已知),4,10,3(),8,3,1(-=-=b a 求,,32,2a b a b a b a b +-+-+变2 已知()(1,5,1),2,14,2,24a b a x b =-=-+=，求x题型三 空间向量平行与共面的坐标关系例3、已知空间四点A (-2,3,1) B (2,-5,3) C (10,0,10) D (8,4,9)，求证：四边形ABCD 是梯形变3 已知两点A (1,-2,3)，B (2,1,-1)，求AB 连线与xoz 平面的交点坐标【当堂反馈，效果评价】已知向量(1,5,1),(2,3,5),a b =-=-(1)若(7,9,13),c =-求证：向量,,a b c 共面(2)若 ()//(2)k a ba b +-,求k 的值.【作业巩固，拓展迁移】1．已知(1,0,1),(,,4),(1,4,7)A B x y C -，且A ，B ，C 三点在同一条直线上，则实数,x y 分别等于 .2．已知向量3a i j k λ=+-，向量4b i j k μ=++平行，则λ= ，μ= ； 3．已知(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上的一点，满足13AC AB =，则点C 的点坐标___________4．已知点A ()2,3,1m n --+关于x 轴的对称点是()',7,6A λ-，则,,m n λ的值是 ；5．已知()()()4,2,6,1,4,2,7,5,,a b c λ=-=--=若,,a b c 三向量共面，则λ=________ ；6．已知()()()1,2,,,1,2,2//(2)a y b x a b a b =-=+-，则x =_________,y =_____________． 7．设12a i j k =-+，232a i j k =+-，323a i j k =-+-，4326a i j k =++，试问是否存在实数λ、μ、v ，使4123a a a a λμν=++ 成立？如果存在，求出λ、μ、v 的值；如果不存在，请给出证明.8. 已知()1,0,0,(0,1,0),(0,0,2)A B C ，求点D 使得//,//DB AC DC AB9. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠F AB =90°，1//,2BC AD 1//2BE FA ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点. （1）求证：四边形BCHG 是平行四边形；（2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。