2014中考数学分类汇编：中位线 (1)
三角形的中位线基础题30道选择题附详细答案
9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）．．．2=．．．7+9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）2．（2014•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）3．（2014•泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）4．（2014•宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）MN=MN=AB5．（2014•牡丹江一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB 于点D，则CD的长为（）AB=4EO=1.5=47．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）AB8．（2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）BC EF=则新三角形的周长为AC BC EF=（∴等边三角形的中位线长是：12．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）EF=．C D．×（14．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF15．（2013•潮安县模拟）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）DAB=4BC=216．（2013•南岗区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，若△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为（）DPG=ANAP=AC=17．（2012•台州）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）18．（2012•聊城）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）D=BC=19．（2012•佛山）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图AC EF=AC EF=AC．cm ∴相似比是21．（2012•朝阳）如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为（）BC AC EF=AB BC EF=23．（2012•邵阳）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（）ABAC24．（2012•德城区三模）如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于（）DMN=25．（2012•黄埔区一模）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为（）AD=BD=AC BCAB=2AC=2BC=226．（2012•长宁区一模）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）D．AD=，的周长为边长的．27．（2012•盐田区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=（）．29．（2011•黔南州）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）+2BE=CE=AB=3AC=330．（2011•义乌市）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）BC。
初三几何2中点辅助线.中位线(2013-2014)教师
2014年中考解决方案构造中位线学生：×××上课时间：2013.××.××构造中位线自检自查必考点知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：假设三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：但凡出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而到达将条件进行转化的目的。
秘籍二：构造中位线解读：但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。
秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似成效．【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．CEDBA C FE D BA【答案】取AC 的中点F ，连结DF ，易得12DF AB =∥，AD F BAD AD F ==∠∠∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，得AE AF =．【练1】如右以下图，在ABC ∆中，假设2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．E D CB A【答案】如右以下图，则取AC 边中点F ，连结EF 、DF ．由中位线可得，12EF AB =且B CEF ∠=∠．DF 为Rt ADC ∆斜边上的中线，∴DF CF =．∴CDF C ∠=∠，又∵DFE FDE CEF ∠+∠=∠，即2C DFE C ∠+∠=∠，∴D FE ED F ∠=∠，∴12DE EF AB ==，∴2AB DE =． 中考总分值必做题FAB DEC【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． C E DB A M CN E D B A【考点】三角形的中位线，30°所对的直角边等于斜边的一半【答案】取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．从而得12BE BM AB ==，12BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．又因12MN AC =，故12DE AC =．【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【答案】过E 作EF BC ∥交BD 于F135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒∵45DFE DBC ∠=∠=︒ ∴135EFB ∠=︒又∵EF BC ∥，12EF BC =，12AC BC =∴EF AC =，CE FB =∴EFB ACE ∆∆≌ ∴CEA DBE ∠=∠ 又∵90DBE DEB ∠+∠=︒ ∴90DEB CEA ∠+∠=︒ 故90AEB ∠=︒∴AE EB ⊥且AE BE =．F ABCED【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【答案】设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得12GE BD =∥，12GF AC =∥，从而GF GE =，GEF GFE =∠∠， 所以 AMN BNM =∠∠．【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【答案】取AB 中点H ，连接EH FH 、．∵AE =ED AH =BH ，∴12EH BD EH =BD ∥，,∴GNM HEF ∠=∠ ∵AH =BH BF =CF ，∴12FH AC FH =AC ∥，∴GMN HFE ∠=∠ ∵AC <BD ∴FH <EH∴<HEF HFE ∠∠ ∴GMN GNM ∠>∠【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．〔1〕如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠〔2〕当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．HGNMFE DCBACM FEGND B AMN AB EF DC(N )M F EDCBA【答案】取AC 的中点H ，连结HE 、HF∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点 ∴H F AD ∥，12HF AD = ∴AM F H FE ∠=∠同理，HE CB ∥，12HE CB =∴ENB HEF ∠=∠∵AD BC = ∴HF HE =， ∴H EF H FE ∠=∠ ∴ENB AMF ∠=∠【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【答案】取AC 中点M ，AD 中点N ．连结MF 、NF 、MB 、NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MF AD NE ==，12NF AC MB ==，M F AD ∥，NF AC ∥， NMEDF CBA∴DNF CAD CMF ∠=∠=∠，∵BM AM =，∴MBA CAB ∠=∠．∴2BMC MBA CAB CAB ∠=∠+∠=∠．同理可证2DNE DAE ∠=∠． ∵BAC EAD ∠=∠，∴BMC END ∠=∠． ∴BMC CMF FND DNE ∠+∠=∠+∠，即BMF ENF ∠=∠，∴MBF NFE ∆∆≌，∴BF EF =．HAB ECDMN F【练1】如下图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： 〔1〕DEM FDN ∆∆≌； 〔2〕PAE PBF ∠=∠．NMPDCBA【答案】〔1〕如下图，根据题意可知DM BN ∥且DM BN =，DN AM ∥且DN AM =，所以AMD APB DNB ∠=∠=∠．而M 、N 分别是直角三角形AEP ∆、BFP ∆的斜边的中点， 所以EM AM DN ==，FN BN DM ==，又已知DE DF =，从而DEM FDN ∆∆≌．〔2〕由(1)可知EMD DNF ∠=∠，则由AMD DNB ∠=∠可得AME BNF ∠=∠． 而AM E ∆、BNF ∆均为等腰三角形， 所以PAE PBF ∠=∠．【练2】已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PN MCBA【答案】取AB 中点Q AC ，中点R连结PQ PR MQ NR ，，， 12PQ AC PQ AC NR ==∥， PR AB PR MQ ∥，＝ PQM PRN ∠∠＝ (两边分别垂直)∴PQM NRP PM PN ∆∆≌， ＝NMPDCBAPN MQRCB A【练3】如下图，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．〔1〕求证MB MC =．〔2〕设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【答案】〔1〕如下图，延长BM 交CE 于N ．因为DM EM =，CE BD ∥， 故DBM ENM ∆∆≌， 则BM NM =， 从而12MC BN MB ==． 〔2〕结论是肯定的．取AD 、AE 的中点F 、G ， 连接FB 、FM 、MG 、GC ．由BF 、CG 是Rt ABD ∆、Rt ACE ∆斜边上的中线 可得12BF AD =，12CG AE =， 从而MF CG =，MG BF =．又因为22CGE CAE BAD BFD ∠=∠=∠=∠，MFD DAE MGE ∠=∠=∠，故BFM MGC ∠=∠， 从而BFM MGC ∆∆≌， 故MB MC =．【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．〔1〕如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；〔2〕将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．NEMDCBA MGFEDCBA图①NM EDCB A图②N M EDCBA【答案】〔1〕AM D E ⊥，12AM DE =; 〔2〕结论仍然成立。
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
2014中位线
2013中考全国100份试卷分类汇编中位线2、（2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周3、（2013•雅安）如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（ ）5、（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x ﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则的值为（ ） ． D ． 中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）A.8或32B.10或324+C.10或32D.8或324+11、（2013•烟台）如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．121412、（2013•衢州）如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．13、（2013•滨州）在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=．14、（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．16、（2013•呼和浩特）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．17、（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=cm．19、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。
初中数学知识点精讲精析 中位线
1.5 中位线学习目标1.了解三角形中位线的概念，证明三角形的中位线定理, 体会转化的思想方法。
2.利用三角形中位线定理进行有关的推理和证明。
知识详解1. 中位线概念（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
（2）梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
（3）两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
2. 中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.（2）三角形两边中点的连线（中位线）平行于侧边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
【典型例题】例1. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴DE=EH，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是三角形DHB的中位线，∴12EF BH∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．例2. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A ＜90°，边BC 、CA 、AB 的中点分别是D 、E 、F ，则四边形AFDE 是（ ）A ．菱形B ．正方形C ．矩形D ．梯形【答案】A【解析】∵边BC 、CA 的中点分别是D 、E ，∴线段DE 是△ABC 的中位线，∴12DE AB =，DE ∥AC ．同理，12DF AC =，DF ∥AC ．又AB=AC ，∠A ＜90°，∴DE ∥AF ，DF ∥AE ，DE=DF ，∴四边形AFDE 是菱形．例3. 如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】A【解析】∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2=∠ECD ，∵∠1=110°，∠E=30°，∴∠ECD=80°，∴∠2=80°．【误区警示】易错点1：中位线1. 已知：菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ∥DC 交BC 于点E ，AD=6cm ，则OE 的长为（ ）A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，CD=AD=6cm ，∵OE ∥DC ，∴BE=CE ，∴132OE C D cm ==易错点2：理解三角形中位线定理2. 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】A【解析】根据三角形中位线定理，可知边连接后的四边形的两组对边相等，再根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形．故选A ．【综合提升】针对训练1. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．122. 如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，连接AO ．若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边形DEFG 的周长是（ ）A ．14cmB ．18cmC ．24cmD ．28cm3. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=5，则BC=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．121.【答案】B【解析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．2.【答案】A【解析】∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC, 12ED BC =∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC, 12FG BC =∴142ED FG BC cm ===,同理132GD EF AO cm ===∴四边形EFDG 的周长为3+4+3+4=14（cm ）．3.【答案】C【解析】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE=12BC ，∵DE=5，∴BC=10．课外拓展“无理数”的由来公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派的弟子希勃索斯（Hippasus ）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。
中位线讲义
中位线一、知识点讲解1、三角形中位线及性质（1）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
证明：2、三角形的重心及其性质。
（1）定义：三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（2）性质：三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31 证明：二、典例分析题型一、运用三角形中位线的性质进行计算例1 如图，在□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF =4cm ，DF =8cm ，AG =6cm ，则AC 的长为（ ）A 、28cmB 、20cmC 、24cmD 、30cm变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ） A 、BC =2DEB 、△ADE ∽△ABCC 、ACABAE AD D 、S △ABC =3S △ADE 2、如图，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG =2，则CG 的长为（ ） A 、4 B 、4.5 C 、5 D 、6第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，AB =6，AC =4，则四边形AEDF 的周长是（ ） A 、10 B 、20 C 、30 D 、404、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点的得三角形的周长可能是（ ） A 、5.5 B 、5 C 、4.5 D 、45、（易错）在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，求DE 的长。
题型二：三角形中位线的性质的应用例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且BC CF 21。
初中数学《9、5三角形的中位线》知识点+教案课件+习题
知识点：三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
注意：重要辅助线⑴中点配中点构成中位线；⑵加倍中线；⑶添加辅助平行线证明方法⑴直接证法：综合法、分析法⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法⑸证线段和差关系：延结法、截余法⑹证面积关系：将面积表示出来视频教学：练习：1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对3．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）A.互相平分B.互相垂直C.相等D.相等且互相平分4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形或对角线互相垂直的四边形5．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm6．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为 cm7.如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。
中位线经典习题及答案
2014年4月王强的初中数学组卷2014年4月王强的初中数学组卷一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．14．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．45．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=159．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为_________．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为_________．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离_________米．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．2014年4月王强的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm考点：三角形中位线定理．分析：由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．解答：解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，故选D．点评：解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米考点：三角形中位线定理．分析：根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，∴DE=AB，∴AB=2CD=2×14=28m．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．解答：解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=BH，∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．故选D．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．4．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．5．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF考点：反证法．分析：根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．解答：解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．故选：B．点评：此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°考点：反证法．分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°”时，应先假设∠B＞45°，∠C＞45°．故选：C．点评：此题主要考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交考点：反证法．分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=15考点：反证法．分析：根据x=3时，（x﹣3）2=0，得出能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．解答：解：∵x=3时，（x﹣3）2=0，∴能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．故选：B．点评：本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题只要找到一个反例即可．9．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小考点：反证法；反比例函数的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．分析：分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．解答：解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了反证法、反比例函数性质、等腰三角形的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等考点：反证法．分析：利用直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明，据此即可判断．解答：解：A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故选项错误；B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故选项错误；C、正确；D、根据全等的定义可以直接证明，故选项错误．故选C．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法应用的条件，直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明．二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为15．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD 的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．解答：解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案是：15．点评：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．解答：解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案为：．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．专题：压轴题．分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长解答：解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案为1.5．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离46米．考点：三角形中位线定理．专题：计算题；压轴题．分析：根据E、F分别是线段AB、BC中点，利用三角形中位线定理，即可求出AC的长．解答：解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，∴FE是三角形ABC的中位线，∴FE=AC，∴AC=2FE=23×2=46米．故答案为46．点评：此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握三角形中位线定理，为进一步学习奠定基础．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．解答：解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；（2）∵由（1）知，∠A=30°．∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，∴BC=AB=4cm．又E、F分别为边AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2cm．点评：本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE为△ACB的中位线．∴DE∥BC．∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，∴CE=AB=AE．∴∠A=∠ACE．又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．∴DF∥CE．又∵DE∥BC，∴四边形DECF为平行四边形．点评：本题利用了：①三角形中位线的性质．②直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半．③等边对等角．④平行四边形的性质和判定．⑤内错角相等，两直线平行．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP；（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=BC=a，点P是BF的中点，得到BP=BF=a．解答：（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．解答：证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明（2）题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．解答：证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解答：解：结论：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB，又∵AF=CE DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形．点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：压轴题；探究型．分析：四边形EFGH是平行四边形，连接AC，根据中位线定理，可证得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．解答：解：四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC，如图．∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．点评：此题主要考查平行四边形的判定，综合运用了中位线定理，作辅助线是关键．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．考点：反证法．专题：证明题．分析：当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．点评：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．考点：反证法．分析：首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．解答：证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，∴这两个整数中至少一个是偶数．点评：此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．考点：反证法．分析：（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°（2）假命题，举一个反例即可．解答：解：（1）真命题，（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，∠C=130°，则△ABC就应该是锐角三角形；而实际上△ABC就应该是钝角三角形，所以假设错误，所以原命题为假命题．点评：本题考查了命题的判断，可反证法来证明．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，∵在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．。
初中中位线知识点总结
初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。
2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。
3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。
二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。
2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。
这是因为三角形的三边相等。
3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。
三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。
2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。
3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。
四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。
2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。
3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。
五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。
2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。
3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。
六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。
2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。
七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。
八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。
初中数学：中位线
三角形、梯形的中位线【新知讲解】1、三角形的中位线：⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ⑵三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．已知，在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 边上的中点，连结DE 求证：DE ∥BC 且DE=12BC2、梯形的中位线：⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
已知，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是AB ，DC 边上的中点，连结EF 求证：EF ∥BC 且EF=12(AD+BC)ED CBAA FE D CB基础演练：1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm ，则连接各边中点所成三角形的周长为_______ cm.2、如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点,DE=3cm, ∠C ＝70°, 那么BC=_________cm, ∠AED ＝____________°.3、在△ABC 中,D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，则DE 与AF 的关系是__________4、Rt △ABC 中，∠C=90点D 、E 、F 分别是△ABC 三边中点，DE=4cm ，则CF= cm 。
5、若三角形三条中位线索分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是__________cm 2。
【典例解析】例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？例２：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD)。
ED C B AMD CBA N例3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。
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2013中考全国100份试卷分类汇编
中位线
2、（2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周
△CEF S 四边形BCED 的值为（ ）
别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则
的值为（ ） C D ． 中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）
A.8或32
B.10或324+
C.10或32
D.8或324+
11、（2013•烟台）如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．
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12、（2013•衢州）如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边
形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．
13、（2013•滨州）在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=．
14、（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．
16、（2013•呼和浩特）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、
G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．
17、（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=cm．
19、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一
点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别
为S、S1、S2。
若S=2，则S1+S2=
20、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是
AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平
分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=．
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21、（13年北京4分、11）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
22、（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE 到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
23、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．
24、（2013•常德压轴题）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，
∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
12．（4分）（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）
分）(2014
分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM 是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF 与AC 的关系，根据等量代换，可得MF 与BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得BM 与NM 的关系，根据等量代换，可得NM 与BC 的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD 与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
解答： （1）答：△BMN 是等腰直角三角形．
证明：∵AB=AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC ．
∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE ）=45°．∴△BMN 是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN ∽△BDC ．
证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM=AC ．
∵AC=BD ，∴FM=BD ，即．
∵△BMN 是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC ，即，∴． ∵AM ⊥BC ，∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM ∥AC ，∴∠ACB=∠FMB ．
∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD ．∴△MFN ∽△BDC ．
8．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为
(A)9
(B)10.5 (C)12
(D)15
A B C D E F P （第8题）。