第3章 一元流体动力学基础

伯努利方程的几何意义与物理意义
mgz z mg
p mgh h g mg
某点到基准面的位置高度，或位置水头 单位重量流体所具有的位置势能，或位能
该点的测压管高度，或压强水头； 单位重量流体所具有的压强势能，或压能
z
p g
该点测压管液面的总高度，或测压管水头 单位重量流体所具有的总势能
该点的流速高度，或流速水头 单位重量流体所具有的动能； 该点的总水头 单位重量流体所具有的机械能； 沿元流各点总水头相等，总水头线水平 沿元流机械能守恒，故又称能量方程
3.4.7 流量（flow rate/discharge） 单位时间内通过过流断面流体的体积，单位为立方米每秒（m3/s） 若以 dA 表示元流过流断面面积，u 表示该断面流速，总流流量
Q A udA
除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等 3.4.8 断面平均流速（mean velocity） 总流过流断面上的假想速度 v
uz
u y z
uz uz uz uz az ux uy uz t x y z
3.2 恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）
流场中各空间点的运动要素均不随时间变化的流动为恒定流 反之为非恒定流 对于恒定流
ux ux x, y, z
或
2 u A pB pA h 2 g g g
由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头
使用毕托管测量点流速 对于液体
u 2 gh
pA u 2 pB g 2g g
pB pA
对于气体
u 2
2
u AB
h
U型管内
pB pA ' gh
两式合并并修正
1u1dA1 2u2dA2
对于不可压缩流体
1 2
u1dA1 u2dA2 dQ
对总流过流断面积分
A1
u dA u dA
1 1 2 A2
2
Q
Q1 Q2
v1 A1 v2 A2
对于有多点出入的总流，所有流量变化可表示为
Q
流入
Q流出
连续性方程是质量守恒定律的流体力学表达式
v1 = 0，v2 可求，令α=1
2 pa p2 v 2 Hs hl g g 2 g
2 pv pa p2 v2 Hs hl 5.28 m g g 2g
Hs 1 0
pv 5.28g 51740 Pa
[例 3] 文丘里（Venturi) 流量计。已知进口直径 D1 =100mm， 喉管直径 D2 = 50mm，测压管水头差 h = 0.6m（或水银差压计 液面差 hm= 4.76cm），流量系数μ=0.98，试求输水流量。 解：由伯努利方程 1、取基准面0-0 2、取计算断面1-1，2-2 水头损失忽略不计 列伯努利方程
问题一
水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化 问题二 M I T（Massachusetts Institute of Technology）教学楼下的风
100 mile/hr
3.6 理想流体恒定元流伯努利方程 重力作用下恒定不可压缩流体元流，经dt 时间，由1-2 运动至 1’-2’ u1 1 1 1’
2 p1 v12 p2 v 2 z1 z2 g 2 g g 2 g
1 2 2 hm z2
h
1 z1
令α= 1 0 0
与连续性方程 v A v A 1 1 2 2 联立求解
v1 1 D1 1 D 2
1 πD12 4 D1 1 D 2
u 2 1 mu 2 2 g 2 mg
2 p u z g 2 g
2 p u z c g 2 g
毕托管（Pitot tube）与流速水头 1730年法国工程师毕托 用一根前端弯成直角的玻璃管测量塞纳河水的流速
h H A B A、B两点距离很近，机械能相等
2 pA u A pB g 2 g g
uz uz x, y, z
p px, y, z
u y u y x, y, z
x, y, z
3.3 流线与迹线 3.3.1 流线（stream line） 流场中的空间曲线，在同一瞬时线上各点的速度矢量与之相切 u1
u2
u3
两流线不能相交或为为折线，而是光滑曲线或直线 3.3.2 迹线（path line） 某时段内，流体质点经过的轨迹 恒定流时，流线与迹线重合
ux ux x, y, z, t
u y u y x, y, z, t
uz uz x, y, z, t
p px, y, z, t
x, y, z, t
式中x，y，z 为流场中的空间坐标，t 为时间
由于 x，y，z 为流体质点在 t 时刻的运动坐标，故对于同一质点 来说，又是时间的函数。因此加速度需采用复合函数求导数的方
u 2g
' h
3.7 实际流体恒定伯努利方程
3.7.1 元流伯努利方程 实际流体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能 单位重量流体所具有的机械能沿程减少 设hl’ 为单位重量流体由过流断面1-1运动至2-2的机械能损失
2 p1 u12 p2 u 2 z1 z2 hl ' g 2 g g 2 g
总流伯努利方程的适用条件 恒定流动 质量力只有重力 不可压缩流体 渐变流过流断面 两断面间无分流或合流 两断面间无能量输入或输出
[例 1] 用直径 D = 100mm 的水管自开口水箱引水。水箱水面与管 道出口断面中心的高差 H = 4m 且保持恒定，水头损失 hl = 3m， 求流量 Q 。 1 1 解：由总流伯努利方程
p1 dA1 z1
1’
2
2’ u2 p2 z2
2 dA2 2’
压力做功 势能增量
p1dA1u1dt p2 dA2 u 2 dt p1 p2 dQdt
z 2 gdm z1 gdm z 2 z1 gdQdt
2 u 2 u12 1 2 1 2 u 2 dm u1 dm 2 g 2 g gdQdt 2 2
4
4
p p 2 g z1 1 z2 2 g g
动能增量
根据功能原理
2 u 2 u12 p1 p2 dQdt gdQdt z 2 z1 gdQdt 2g 2g
全式除以 dt 时段流过元流过流断面流体的重量
2 p1 p 2 u 2 u12 z 2 z1 g g 2 g 2 g
2 p1 1v12 p2 2 v 2 z1 z2 hl g 2 g g 2 g
D
H
1、选取基准面 0-0
2、选取计算断面 1-1 和 2-2
2 0 2 0
z1= H，z2= 0；p1= 0，p2= 0；v1= 0，v2 待求，令α=1 2 v2 H hl 2g
x a, b, c, t ux t u x 2 x ax 2 t t
y a, b, c, t uy t
2 y ay 2 t t u y
z a, b, c, t uz t
uz 2 z az 2 t t
3.1.2 欧拉法 以充满液体的空间，即流场为对象，观察不同时刻流场中各空 间点上流体质点的运动参数（流速等），将其汇总起来，就形 成了对整个流场的描述
第3章
一元流体动力学基础
流体动力学是以动力学的理论和方法研究流体的机械运动规律 3.1描述流体运动的两种方法 3.1.1 拉格朗日法（grange） 把流体的运动看成是无描述，再将各质点的运动汇总起来，就得到整个流 动的运动规律 设 a, b, c 为质点在某一时刻 t0 的坐标 x, y, z 为质点在 t 时刻的坐标
2 u1 2g p1 g
hl '
2 u2 2g
z1
p2 g
z2
3.7.2 总流的伯努利方程 总流是元流的集合 将元流伯努利方程用于总流是必须考虑： （1）在总流计算中，所取两计算断面必须为渐变流 在渐变流过流断面上，流线为直线或近似直线 质量力只有重力
（2）用断面平均流速 v 取代各点的真实流速 u 引入动能修正系数α予以修正
u2 v2 v 2 2 g gudA 2 g gvdA 2 g gQ
3 A u dA
v3 A
（3）总流单位重量流体平均机械能损失 hl取代元流的能量损失 hl’
得实际流体总流的伯努利方程总流（能量方程）
2 p1 1v12 p2 2 v 2 z1 z2 hl g 2 g g 2 g
3.4 一元流动模型 3.4.1 一元流（one dimensional flows） 流动参数是三个空间坐标的函数，流动是三元流 流动参数仅是一个空间坐标的函数，流动则是一元流 3.4.2 流管（flow tube） 过流场中非流线的封闭曲线做流线，得到的管状表面 3.4.3 过流断面（cross section） 与流管中所有流线都正交的断面 3.4.4 元流（elementary flows） 过流断面为无限小时，流管及其内的流体 3.4.5 总流（total flows） 过流断面有限大小时，流管及其内的流体；总流为元流的总和 3.4.6 均匀流（uniform flows） 流线为平行直线的流动为均匀流，否则为非均匀流
法求出，即
ax
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
ux ux ux ux ux uy uz t x y z
ay