离散数学大作业

离散数学大作业

班级：15计算机2班

学号：20150200224

姓名：王鹏

时间：2017.6.3

第一章 命题逻辑

1.1命题及其表示法

命题的概念:

数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.2命题联结词

1. 否定联结词﹁P

与原命题相反

2. 合取联结词∧

同时为真，才为真

3. 析取联结词∨

同时为假，才为假

4. 蕴涵联结词→

当且仅当p为真，q为假

5. 等价联结词

同时为真，或同时为假才为真

1.3 命题公式、翻译与解释

1. 命题公式

定义 命题公式，简称公式，定义为：

（1）单个命题变元是公式；

（2）如果P是公式，则﹁P是公式；

（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、PQ、 PQ都是公式；

（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

2. 命题的翻译

可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。

命题翻译时应注意下列事项：

（1）确定所给句子是否为命题。

（2）句子中联结词是否为命题联结词。

（3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。

1.4 真值表与等价公式

1. 真值表

定义 将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。

构造真值表的方法如下：

（1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，

…，P n。

（2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序

依次写出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开始，按二进制递减顺序

写出各赋值，直到00…0为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。

（3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的真值

成真赋值+成假赋值=2n

2. 命题公式的分类

定义 设G为公式：

（1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重言式； （2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛盾式； （3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是可满足式。

3. 等价公式

定义 设A和B是两个命题公式，如果A和B在任意赋值情况下都具有

相同的真值，则称A和B是等价公式。记为AB。

性质定理

设A、B、C是公式，则

（1）AA

（2）若AB则BA

（3）若AB且BC则AC

定理 设A、B、C是公式，则下述等价公式成立：

（1）双重否定律 AA

（2）等幂律 A∧AA ； A∨AA

（3）交换律 A∧BB∧A ； A∨BB∨A

（4）结合律 （A∧B）∧CA∧（B∧C）

（A∨B）∨CA∨（B∨C）

（5）分配律 （A∧B）∨C（A∨C）∧（B∨C）

（A∨B）∧C（A∧C）∨（B∧C）

（6）德·摩根律 （A∨B）A∧B

（A∧B）A∨B

（7）吸收律 A∨（A∧B）A；A∧（A∨B）A

（8）零一律 A∨11 ； A∧00

（9）同一律 A∨0A ； A∧1A

（10）排中律 A∨A1

（11）矛盾律 A∧A0

（12）蕴涵等值式 A→BA∨B

（13）假言易位 A→BB→A

（14）等价等值式 AB（A→B）∧（B→A）

（15）等价否定等值式 ABABBA

（16）归缪式 （A→B）∧（A→B）A

4. 置换规则

定理（置换规则） 设（A）是一个含有子公式A的命题公式，（B）是用公式B置换了（A）中的子公式A后得到的公式，如果AB，那么（A）（B）。

1.5 对偶与范式

1. 对偶

定义 在仅含有联结词、∧、∨的命题公式A中，将联结词∧换成∨，将∨换成∧，如果A中含有特殊变元0或1，就将0换成1，1换成0，所得的命题公式A*称为A的对偶式。

例：公式（P∨Q）∧（P∨Q） 的对偶式为：（P∧Q）∨（P∧Q）定理 设A和A*互为对偶式，P1，P2，…，P n是出现在A和A*中的所有原子变元，若将A和A*写成n元函数形式，则

（1）A（P1，P2，…，P n）A*（P1，P2，…，P n）

（2）A（P1，P2，…，P n）A*（P1，P2，…，P n）

定理（对偶原理）设A、B是两个命题公式，若AB，则A*B*，其中

A*、B*分别为A、B的对偶式。

2. 范式

定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。

定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。

3. 主范式

定义 设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的析取范式中每一个合取项都是P1，P2，…，P n的一个极小项，则称该析取范式为G的主析取范式。矛盾式的主析取范式为0。

定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主析取范式。

定义 设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的合取范式中每一个析取项都是P1，P2，…，P n的一个极大项，则称该合取范式为G的主合取范式。通常，主合取范式用∏表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项，用1表示。

定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。

1.6 公式的蕴涵

1. 蕴涵的概念

定义

设G、H是两个公式，若G→H是永真式，则称G蕴涵H，记作GH。

蕴涵关系有如下性质：

（1） 对于任意公式G，有GG；

（2）

（2）对任意公式G、H，若GH且HG，则GH；

（3） 若GH且HL，则GL。

2. 基本蕴涵式

（1）P∧QP； （2）P∧QQ；

（3）PP∨Q； (4) QP∨Q；

（5）P（P→Q）； （6）Q（P→Q）；

（7）（P→Q）P； （8）（P→Q）Q；

（9）P，P→QQ； （10）Q，P→QP；

（11）P，P∨QQ； （12）P→Q，Q→RP→R；

（13）P∨Q，P→R，Q→RR； （14）P→Q，R→S（P∧R）

→（Q∧S）；

（15）P，QP∧Q。

1.7 其它联结词与最小联结词组

1. 其它联结词

定义 设P、Q为命题公式，则复合命题P Q称为P和Q的不可兼析取，当且仅当P与Q的真值不相同时，PQ的真值为1，否则PQ的真值为假。

定义 设P、Q是两个命题公式，复合命题P Q称为命题P、Q的条件否定，当且仅当P的真值为1，Q的真值为0时，P Q的真值为1，否则 PQ 的真值为0。