第八节 二元函数的极值

第八节二元函数的极值

教学目的与要求：理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条

件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用

问题

教学重难点：二元函数的极值的充分条件，拉格朗日乘数法

教法：讲授

课时：2 课时

一、引例

伴随着社会进步和生产力的不断发展，在工程技术，科学研究，经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题。这些问题的本质特征是：在一定的投入水平下，如何寻求最大的效益或与之等价的含义，在设定的效益水平下，如何降低投入。刻划这类问题的数学语言是：对于变量之间的函数，当自变量取何值时，函数变量的值能达到相对的最大或最小。这就是构成多元函数极值问题的实际背景。

实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店

主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出

瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？

每天的收益为

求最大收益即为求二元函数的最大值.

注：对于多元函数的极值问题，我们将重点研究二元函数。

二、二元函数极值的一般概念

1 、二元函数极值定义设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) , 都有f( x, y)< f( x0 , y0 ) ( 或f( x, y)> f( x0 , y0 )) , 则称函数在点( x0 , y0 ) 有极大值( 或极小值) f( x0 , y0 ) .

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 讨论函数在点的状态。

因为，而当x,y 不同时为零时，恒

大于零，所以函数在（0,0 ）取得的函数值是函数的一个极小值。这个结论由图一可看出其正确性。

由于的图形是顶点在(0,0,0) 的开口向上的

旋转抛物面，(0,0,0) 恰为它的顶点。

例如，函数z= 3 x2 + 4 y2 在点(0 , 0) 处有极小值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z> 0 . 因此z= 0 是函数的极小值。

例如，函数在点(0 , 0) 处有极大值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z< 0 . 因此z= 0 是函数的极大值。例如，函数z= xy在点(0 , 0) 处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点(0 , 0) 处的函数值为零, 而在点(0 , 0) 的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点。

以上关于二元函数的极值概念, 可推广到n元函数。

注：关于多元函数极值的概念应注意理解好两个要点：

一是极值点指的是某个区域的内点而不能是边界点。

二是函数的极值指的是函数在某个自变量点的邻域内的局部概念而不是在函

数定义域内的概念。

2 、二元函数极值存在的必要条件

在前述例 1 中，我们知道函数点(0,0) 将取得极小值，由于

是比较简单的二元函数，所以直接用极值定义就可得出结论。若遇到函数关系

复杂的问题，判断极值就比较困难了。因为在极值定义中，函数是否在一点处取

极值归结为函数值的比较，而在一点的邻域内有无穷多个自变量点, 那么仅仅依据定义来判断几乎无法实现。因此，必须研究极值点寻求的方法。

定理1 ( 必要条件) 设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 ) 处

有极值, 则有, 。

证：不妨设在点处有极大值, 则对于的某邻域内任

都有,

故当，时，有,

说明一元函数在处有极大值, 必有;

类似地可证.

仿照一元函数, 凡是能使f x( x, y) = 0 , f y( x, y) = 0 同时成立的点( x0 , y0 ) 称为函数z= f( x, y) 的驻点。

从定理1 可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但函数的驻点不一定是极值点。

例如, 函数z= xy在点(0 , 0) 处的两个偏导数都是零, 函数在(0 , 0) 既不取得极大值也不取得极小值。

由此定理可得如下表述的逆否命题：设在点存在偏导数，但

, 至少一个不等于零，则在点不取极

值。由此说明, 一个二元函数的极值的存在，首先应考虑两个偏导数为零的点（不妨仍称

为驻点），因为在非驻点处，函数一定不取极值。

当然，接着我们就应该思考，函数在驻点是否就一定取极值？

即上述定理的逆定理是否成立呢？为此讨论下面的例子。

例2 讨论函数在是否取极值

解先讨论在是否满足必要条件

从而，即是驻点且

在有可能取极值

若在点(0,0) 的邻域内任取x 、y 均为正数的点，这时；任取x 、y 为负数时，

，

也就是说既不是点邻域内自变量为任意( x, y) 时对应的函数值相对而

言较大或较小的，所以并不是极值。

由此可知定理的逆定理并不成立，所以该定理只是必要性定理。

从几何上看, 这时如果曲面z= f( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处有切平面, 则切平面z- z0 = f x( x0 , y0 )( x- x0 ) + f y( x0 , y0 )( y- y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z= z0 .

类似地可推得, 如果三元函数u= f( x, y, z) 在点( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在点( x0 , y0 , z0 ) 具有极值的必要条件为f x( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f y( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f z( x0 , y0 , z0 ) = 0 .

提问：那么如何判定一个驻点是否为极值点呢？

3 、二元函数极值存在的充分条件