福建师范大学高等数学上试题及答案

福建师范大学高等数学上试题及答案

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高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、.______)

31(lim 20

=+→x

x x 。

2、当k 时，

⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0

0e

)(2

x k x x x f x 在0=x 处连续． 3、设

x x y ln +=,则

______=dy

dx

4、曲线

x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是

5、若

⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数

x

x x f =)(，则=→)(lim

x f x （ ）

A 、0

B 、1-

C 、1

D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. )0(1

ln

+→x x

B. )1(ln →x x

C. )0(cosx →x

D.

)2(4

2

2→--x x x

3、满足方程

0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．

A ．极大值点

B ．极小值点

C ．驻点

D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A 、

⎰

+∞

sin xdx B 、dx e x ⎰+∞

-0

2 C 、dx x ⎰

+∞

1

D 、dx x

⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。则AMB ∠=

A 、

3π B 、4π C 、2

π

D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 x

x x 2sin 2

4lim

-+→ 。

2、求极限 )1

11(

lim 0

--→x x e x 3、求极限 2

cos 1

2

lim

x

dt e x t x ⎰-→

4、设

)1ln(25x x e y +++=，求y '

5、设

)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=t

y t x arctan )1ln(2，求2

2dx y

d 6、求不定积分

dx x x ⎰+)32

sin(12

7、求不定积分

x x e x d cos ⎰

8、设

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥+<+=0

110

11)(x x

x e x f x

， 求

⎰

-2

d )1(x x f

四、 应用题（本题7分）

求曲线

2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分） 若

)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2

1

(=f ，证明：

在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、6

e 2、k =1 ． 3、

x

x

+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：x x x 2sin 2

4lim

-+→8

1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 ：21

lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe

e e e xe e e e x x e e x 7分 3、解： 2

cos 1

2

lim

x dt e x

t

x ⎰-→e

x xe x

x 21

2sin lim 2

cos

0-

=-=-→ 7分 4、解：

)111(11

2

2

x

x

x y ++

++=

'……………………… …...4分

2

11

x

+=

……………………………………… …...7分

5、解：

t t t t dx dy 211211

2

2=++= （4分） 2

22

2

321

12()241d y t d dy

dx

t dt

t dt dx dx

t t

-

+===-+ （7分）

6、解：C x

d x dx x x ++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分）

7、 解：

⎰

⎰=x

x e x x x e d cos d cos ⎰+=sinxdx e cos x x e x …………………… …….2分 ⎰+=x

de sin cos x x e x ..………………… ……….3分

dx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+= ……… ……5分

C x x e x ++=)cos (sin ……………… ……… …7分

8、解：⎰⎰⎰⎰

--+==-01

1

11

2

d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … …2分