随机过程习题第2章
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2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明：
)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ
即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明：首先，由条件概率的定义式得
)
,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=
ΛΛΛΛΛΛ
根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得
)
()
()/()()/()/()
()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==
n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ
于是，
)/()
(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==
n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ
2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明：
)/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t =
证明：首先，由条件概率的定义式得
)
()
,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t =
然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得
)
(),()
/()()
()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==
)/()/(21/23/2123x x f x x f t t t t = 2.3 若)(t ξ是一马尔可夫过程，2121++<<<< )/,(),,,/,(21/,2121,,,/,212121m m m t t t m m m t t t t t x x x f x x x x x f m m m m m m ++++++++=ΛΛ 证明：首先，利用性质：}|{}|{}|{C B P BC A P C AB P =得 ),,,/(),,,,/() ,,,/,(211,,,/1212,,,/2121,,,/,21112122121m m t t t t m m m t t t t t m m m t t t t t x x x x f x x x x x f x x x x x f m m m m m m m m ΛΛΛΛΛΛ++++++++++= 于是，由马尔可夫性得 ) /(),/(),,,/,(1/12,/2121,,,/,1122121m m t t m m m t t t m m m t t t t t x x f x x x f x x x x x f m m m m m m m m ++++++++++=ΛΛ 再利用性质}|{}|{}|{C AB P C B P BC A P =得 ),,,/,(2121,,,/,2121m m m t t t t t x x x x x f m m m ΛΛ++++=)/,(21/,21m m m t t t x x x f m m m ++++ 2.4 若有随机变量序列ΛΛ,,,,21n ξξξ，且ΛΛ,,,,21n ξξξ之间相互统计独立，n ξ的概率密度函数为)()(n n n x f x f n =ξ，),2,1(0][Λ==n E n ξ。定义另一随机变量序列 }{n η如下： Λ ΛΛΛ Λn n ξξξηξξξηξξηξη+++=++=+==213 21321211 试证明：（1）序列ΛΛ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性； （2）111112211]/[],,,/[-----======n n n n n n n y y E y y y E ηηηηηηΛ (1) 证明：由于ΛΛ,,,,21n ξξξ相互统计独立，其n 维联合概率密度函数为 )()()(),,,(21212121n n y f y f y f y y y f n n ξξξξξξΛΛΛ= 由随机变量序列}{n η与}{n ξ的关系可得如下的雅可比行列式 11 11011001== Λ O M M M O ΛJ 所以，ΛΛ,,,,21n ηηη的n 维联合概率密度函数为 )()()(),,,(1121212121---=n n n x x f x x f x f x x x f n n ξξξηηηΛΛΛ 于是， ) () ()()() ()()()(),,/(121121*********,,,/2121121--------=-----= -n n n n n n n n n n x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x x x f n n n n n n ξξξξξξξξηηηηΛΛΛΛ 由于 2 212112 112 212 11d d d )()()()(d d d ),,,(),(21211---∞ +∞---∞ +∞-----==⎰⎰ -n n n n n n n n n x x x x x f x x f x f x x f x x x x x x f x x f n n n n n ΛΛΛΛΛξξξξηηηηη 且 2 212112 12 211211d d d )()()(d d d ),,,()(211211---∞+∞--∞ +∞-----==⎰ ⎰--n n n n n n x x x x x f x x f x f x x x x x x f x f n n n ΛΛΛΛΛξξξηηηη 所以， ) ()/(11/1---=-n n n n x x f x x f n n n ξηη 因此 )/(),/(1/121,,,/1121----=n n n n x x f x x x x f n n n n ηηηηηηΛΛ 所以，序列ΛΛ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性。