小学三年级奥数讲义定义新运算

定义新运算

一、知识要点

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 二、精讲精练

【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：

1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。

2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。 【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。

练习2：

1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。 2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。求30△（5△3）。 3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此 练习3：

1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，

2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

2．规定， 那么8*5=________。

3△(4△6)

＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19

＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65

7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10

13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26

3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，那么，A 是几？

【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a －1）×a ×（a ＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即

练习4：

1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A ，那么A=________。

2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。 【例题5】设a ⊙b=4a －2b+1/2ab,求z ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。

【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据x ⊙16＝4x －2×16+1/2×x ×16 = 12x －32，然后解方程12x －32 = 34，求出x 的值。列算式为

练习5：

1．设a ⊙b=3a －2b ，已知x ⊙（4⊙1）＝7求x 。 2．对两个整数a 和b 定义新运算“△”：a △b= ，求6△4+9△8。

3．对任意两个整数x 和y 定于新运算，“*”：x*y ＝ （其中m 是一个确定的整数）。如果1*2＝1，

那么3*12＝________。

简便运算

一、知识要点

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1

a ×(a+1)

的分数可以拆成1a －1a+1 ；形如1a ×（a+n ） 的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+b

a ×b

的分数可以拆

成1a +1

b

等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。 二、精讲精练

【例题1】

计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 1

99×100

原式＝（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1

100 ）

＝1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1

100

＝1－1100

＝99100

练习1

计算下面各题：

1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40

2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15

3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142

4. 1－16 +142 +156 +1

72

【例题2】

计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 1

48×50

原式＝（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12

＝【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×1

2

＝【12 －150 】×12