2014东城一模理数

北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（一）

数学理试题

2014．4

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1． 已知集合()(){|120}A x x x =+-≥，则R A =ð（ ）． A ．{}|12x x x <->，

或B ．{|1x x -≤或}2x ≥C ．{}|12x x -<< D ．{}|12x x -≤≤

2． 复数

i

1i =-（ ）． A ．11i 22

+ B ．11i 22- C ．11i 22-+ D ．11i 22--

3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．

A ．向左平移π3个单位长度

B ．向右平移π

3个单位长度

C ．向左平移π6个单位长度

D ．向右平移π

6

个单位长度

4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）．

A ．27

B ．36

C ．42

D ．63

5． 在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．

A

B

C

D ．2

6． 如图，在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中

点，则AD BC ⋅=

（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．不能确定

7． 若双曲线()22

22100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆

()2

221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）

． A ．2

B

C

D

8． 已知符号函数()10sgn 0010x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

，，，，，则函数()()2sgn ln ln f x x x =-的零点个数（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9． 4

12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为________．（用数字作

答）

10． 如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，

且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD =________，

D

C

B

A

O C B A D

Q

O D C P

A

DAB ∠=________．

11． 设不等式组02,

02x y <<⎧⎨<<⎩

表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点(),P x y ，则

3x y +<的概率为________．

12． 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为______，不等式()f x x <的解集为________．

13． 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如

果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）

14． 如图，在三棱锥A BCD -

中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面

BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________． 三、解答题共6小题，共80分． 15． （本小题共13分） 在ABC △

中，sin A a =

． （1）求角B 的值；

（2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[]2,4的有8人．

乙

甲

0 2 4 6 8 10 12 小时

（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17、（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB PA ==

，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点． （1）求证：AF ⊥平面PBC ；

（2）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45︒． P

F

E

D

C

B

A

已知函数()()2

4ln 1f x ax x =--，a ∈R ．

（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）已知点()1,1P 和函数()f x 图象上动点()(),M m f m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围． 19、（本小题共13分）

已知椭圆()22

22:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭

和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；

（2）设过点30,2P ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的

方程．

20、（本小题共14分）

已知集合{}1,2,3,4,,n ()3n ≥，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a ．

（1）当5n =时，写出所有T 子集； （2）求10a ；

（3）记3543452222n n n

a a a a S =++++ ，求证：2n S <