江苏省太湖高级中学2019~2020学年度第二学期高二数学期中考试含答案

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ʿ/ ӵᮒ᤭ુᮭἿඐ࠽ᮭ 6 ѴὃЩ 61 Ѵὀ
3131/16/31
2/ 复数 (1 + j)2 的虚部是
B/ 3j
C/ −2j
D/ 3
E/ −2
)*
3/ Dx1+3 1 =D21x3−3，则 x 的值为
B/ 1
C/ f
D/ f2
)*
E/
1 f
21/ 若函数 f (x) = 2x3 − 3x2 + 2m，0 < x 1 - 恰有 3 个零点，则 m 的取值范围是
B/ (−5，0)
mx − 5，x > 1 C/ (0，5)
D/
ï
1 2
ã ，5
E/
Å 0，
1 2
ò
̌/ ܻᮒ᤭ુᮭἿඐ࠽ᮭ 6 ѴὃЩ 21 Ѵ/ Уᦒ᤭࠳ॲ 6 ѴὃᦒѴ᤭࠳ॲ 4 Ѵὃమ᤭᩺ᄒॲ 1 Ѵὀ
B/ −16
C/ −18
D/ 22
E/ −9
)*
7/ 已知 D0n − 4D1n + 42D2n − 43D3n + · · · + (−1)n4nDnn = 729- 则 n 的值为
)*
B/ 6
C/ 7
D/ 8
E/ 9
8/
设
Å 3x3
+
1 x
ãn
展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 h + t
= 272，则展开式中的常数项为)
*
B/ 23
C/ 33
D/ 29
E/ 92
9/ 用 6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有 (
同的涂色方法
B/ 291
C/ 351
D/ 411
E/ 591
) 种不
ķ
Ĺ
ĸ
ĺ
⭻㳃㵝
:/ 对任意的 0 < a < b < t，都有 b ln a < a ln b，则 t 的最大值为
a2
C/ a2 + a3 = 100 E/ 当 x = 999 时，(2x + 1)6 除以 3111 的余数是 2
˄/ ‫ܕ‬቏ᮭἿඐ࠽��
B/ 5
C/ 6
D/ 5 或 6
E/ 以上都不是
4/ 若 f (x) = √3 x，则 f (1) 等于
B/ 1
C/
−
1 3
D/ 4
E/
1 3
5/ 4 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有
B/ 6 种
C/ 7 种
D/ 9 种
E/ : 种
)* )* )*
6/ 函数 f (x) = 12x − x3 在区间 [−3，1] 上的最小值是
)*
\

[
23/ 设 (2x + 1)6 = a0 + a1(x &##43; a6(x + 1)6，下列结论正确的是
)*
B/ D/
a0 − a1 + a2···−a5+a6=36 a1，a2，a3， · · · ，a6 中最大的是

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2019学年江苏省高二下期中数学试卷【含答案及解析】

2019学年江苏省高二下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 在复平面内，复数对应的点位于第________象限.2. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为_______.3. 曲线在点处的切线方程为________.4. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为________.7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 05983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74815. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是________.6. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区.从001到300在第 I 营区，从301到495在第 II 营区，从496到600在第 III 营区.则第三个营区被抽中的人数为________.7. 为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数12，则抽取的学生总人数是_______.8. 在如图所示的算法中，输出的的值是_________.9. 甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是________.10. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_______,11. 观察下列等式，根据上述规律， ________,12. 已知函数（为常数），直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.13. 已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是_________.14. 已知函数，若对于任意的为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”.已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是__________.二、解答题15. （1）已知，求实数的值；（2）已知，若是纯虚数，求 .16. 甲、乙两名运动员参加“选拨测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72________ 78乙 78 82 88 82________ 95（1）用茎叶图表示这两组数据；（2 ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由；（3）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的频率.17. 已知函数 .（1）判断在上的单调性；（2）分别取，试比较与的大小；并写出一个一般性结论，并利用（1）的结论加以证明.18. 如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形，设梯形的面积为 .（1 ）设，将表示成的函数关系式并写出其定义域；（2）求梯形面积的最大值.19. 已知，且在和处有极值.（1 ）求实数的值；（2）若，判断在区间内的单调性.20. 给出定义在上的三个函数：，已知在处取最值. （1）确定函数的单调性；（2）求证：当时，恒有成立；（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数，试确定函数的零点个数，并说明理由.21. 已知，试用反证法证明中至少有一个不小于1.22. 函数，若对，求实数的最小值.23. 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取了50名学生的笔试成绩，按成绩分组得到频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拨出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，然后在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率.24. 已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)

6.3 二项式定理（精讲）考法一二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==，令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数，若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。

高中数学选择性必修三 6 2 1 排列及排列数(精练)(含答案)

6.2.1 排列及排列数（精练）【题组一排列数】1（2020·新疆）已知2132n A =，则n =（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B.2．设m ∈N *，且m ＜25，则（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）等于（） A ．726m A - B ．726m C -C ．720m A -D ．626m A -【答案】A【解析】根据题意，（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）()()72626!19!mm A m --==-，故选：A ．3．（2021·江苏常州·高二期末）（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（） A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +-C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A ---【答案】ABD【解析】对于A ，如果个位是0，则有49A 个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有113488A A A ⋅⋅个无重复数字的偶数，所以共有41139488A A A A +⋅⋅个无重复数字的偶数，故A 正确；对于B ，由于13438898A A A A ⋅=-，所以4113414394889498()A A A A A A A A +⋅⋅=+-，故B 正确；对于C ，由于5441099A A A -≠，所以4143541439498109498()()A A A A A A A A A +-≠-+-，故C 错误；对于D ，由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确. 故选：ABD .4．（2020·山东莱州一中）下列等式中，错误的是（）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn n A A n m+=- 【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C, !m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.5．（2020·靖远县第四中学）若532m m A A =，则m 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由532m m A A =，得(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，且5m ≥所以(3)(4)2m m --=即27100,5m m m -+=∴=或2(5m m =≥舍去）. 故选：A6．（2020·海南枫叶国际学校）设*a N ∈，28a <，则等式()()()35282935ma a a a A ---⋅⋅⋅-=中m =______ ．【答案】8 【解析】()()()()3535343336m a A a a a a m -=---⋅⋅⋅--，2836a a m ∴-=--，解得：8m =.故答案为：8.7．（2020·江苏宿迁·高二期中）已知2247n n A A -=，那么n =________.【答案】7【解析】∵2247n n A A -=，∴()()()1745n n n n -⨯--=，5n ≥，化为：()()31070n n --=，解得7n =，故答案为：7.8．（2021·江苏）已知111095mn A =⨯⨯⨯⨯，则mn 为__________.【答案】77【解析】已知(1)(2)(1)11109mn A n n n n m =⨯-⨯-⋯⨯-+=⨯⨯⋯，5⨯，11n ∴=，15n m -+=，7m ∴=，则77mn =.故答案为：77．9．（2021·浙江余姚中学）已知则20!133n A +=，则n =________；计算323n nn A +A =+________.【答案】12 726【解析】(1)()()20!11133,2n A n n n +=+-=≥，即()()213212110n n n n --=-+=，所以12n =；(2)由题可知，323333n n n n n n +≤≥⎧⎧⇒⇒=⎨⎨≤≤⎩⎩，所以3632363654321321726n n n A +A =A +A +=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=故答案为：(1). 12 (2). 72612．（1）解不等式288A 6A x x -<；（2）解方程4321A 140A x x +=.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由288A 6A x x -<，得()()8!8!68!10!x x <⨯--，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12，① 又∴2<x ≤8，②由①②及x ∈N *得x ＝8. （2）因为2143x x +≥⎧⎨≥⎩，，所以x ≥3，*x N ∈，由4321A 140A x x +=得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2).化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得x 1＝3，2234x =(舍去). 所以方程的解为x ＝3. 【题组二排队问题】1．（2020·江西九江一中）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A=⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P==.故选：C.2．（2020·灵丘县豪洋中学）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（）A．12种B．10种C．15种D．9种【答案】A【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23 232132112A A⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A3．（2021·河南））三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A．72种B．108种C．36种D．144种【答案】D【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A种方法，再与另一个男生排列，则有22A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A=种.故选：D．4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A=种，故选：D.5．（2020·湖南永州·高三月考）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（） A ．320种 B ．360种 C ．370种 D ．390种【答案】B【解析】由题意分步进行安排：第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有46A 种排法；第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.故不同的安排方法共有4616543360A ⨯=⨯⨯⨯=种.故选：B.6．（2020·重庆）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法. A ．24 B ．120 C ．240 D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.7．（2021·河南）某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（） A ．120种 B ．156种 C ．188种D ．240种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，故选A. 8．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．9．（2021·甘肃兰州一中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 【答案】60【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)． 10（2020·北京高二期末）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答) 【答案】42【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种，②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.11．（2020·江苏省太湖高级中学）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？【答案】（1）48种；（2）144种.【解析】解：（1）先排教师有22A 种方法，再排学生有44A 种方法，则242422448A A ⋅=⨯=，答：两名教师必须排中间，共有48种排法. （2）24243624144A A ⨯⋅=⨯=，答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法. 12．（2021·防城港市防城中学）5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880. 【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =；（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.13．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（理））一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）【答案】（1）48；（2）36；（3）108.【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法424248A A =；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为233336A A =；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有53253212012108A A A -=-=． 14（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）3男3女共6个同学排成一行．（1）女生都排在一起，有多少种排法？（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？【答案】（1）144；（2）144；（3）24【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有44A 种排法，又3名女生内部有33A 种排法，所以共有44A ⋅33A 144=种排法.（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有33A ⋅34A 144=种排法.（3）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有23A 种排法，又甲、乙有22A 种排法，这样就有23A ⋅22A 种排法，然后把他们4人看成一个整体（相当于一个男生），这一元素以及另1名男生排在首尾，有22A 种排法，最后将余下的女生排在中间，有1种排法，故总排法为23A ⋅222224A A ⋅=种排法，【题组三数字问题】1．（2020·江苏高二期中）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .2．（2021·龙港市第二高级中学）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________. 【答案】72【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有55120A =个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有333336A A ⨯=个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有232312A A ⨯=个；故符合条件的有120123672--=；故答案为：72．3．（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；【答案】18；【解析】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有13333618A A =⨯=种排法.故答案为：18.4．（2020·南开大学附属中学高三月考）由123456、、、、、组成没有重复数字且13、都不与5相邻的六位偶数的个数是________ 【答案】108【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为22323A A ⨯⨯;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为22223A A ⨯⨯;从而所求排列数为222232223233108.A A A A ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=5．（2021·康保衡水一中联合中学）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．【答案】72【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有4424A =种排法，由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472⨯=个.故答案为：72. 6（2020·湖北武汉为明学校）用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个. 【答案】10【解析】解：个位是0，有336A =个；个位不是0，有2224A =个，故共有6410+=个．故答案为：10.7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列. （1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960. 【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A = 2开头的五位数有：4424A = 3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=.8．（2021·黄梅国际育才高级中学高二期中（理））用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．【答案】（1）30；（2）20. 【解析】（1）偶数分为二类：若个位数0，则共有2412A =个；若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有23318⨯⨯=个；所以，符合条件的三位偶数的个数为121830+=；（2）“凹数”分三类：若十位是0，则有2412A =个；若十位是1，则有236A =个；若十位是2，则有222A =个；所以，符合条件的“凹数”的个数为126220++=．。

江苏省太湖高级中学2019-2020学年上学期高一期中考试数学试卷(图片版)

的增函数
分

对任意的 x ∈ R 都有
f (−x) =
3−x+1 − 3 3−x + 1
=
3 − 3x+1 1 + 3x
եस‫ޠ‬Ɩ‫ܯ‬Ƭ͆ġƓ 2019 ∼ 2020 ƓŭʇǉĂƓʿʿġɈਲ
高一数学
ᵢ䈋ভᙱ࠼ ࠼ 㘹䈋ᰬ䰪 ࠼䫕

Ă ˞Պʚ뻭Ǖęʚդ Ňʚ뻟ƲŇʚ œ뻟դʹ œ
设集合 A = {1，2} ，B = {3} ，则 A ∪ B =
$ {3}
已知函数 f (x) = x2 + (x + 1)a + 4，x ∈ R
若方程 f (x) = 0 的两个实根 α，β 满足 0 < α < 1 < β < 3，求实数 a 的取值范围；
若函数 y = (x) 在
1 4
，
1 2
上的最小值为，求实数 a 的值；
若存在 c ∈ [0，1]，使得 f (c) > 0，求实数 a 的取值范围．
解得 0 < a < 1
分
综上所得：实数 a 的取值范围是 [0，1)

f
(x)
=
1 2
·
(2x)2
−
3
· 2x
+
5=1 2·(2x−3)2
+
1 2
因为 0 x 2，所以 1 2x 4（ਥԛᦘ‫）ݹ‬
所以当
2x
=
3
即
x
=
log2
3
时，ymin
=
1 2
；
当
2x
=
1
即

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数的导数是（）()cos 2f x x =A ．B ．C ．D ．2cos 2x 2cos 2x-2sin 2x2sin 2x-D【分析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】令，则.2u x =cos y u =(cos )()(sin )sin .x u x y y u u x u x '''=⋅=⋅=-=-''2222故选：D2．函数f (x )＝ex －ex ，x ∈的单调递增区间是（）R A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D【分析】求得，令，即可求得单调增区间.()f x '()0f x '>【详解】由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故的单调增区间为.()f x ()1,+∞故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.3．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，312++物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（）A ．8种B ．12种C ．15种D ．20种B【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，122C =政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，246C =所以学生不同的选科方案共有种.2612⨯=故选：B4．已知函数f (x )可导，且满足，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导0(3)l (m2i 3)x f f x x ∆→-+∆=∆数为（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以()()()()()3333limlim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆.()32f '=-故选：B.5．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数()2f x x =1x =()e xg x a ==a A BCD．B【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数()2f x x =1x =图象的切线，设出切点即可求解.()e xg x a =【详解】由，得，则，()2f x x =()2f x x'=()12f '=又，所以函数的图象在处的切线为，即.(1)1f =()2f x x =1x =12(1)y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点,21y x =-()e x g x a =00(,)x y 由，可得e ()x g x a '=0000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B.本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，25C 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方254!240C ⨯=案，故选：C.本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最x t =2(),()ln f x x g x x ==,M N MN 小时的值为tA ．1B ．CD 12D【详解】由题，不妨令，则，令2ln MN x x=-(0)x >2()ln h x x x =-1'()2h x x x =-解得时，，当时，，所'()0h x =x x ∈'()0h x <)x ∈+∞'()0h x >以当时，达到最小．即．x =MN t =8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则()f x ()0+∞，()*()k f x y k x =∈N ()0+∞，称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的()f x k 2()ln f x m x x x =+-1m 取值范围是（）A ．B ．C ．D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A【分析】由题知在上为增函数，故令()ln f x mx x x x =+-()0+∞，，进而在上恒成立，()ln ,0mg x x x x x =+->()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥()0+∞，即在上恒成立，再求函数最值即可．2m x x ≤-()0+∞，()2,0y x x x =-∈+∞，【详解】解：因为函数为“阶比增函数”，2()ln f x m x x x =+-1所以函数在上为增函数，()ln f x mx x x x =+-()0+∞，所以令，()ln ,0mg x x x x x =+->故在上恒成立，()2221'10m x x mg x x x x --=-+-=≥()0+∞，所以在上恒成立，2m x x ≤-()0+∞，由于，()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，所以.()2min14m x x ≤-=-故实数的取值范围是m 1,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦故选：A 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（）()y f x =()y f x '=A ．函数在处取得最小值B ．是函数的极值点()y f x =4x =-0x =()y f x =C ．在区间上单调递增D ．在处切线的斜率大于零()y f x =(4,1)-()y f x =1x =ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，(,4)x ∈-∞-()0f x '<(4,)x ∈-+∞，()0f x '≥函数在上单调递减，在上单调递增，且故C 正确；∴()y f x =(,4)-∞-(4,)-+∞易知函数在处取得最小值，故正确；()y f x =4x =-A 在上单调递增，故不是函数的极值点，故B 不正确； (4,)-+∞0x =()y f x =函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D 正确.()y f x =1x =∴故选：ACD ．10．函数的一个零点在区间内，则实数a 的可能取值是（）2()2x f x ax =--(1,2)A ．0B ．1C ．2D ．3BC【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定()22x f x a x =--理可得，从而可得结果.()()120f f <【详解】因为函数在定义域上单调递增，22x y y x ==-、{}0x x ≠所以函数在上单调递增，()22x f x a x =--{}0x x ≠由函数的一个零点在区间内，()22x f x a x =--()1,2得，()()()()12(22)(41)30f f a a a a ⨯=----=-⨯-<解得,0<<3a 故选：BC11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，②个位数为或，然后根024据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，②十位为，③十位为，然后根012据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A 不正确；124444348A A =⨯⨯=对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，0244312A =⨯=②个位数为或，则有种，24A A A =⨯⨯=11123323318所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B 正确；121830+=对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，0244312A =⨯=②十位为，则有种，123326A =⨯=③十位为，则有种,222212A =⨯=所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故C 正确，D 不正确.126220++=故选：BC.12．已知函数有两个互异的极值点，下列32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()1212,x x x x <说话正确的是（）A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．时，在区间上单调递减0a >()f x 12(,)x x D ．时，为极大值，为极小值0a <1()f x 2()f x ABC求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.2()32f x ax bx c '=++()f x ()1212,x x x x <【详解】因为函数，32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠所以，2()32f x ax bx c '=++因为有两个互异的极值点，()f x ()1212,x x x x <所以，故A 正确；()()22212430b ac b ac ∆=-=->所以若有三个零点则，故B 正确；()f x 12()()0f x f x <当时，开口向上，则时，，所以区0a >2()32f x ax bx c '=++12(,)x x x ∈()0f x '<()f x 间上单调递减，故C 正确；12(,)x x 当时，当或时，，当时，，所以为极0a <1x x <2x x >()0f x '<12x x x <<()0f x '>1()f x小值，为极大值，故D 错误；2()f x 故选：ABC本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则________．34m m C C =21889m m m C C C --++=120【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质m 递推关系及组合数公式即可求解11m m m n n nC C C -+=+【详解】由，得，解得.34mmC C=!!!()!!()!m m m m =--33447m =所以.562188988997677910120m m m C C C C C C C C C --++=++==+=故答案为.12014．若函数的极值点为，则__________．()e xf x x =0x x =()0f x =1e -1e--【分析】根据求导公式和运算法则可得，结合极值点的定义求出()e e x xf x x ='+，进而求出即可.01x =-(1)f -【详解】由题意得，，所以，()e x f x x =()e e x x f x x ='+因为是函数的极值点，0x x =()f x 所以，即，0000()e e 0x x f x x '=+=00e (1)0x x +=解得，易得－1是极小值点，所以.01x =-01()(1)e f x f =-=-故答案为.1e-15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为____________．120【分析】根据题意，先排好7个空座位，由于空座位是相同的，形成6个空位是符合条件的，再将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可.【详解】解：10个座位中，除了甲、乙、丙3人的座位，还有7个座位，形成6个空位，所以只需将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可，故有（种）.36654120A =´´=所以每人左右两边都有空位的坐法种数为.120故120四、双空题16．己知函数，若，且，则实数k 的取值范231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m k ==围为_______，设，则t 的取值范围为______________．t n m =- 04k <≤171,12⎤⎥⎦【分析】画出函数图象，由图象得出k 的取值范围，用表示出，结合二次函数的n m 性质求得的取值范围.t n m =-【详解】画出图象如下图所示，()fx 当时，，令，解得1x =(1)3114f =⨯+=()2140x x -=>x =因为，()()f n f m k ==由图象可知，；04k <≤由得，，且()(),n m f n f m >=2311m n+=-223n m -=1n <所以，(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭t，当取得最小值为.2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭n =t212133-⨯+=所以的取值范围是.t 171,12⎤-⎥⎦故；.04k <≤171,12⎤⎥⎦五、解答题17．已知函数．2ln y x x =(1)求这个函数的图象在处的切线方程；1x =(2)若过点的直线l 与这个函数图象相切，求l 的方程．(0,0)(1)；1y x =-(2).1e y x=-【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜()y f x =(1)f '(1)0f =式方程即可求出切线方程；(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切2000(,ln )x x x 线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即10e -=x 可得出结果.【详解】(1)令，则，()y f x =2()ln f x x x =函数的定义域为，，()f x (0,)+∞()2ln f x x x x '=+所以，又，(1)2ln111f '=+=(1)0f =所以函数在处的切线方程为；1x =1y x =-(2)设切点为，2000(,ln )x x x 由(1)知，，0000()2ln f x x x x '=+又直线l 的斜率为，200000ln ln l x x k x x x ==有，解得，0002ln x x x +00ln x x =10e -=x 所以，100ln e l k x x -==-所以直线l 的方程为.1e y x=-18．(1)若，求正整数；33210n n A A =n (2)已知，求.56711710n n nC C C -=8n C (1)8(2)28【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；()()()()221221012n n n n n n --=--（2）利用组合数公式可得，即求.223420n n -+=【详解】(1)由得，33210n n A A =，又，()()()()221221012n n n n n n --=--*3,N n n ≥∈∴，即，()()22152n n -=-8n =∴正整数为8.n (2)由得，56711710n n nC C C -=，()()()!5!!6!7!7!5!6!107!n n n n n n --⨯--=⨯∴即，()()6761660n n n ----=223420n n -+=解得或，又，2n =21n =05n ≤≤∴，2n =∴.88228n C C ==19．新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，x 需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，()C x (万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口()2123C x x x=+()36ln 17e C x x x x =++-罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售()p x x =收入固定成本流动成本)--（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩3e 最大利润为8万元.（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种07x <<7x ≥情况，得到关于的分段函数关系式；()p x x （2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根07x <<()p x 7x ≥据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.x 6x 依题意得，当时，，07x <<()22116254533p x x x x x x =---=-+-当时，，7x ≥()33661712l ln 5n x e e p x x x x x x ⎛⎫=-++--=--⎪⎝⎭∴，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，07x <<()()21673p x x =--+∴当时，的最大值为(万元)，6x =()p x ()67p =当时，，∴，7x ≥()3ln 12x e p x x =--()33221e e xp x x x x -'=-+=∴当时，单调递增，当，单调递减，37x e ≤<()p x 3x e ≥()p x ∴当时，取最大值(万元)，3x e =()p x ()3312ln 18p e e=--=∵，∴当时，取得最大值8万元，87>3x e =()p x 当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.3e 本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.20．设函数．()()1ln 0f x ax x a x=+>（1）当时，求的极值；1a =()f x（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．()f x ax ()0,∞+a （1）有极小值，没有极大值；（2）．()11f =20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数1a =极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.a 试题解析：（1）由已知，当时，，∴，1a =()1ln f x x x x =+()21ln 1f x x x +-'=()312f x x x +'=>'∴在上单调递增，且，()f x '()0,+∞()10f '=，随变化如下表：()f x '()f x x x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x ↘极小值↗∴有极小值，没有极大值． ()f x ()11f =（2）（方法一）由题可得恒成立，()211ln a x x -≤当时，上式恒成立；x e ≥当时，，又，故0x e <<()211ln a x x ≤-0a >()211ln x x a≥-令，则，令，()()21ln h x x x =-()()12ln h x x x =-'()0h x '=x =∴当时，，0x <<()0h x '>x e <<()0h x '<∴，()(max 12eh x he ==-=∴，解得：，∴的取值范围是． 12ea ≥20a e <≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法二）由题可得，设，则，()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->()21ln g x a x x ='-∵，∴在上单调递增，，，0a >()g x '()0,+∞()110g '=-<12110a ag e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭∴使得，则， 101,a x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=2001ln a x x =由知，且时，，时，，0a >01x >00x x <<()0g x '<0x x >()0g x '>∴，∴，∴∴，()()00min 002ln 10ln x g x g x x x -==≥01ln 2x ≥0x ≥2a e ≤∴的取值范围是．a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法三）由题可得恒成立，()21ln 0f x a ax a xx -=+-≥令，则， ()21ln h x a x a x =+-()h x'=∴时，，0x<<()0h x '<x >，∴，()0h x '>()min 20h x a a ==≥∴，解得：，∴的取值范围是． 2ln 1a ≥2a e ≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦21．如图，从左到右共有5个空格.（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？（1）36个；（2）48种；（3）16800种.【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，12C 13C 共有个五位奇数.11323336C C A =（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，共有种涂色方案.43248⨯=（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，37C 在5个位置全排列有种方法；35754200C A =7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，227522C C A 在5个位置全排列有种方法；2257552212600C C A A =所以共有种方法.42001260016800+=22．已知函数．323()22f x x ax b=-+(1)讨论的单调性；()f x (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出,a b ()f x [0,1]1-1a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)当时，)在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在单调递增.0a =()f x (),-∞+∞当时，)在上单调递增，在上单调递减.0a <()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)或0,1a b ==-8,13a b ==【分析】（1）由，得出，求出的两根，比较根的大小并分类讨论，()f x ()'f x ()0f x '=进而求出函数的单调性；()f x （2）利用（1）中的单调区间讨论在上的最值，最终确定参数的值.()f x ()f x []0,1,a b 【详解】(1)由，得.323()22f x x ax b =-+()2()6332f x x ax x x a '=-=-令，即，解得或.()0f x '=()320x x a -=0x =2a x =若，则当时，；0a >(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则在上恒成立，0a =2()60f x x '=≥R 所以在单调递增.()f x (),-∞+∞若，则当时，；0a <(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)满足题设条件的存在.,a b 当时，由（1）知，在单调递增，0a ≤()f x []0,1所以在区间的最小值为，最大值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 1b =-3212a b -+=0,1a b ==-当即时，由（1）知，在单调递减，12a≥2a ≥()f x []0,1所以在区间的最大值为，最小值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 3212a b -+=-1b =8,13a b ==(ii)当即时，由（1）知，012a<<02a <<)在上单调递减，在上单调递增.()f x 0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，取得极小值即为的最小值，2ax =()f x ()f x 3233()222228a a a a f a b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为或.()f x ()0f b =()3122f a b =-+若，，则矛盾.318a b -+=-1b =a =02a <<若，则或，与矛盾318a b -+=-3212a b -+=a =a =-0a =02a <<综上，当或时，在区间的最小值为且最大值为.0,1a b ==-8,13a b ==()f x [0,1]1-1。

2020年江苏省太湖高级中学高二期中复习资料(试卷)

20. 设 f (x) = kx − k − 2 ln x ，若在点 (2 ， f (2)) 的切线 l 与直线 4x + y − 2 = 0 垂直． x
(1) 求切线 l 的方程； (2) 求函数 g(x) = f (x) + 4 的极值．
x
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2020年江苏省太湖高级中学教学资料
高二下学期期中复习资料
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江苏省太湖高级中学 2019 ∼ 2020 学年度第二学期高二期中复习
第 1 部分导数
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 设函数 y = f (x) 在 R 上可导，其导函数为 y = f ′(x) ，且函数 y = f (x) 在 x = −2 处取得极小值，则函数 y = x f ′(x) 的
x
x
的取值范围是
Ç
ô
Ç
å
()
A. −∞ ， 2
B. −∞ ， 2
C. (−∞ ，0)
D. (−∞ ，0]
e
e
10. 若关于 x 的函数 y = mx2m−n 的导数为 y′ = 4x3 ，则 m + n 的值为
()
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
11. 若函数 y = ex + ax ，x ∈ R 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是
å
B. 1 ， 2
Ç √å C. 1 ， e
Ç√
å
D. e ， 2

江苏省太湖高级中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷

江苏省太湖高级中学201—2019学年度第二学期期中考试试卷高一数学2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°2．已知点A(1，B(﹣1，，则直线AB 的倾斜角是A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝B ＝6π，则角A 为A ．4πB ．3πC ．34πD ．4π或34π 4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．5．在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：1：4，则a ：b ：c 等于A ．1：1B ．2：2C ．1：1：2D ．1：1：46．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为A B ．43π C ．3π D7．在△ABC 中，若cosC ＝，b cosA ＋a cosB ＝3，则△ABC 外接圆的半径为A ．B ．C ．4D ．68．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．15 B ．25 C ．35 D ．459．已知M(1，2)，N(4，3)，直线l 过点P(2，﹣1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k的取值范围是A．[﹣3，2] B．(-∞，﹣3][2，+∞)C．[13-，12] D．(-∞，13-][12，+∞)10．已知两条直线m、n与两个平面α、β，有下列四个命题：①若m∥n，n∥α，则m ∥α；②若α∥β，m∥n，且m⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中，正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，若(a﹣b)(sinA＋sinB)＝(c﹣b)sinC，a b2＋c2的取值范围是A．(3，6) B．(3，5) C．(5，6] D．[5，6]12．在△ABC中，若cos2C2＝54a cosA﹣14c cosB＋12，且b＝2，则边a的最小值为A．5B．5C．9625D．11225二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）13．若直线l1：ax＋(1﹣a)y＝3与l2：(a﹣1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a的值为．14．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．15．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC BC＝1，E、F分别为AB、PC 的中点，则三棱锥B—EFC的体积为．16．在△ABC中，若b＝6，ac cosB＝a2﹣b2，O为△ABC内一点，且满足OA+ OB OC0+=，∠BAO＝30°，则OA＝．第8题第15题三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）已知在平面直角坐标xOy 中，A(8，﹣6)，B(2，2)．（1）求线段AB 的中垂线方程；（2）求过点P(﹣2，1)且与直线AB 平行的直线l 的方程．18．（本题满分10分）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N ．（1）求证：BC ⊥平面VCD ；（2）求证：AD ∥MN ．19．（本题满分12分）在△ABC 中，若A ＝4，a 2﹣c 2＝12b 2．（1）求sinC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求边长a ．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）求证：EF ∥平面PCD ．21．（本题满分12分）某学校的平面示意图为如下五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD＝∠CDE＝23π，∠BAE＝3π，DE＝3BC＝3CD＝3 km．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．22．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将△ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：（1）在线段AB上是否存在一点K，使得BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE．。

江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷(含答案)

江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。

1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。

江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中数学试卷及解析

江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题5名同学中的3人，每人1张，则不同的分法有（） A.120种B.60种C.20种D.10种2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB 与1C B 所成的角为（）A.6π B.3π C.2π D.23π 3.已知函数()sin 2f x x =，则的导函数（）A.cos2xB.cos2x -C.2cos2xD.2cos2x -4.5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（） A.144 B.72C.36D.125.已知(x 2+1x )n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4 的系数( )A. 5B. 40C. 20D. 106.若函数()22f x x ax x +＝ln ﹣在区间()1,2内单调递增，则实数a 的取值范围是（） A. 3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.31,82⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（） A.32π B.3π C.5π D.4π8.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 唯一极值点，则实数k 的取值范围是（） A.(,]e -∞B.(,)e -∞C.(,)e -+∞D.[,)e第II 卷（非选择题）二、填空题9.计算778C C C ++的值为___________.10.二项式(1)n x +的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n 的值为___________. 11.已知定义在R 上的可导函数f （x ）满足：f （1）＝1，f ′（x ）+f （x ）＜0，则不等式f （x ）≥e 1﹣x 的解集为________．三、解答题.(结果用数字作答) （1）A ，B ，C 三人必须入选有多少种不同的选法？（2）A ，B ，C 三人只有一人入选有多少种不同的选法？（3）A ，B ，C 三人至多二人入选有多少种不同的选法？13.已知三次函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣6x +b ，a ，b ∈R ，f （0）＝1，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为﹣6. （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在区间[﹣2，4]上的最值.14.已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，AD =120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.15.如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC =BC ．(Ⅰ)求证：AM⊥平面EBC ；(Ⅱ)求二面角A −EB −C 的大小．16.已知2020220200122020()(1)f x x a a x a x a x =-=++++.（1）求1232020a a a a ++++的值；（2）求1232020232020a a a a ++++的值；（3）求12320201111a a a a ++++的值.17.已知函数2()ln ,01f x x m x m x=++<<. （1）若()f x 在43x =时取得极值，求实数m 的值；（2）求()fx 的单调区间；（3）证明：()f x >.四、新添加的题型18.若1717C C =，则正整数x 的值是（）A.1B.4C.6D.819.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（） A.()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B.单调递增区间为(),e -∞ C.()f x 的极大值为1eD.方程()1f x =-有两个不同的解20.将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是（） A.11114323C C C CB.2343C AC.3143A CD.21342322C C A A ⋅21.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论中正确的有（）A.11DC D P ⊥B.1APD ∠的最大值为90°C.1AP PD +D.1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围是23⎣⎦22.棱长为1的正四面体ABCD 内有一个内切球O ，M 为CD 中点，N 为BM 中点，连接AN 交球O 于P ，Q 两点，则球O 的表面积为___________，PQ 的长为___________.参考答案1.B【解析】1.先从5人选3人，再给这3个人分配门票即可得到不同的分法.先从5人选3人，再给这3个人分配门票，故不同分法有335360C A =，故选：B. 2.B【解析】2.连接1AD ，11B D ，得出11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角，即可求解. 如图，连接1AD ，11B D ，因为11//AB D C 且11AB D C =，所以11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，所以11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角，因为11AB D 为等边三角形，所以113B AD π∠=.故选：B 3.C【解析】3.试题根据正弦函数的导数公式及复合函数的求导法则可得：令sin ,2y u u x ==，则()(cos )22cos 2u x f x y u u x =⨯=''='⋅，故选C.4.B【解析】4.利用插空法，先对除甲､乙两人的其他3人排列，然后甲､乙两人去插4个空即可解：先对除甲､乙两人的其他3人排列，有33A 种，3个人排列后有4个空，然后甲､乙两人从这4 个空中选2个空排列即可，所以共有3234324372A A ⋅=⨯⨯⨯=种方法，故选：B 5.D【解析】5.试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在(x 2+1x)n中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到(x 2+1x )5∴T r+1=C 5r x10−3r ∴10−3r =4,r =2∴二项展开式中x 4的系数C 52=10，故选D.6.D【解析】6.求出函数的导数，将问题转化为2112a x x ≥-在()1,2x ∈恒成立，令211()2g x x x=-，求出()g x 的最小值，从而可求得a 的取值范围．由函数()22f x lnx ax x +-＝可得()122f x ax x'=+-，若()f x 在区间()1,2内单调递增，则()0f x '≥在x ∈()1,2恒成立，即2112a x x≥-在x ∈()1,2恒成立，令2211111()1,222g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1()(1),2g x g <= 故12a ≥，即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 7.D【解析】7.设内接圆柱的底面半径为x ，根据题中条件，得到内接圆柱的高42h x =-，由圆柱的侧面积公式，表示出侧面积，进而可求出结果.圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为x ，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=，因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =；所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D. 8.A【解析】8.由题意知()'f x 有唯一的变号零点，等价于()0f x '=有唯一实数根1x =，对()'f x 因式分解可得1()x x e k f x x x ⎛⎫--= ⎝'⎪⎭，转化为0x e k x -=无实根，也即y k =与()x eg x x =两个函数图象没有交点，利用导数研究()xe g x x=，即可求出实数k 的取值范.()()2211()111x x xx xe e ek x e f x k x x k x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭，因为1x =是函数()f x 唯一极值点，所以()0f x '=有唯一实数根1x =，所以0x e k x -=无实根，也即y k =与()xe g x x=两个函数图象没有交点，()()221xx x e x e x e g x x x--'==，所以()x e g x x =在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()11eg x g e ≥==，所以k e ≤，故选：A 9.126【解析】9.利用组合数的性质计算即可解：3458954577889!98761265!4!4321C C C C C C ⨯⨯⨯===+⨯+==⨯⨯⨯+，故答案为：126 10.10【解析】10.利用二项式系数的最值，直接计算结果.由二项式的形式可知，每一项的系数和二项式系数相等，所以第6项的二项式系数是5n C ，所以52n=，得10n =. 故答案为：10 11.（﹣∞，1]【解析】11.根据条件构造函数g （x ）＝e x f （x ），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式问题转化为函数单调性问题进行求解即可．解：不等式f （x ）≥e 1﹣x ，等价为e x f （x ）≥e ，设g （x ）＝e x f （x ），则函数的导数g ′（x ）＝e x （f （x ）+f ′（x ））， ∵f （x ）+f ′（x ）＜0，∴g ′（x ）＜0，即函数g （x ）在定义域上为减函数， ∵g （1）＝ef （1）＝e ，∴e x f （x ）≥e 等价为g （x ）≥g （1），则1x ≤，即不等式f （x ）≥e 1﹣x （e 为自然对数的底数）的解集是（﹣∞，1]，故答案为：（﹣∞，1].12.（1）36种；（2）378种；（3）756种.【解析】12.（1）相当于从剩下的9人选2人的方法种数；（2）先选1人，再从剩下的9人选4人的方法种数；（3）利用间接法计算结果. 从12人中选出5人去参加一项活动.（1）A ，B ，C 三人必须入选，再从剩余的9人里选2人，共有2936C =种不同的选法；（2）先从A ，B ，C 三人选一人，再从剩余的9人里选4人，共有1439378C C =种不同的选法；（3）先从12人中选5人，再减去A ，B ，C 都入选的情况，所以A ，B ，C 三人至多二人入选有59212756C C -=种不同选法.13.（1）()323612f x x x x =--+；（2）最大值为17，最小值为﹣9.【解析】13.（1）先求函数的导数，进而根据(1)6f '=-求出a 的值，然后根据f （0）＝1，求出b 的值即可求出函数的解析式；（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间[﹣2，4]上的最值.（1）2()326f x x ax +'=-，由导数的几何意义，(1)6f '=-，32a ∴=-， ∵f （0）＝1，∴b ＝1，323()612f x x x x ∴=--+.（2）2()3363(1)(2)f x x x x x ==+'---，令()0f x '=得121,2x x =-=，当[2,1)x ∈--时，()0f x '>，f （x ）单调递增；当(1,2)x ∈-时，()0f x '<，f （x ）单调递减；当x ∈（2，4]时，()0f x '>，f （x ）单调递增， ∴函数f （x ）在x ＝﹣1取得极大值为9(1)2f -=，在x ＝2时取得极小值为f （2）＝﹣9，9(2)1(2),(4)172f f f -=->=>， ()f x ∴在区间[2,4]-上的最大值为17，最小值为﹣9.14.（1）见解析（2）7【解析】14.（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.解：（1）连接DE ，在DCE 中，由余弦定理得： 22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒=在ABC 中，AE =则有222AE DE AD +=，所以AE ED ⊥，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC E ⋂=，所以AE ⊥平面BCD ，（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，在Rt CDF 中，sin60DF CD =︒，在Rt ADF 中，AF =AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：tan 7DF DAF AF ∠===. 15.(Ⅰ) 见解析.(Ⅱ) 60°.【解析】15.分析：由题意，以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ．则：(Ⅰ)由空间向量的运算法则可得：AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，据此可得AM ⊥平面EBC ；(Ⅱ)由题意可得平面EAB 的一个法向量为n⃑⃑ =(1,−1,0)，平面EBC 的一个法向量为AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,1)，据此计算可得：二面角A −EB −C 的大小为60°. 详解：∵四边形是正方形，，∵平面平面，平面， ∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，∵是正方形的对角线的交点，．(Ⅰ)，，，，平面．(Ⅱ)设平面的法向量为，则且，且．即取，则，则．又∵为平面的一个法向量，且，，设二面角的平面角为θ，则，．∴二面角等于．16.（1）1-；（2）0；（3）10101011.【解析】16.（1）利用赋值法，令1x =和0x =，求系数和；（2）求函数的导数，再令1x =，求()1f '；（3）用组合数公式表示2020(1)(02020)kk k a C k =-，再代入组合数公式，变形化简，得20201kC =1202120212021112022k k C C +⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. （1）0(0)1f a ==，0122020(1)0f a a a a ==++++，所以1232020(1)(0)1a a a a f f ++++=-=-；（2）2019220191232020()2020(1)232020f x x a a x a x a x '=--=++++，所以1232020232020(1)0a a a a f '++++==；（3）因为2020(1)(02020)k kk a C k =-，所以12320201232020202020202020202011111111a a a a C C C C ++++=-+-++因为20201!(2020)!2021!(2020)!(20211)2020!20222021!k k k k k k k C ---++==⋅1202120212021(2021)!![2021(1)]!(1)!20211120222021!2022k k k k k k C C +⎛⎫-+-++=⋅=⋅-+ ⎪⎝⎭所以原式12233420202021202120212021202120212021202120212021111111112022C C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2021120212021202111101020221011C C ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦所以12320201111a a a a ++++的值为10101011. 17.（1）16m =；（2）单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】17.(1)求出原函数的导函数，由题意得403f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，求得m 值，代入原函数，验证() f x 在43x =时取得极小值即可; (2)求出原函数的导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,再由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性;(3)由(2)可得原函数的最小值，利用基本不等式证明最小值大于()f x >.解：（1）由题意得222()x mx f x x +-'=，因为()f x 在43x =时取得极值，所以403f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解得16m =，当16m =时，22212(23)(34)6()6x x x x f x x x +-+-'==，因为0x >，所以230x +>，所以当40,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递减；当4,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以()f x 在43x =时取得极小值，综上16m =；（2）因为222()x mx f x x +-'=，由()0f x '=，解得10(01)x m =<<<舍去，)00||x m m =>>，所以在()00,x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()00,x 单调递减；在()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()0,x +∞单调递增，所以()f x的单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，()f x的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （3）法一：由222(),01x mx f x m x+-'=<<，则(1)10,02f m f ''=-<=>，由（2）知，存在唯一的0(1x ∈，使得()00f x '=，即20020x mx +-=，002m x x =- ()min 000000000222()ln ln f x f x x m x x x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭设22()ln ,g x x x x x x x ⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭，22()1ln 0,g x x x x ⎛⎫'=--<∈ ⎪⎝⎭所以()g x g >=所以()f x >（3）法二：因为0x ==又01m <<，所以01x <<0ln 0x >. 又由（2）()min 00002()ln f x f x x m x x ==++，所以002()f x x x >+>18.AC【解析】18.由组合数的性质，直接计算结果.由组合数的性质可知21x x =-或2117x x +-=，解得：1x =或6x =. 故选：AC 19.AC【解析】19.对()f x 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项A ；利用导数分析函数()f x 的单调性，极值可判断选项B ，C ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项D ．解：因为()ln xf x x=，所以函数的定义域为()0,∞+ 所以()21ln xf x x-'=，()11f '=，()10f =， ∴()f x 的图象在点()1,0处的切线方程为()()011y f x '-=-，即()111y x x =⋅-=-，故A 正确；在()0,e 上，()0f x '>，()f x 单调递增，在()e,+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减，故B 错误，()f x 的极大值也是最大值为()ln e 1e e ef ==，故C 正确；方程()ln 1xf x x==-的解的个数，即为ln x x =-的解的个数，即为函数ln y x =与y x =-图象交点的个数，作出函数ln y x =与y x =-图象如图所示：由图象可知方程()1f x =-只有一个解，故D 错误. 故选：AC . 20.BD【解析】20.将4个不同的小球分成3组，进行全排即可求解. 首先从4个不同的小球分成3组，3组的球数为2,1,1，即24C 或224222C C A ，再将3组小球放入标有1､2､3号的盒子中，有33A 种，所以共有2343C A 或21342322C C A A ⋅. 故选：BD 21.ACD【解析】21.证明1DC ⊥平面11A BCD ，即可得出11DC D P ⊥；当112A P =时，求出11,,AP D P AD 的长度，再由余弦定理得出1cos 0APD ∠<，从而判断B 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，可知线段1AD 即为1AP PD +的最小值，再由余弦定理求出最小值；由11B C ⊥平面11A B BA 得出1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，结合直角三角形的边角关系得出1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围. 连接1CD ，如下图所示对于A 项，由于11A D ⊥平面11CDD C ，则111A D DC ⊥，由1DC ⊥1CD ，结合线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面11A BCD ，又1D P ⊂平面11A BCD ，所以11DC D P ⊥ 对于B 项，当112A P =时，AP ==12D P ==，1AD =1APD △中，1552cos 0APD +--∠=<，则1APD ∠可以为钝角，则B 错误；对于C 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，如下图所示则线段1AD 即为1AP PD +的最小值在11D A A △中，11135D A A ︒∠=由余弦定理得1AD ==，即1AP PD +的最小值为对于D 项，由于11B C ⊥平面11A B BA ，且111B C B P ⊥，则1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，则1111sin B PC C P ∠=，因为12C P ≤≤，所以116sin 23B PC ∠，即1C P 与平面11A B BA所成角正弦值的取值范围是,23⎣⎦故选：ACD22.6π【解析】22.取AB 的中点为S ，连接MS 、AM ，设T 为BCD △的中心，连接AT ，则MS 与AT 的交点为球心O 且AT ⊥平面BCD .利用解直角三角形可求球的半径和球心到到直线AN 的距离，故可求PQ 的长度.取AB的中点为S，连接MS、AM，设T为BCD△的中心，连接AT，则MS与AT 的交点为球心O且AT⊥平面BCD.正四面体中，因为棱长为1，M为CD的中点，故2BM AM==.在等腰三角形ABM中，因为S为底边AB的中点，故2SM==，所以1tan BMS∠==，故11tan tan332212OT TM BMS BM BMS=∠=∠=⨯=，故球O的表面积为246ππ⨯=⎝⎭.而AT==AO==，在直角三角形ANT中，12NT BM TM=-==，故4AN====所以sin334NAT∠==，故O到直线AN的距离OG=，故PQ===，故答案为：6π.。

江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题【含解析】

江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（）{1,2}A ={3}=B A B = A. B. C. D.{2}{1,2,3}{1,2,2,3}{(1,2,3)}【答案】B 【解析】【分析】对集合取并集即可.,A B 【详解】∵集合,,∴.{1,2}A ={3}=B A B = {1,2,3}故选:B.【点睛】本题考查了集合的并集,属于基础题.2.函数）()f x =A. B. C. D.(0,)+∞(,)-∞+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】由二次根式的含义可知,,求解即可.210x -≥【详解】由题意,,解得.210x -≥12x ≥即函数.()f x =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选:C.【点睛】本题考查函数的定义域,注意偶次方根被开方数大于等于0,属于基础题.3.若是偶函数，则的增区间是（）2()(2)(1)3f x a x a x =-+-+()f xA. B. C. D.(0,)+∞(,0)-∞(,)-∞+∞1,2a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质,可知对任意,恒成立,即可求出的值,然后求出函数x ∈R ()()f x f x -=a 的增区间即可.()f x 【详解】∵函数是定义在的偶函数,∴恒成立,()f x R ()()f x f x -=即,22(2)()(1)3(2)(1)3a x a x a x a x ----+=-+-+则,对任意恒成立,故.2(1)0a x -=x ∈R 1a =则,2()3f x x =-+由二次函数的性质可知,的单调递增区间是.()f x (,0)-∞故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数的单调性,属于基础题.4.函数是定义在上的奇函数，若时，，则（）()f x R 0x >()1f x x =+(2)f -=A. 3 B. -1C. 1D. -3【答案】D 【解析】【分析】由解析式,先求出,再由是奇函数,可得.(2)f ()f x (2)(2)f f -=-【详解】由题意,,(2)213f =+=∵函数是定义在上的奇函数,∴.()f x R (2)(2)3f f -=-=-故选:D.【点睛】本题考查求函数值,考查奇函数的性质,属于基础题.5.已知函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（()2()1mf x m m x =--(0,)+∞m ）A. 2 B. -1 C. -1或2 D. -2【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的概念,可得,求出的值,并验证是否在上为增函数即可.211m m --=m ()f x (0,)+∞【详解】∵函数是幂函数,∴,解得或.()2()1mf x m m x =--211m m --=2m =1m =-若,则,函数在上为增函数,符合题意;2m =2()f x x =()f x (0,)+∞若,则,函数在上为减函数,不符合题意,舍去.1m =-1()f x x =()f x (0,)+∞故实数的值是2.m 故选:A.【点睛】本题考查幂函数概念的应用,考查函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.6.设，，，则，，的大小关系是（）0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12log 3b =13πc =a b c A. B. C. D.a b c<<a c b<<b a c<<b c a<<【答案】C 【解析】【分析】结合指数函数与对数函数的性质,判断三个数与0,1的大小关系,即可得出结论.,,a b c 【详解】由题意,,即,0.2110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01a <<,即,1122log 3log 10<=0b <,即.103π1π>=1c >故.b a c <<故选:C.【点睛】本题考查比较几个数的大小关系,考查指数函数与对数函数的单调性的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.7.不等式的解集为A ，集合，若，则2log (1)1x -<{|10,}B x mx x =-=∈R A B B = 的取值范围是（）m A. B. C.D.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(){}1,30 {}1,103⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,然后分和两种情况讨论集合,结合,可求出答案.A 0m =0m ≠B B A ⊆【详解】∵,∴,解得,22log (1)1log 2x -<=012x <-<13x <<故集合.{|13}A x x =<<若,显然不成立,即集合为空集,符合;0m =10-=B A B B = 若,则,0m ≠1{|,}B x x x m ==∈R ∵,∴,A B B = B A ⊆∴,解得.113m <<113m <<综上,的取值范围是.m {}1,103⎛⎫⎪⎝⎭ 故选:D.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查子集的性质,考查学生的计算求解能力,属于基础题.8.函数的图象必经过定点（）()log (1)a f x x =+A. B. C. D. (1,2)-(0,0)(1,0)(0,2)【答案】B 【解析】【分析】由对数函数恒过,令,可求得函数图象所过定点.()1,011x +=【详解】令,得,则,即函数的图象必经过定点11x +=0x =(0)log (01)0a f =+=()f x .(0,0)故选:B.【点睛】本题考查函数图象恒过定点问题,考查对数函数图象性质的应用,属于基础题.9.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）()22()log 4f x x ax a =-+[)2,+∞a A. B. C. D. (2,4]-(4,)+∞(,4]-∞[2,4)-【答案】A 【解析】【分析】结合复合函数的单调性,可知在上单调递增,且的最小值大于24y x ax a =-+[)2,+∞()h x 0,列出不等式,求解即可.【详解】令,2()4h x x ax a =-+函数在上单调递增,()22()log 4f x x ax a =-+[)2,+∞由复合函数的单调性可知,在上单调递增,且的最小值大于0.()h x [)2,+∞()h x 故,解得.22(2)4240ah a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+>⎩24a -<≤故选:A.【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用,考查二次函数与对数函数的性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.10.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是（ ,1()(41)4,1x a x f x a x a x ⎧≥=⎨-+<⎩(,)-∞+∞a ）A. B. C. D. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭11,74⎛⎫ ⎪⎝⎭11,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数是上的减函数,则,解得.()f x (,)-∞+∞101410414a a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪≤-+⎩1174a ≤<故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题.11.设一元二次方程的两个实根为，，则的最小值为（210mx m -++=1x 2x 2212x x +）A. B. C. 1 D. 4178-154【答案】C 【解析】【分析】由一元二次方程有两个实根,可知且,可求出的取值范围,然后结合韦达定理可0m ≠0∆≥m 得到的表达式,结合的取值范围可求出答案.2212x x +m 【详解】∵一元二次方程有两个实根,210mx m -++=∴,解得且.(()2410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩21m -≤≤0m ≠又,12x x +=121m x x m +⋅=则()2221212122x x x x x x +=+-⋅212m m +-⨯=2822m m =--令,因为且,所以或,1t m =21m -≤≤0m ≠12t ≤-1t ≥则,221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭+当时,取得最小值.12t =-2212x x +2111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.12.已知函数，若存在实数，，，当时，21,02()1,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩a b c 03a b c ≤<<≤，设，则的取值范围是（）()()()f a f b f c ==()()a b b f c λ=+⋅⋅λA. B. C. D. 3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,42⎛⎫⎪⎝⎭3,42⎛⎤ ⎥⎝⎦3,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意,作出函数的图象,结合及的大小关系,可用来表示,()()()f a f b f c ==,,a b c b λ求出范围即可.【详解】作出函数的图象,如下图,()f x 当时,的图象关于对称,02x ≤≤()f x 1x =当时,单调递减,.23x <≤()f x 1()12f x ≤<令,解得,令,解得.11x -=2x =112x -=32x =若存在实数,,,当时,,则且,a b c 03a b c ≤<<≤()()()f a f b f c ==2a b +=322b ≤<,即,1()12f c ≤<211()()2()2()2(1)2(22a b b f c b f c b f b b b b λ=+⋅⋅=⋅=⋅=-=--因为,所以,即.322b ≤<23112()4222b ≤--<342λ≤<故选:A.【点睛】本题考查函数图象的应用,考查分段函数的性质,利用数形结合,观察图象的变化,得出变量的取值范围是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数的图象过点，则______．()y f x =(()9f =【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.()yf x =()9f 【详解】设，由于图象过点,()ay f x x ==(，12,2a a ==，()12y f x x∴==，故答案为3.()12993f ∴==【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.设方程的解（其中），则_________.310xx =-0(,1)x k k ∈+Z k ∈k =【答案】1【解析】【分析】构造函数,求出的零点所在区间,可求出的值.()310xf x x =+-()f x k 【详解】令函数,显然函数是上的增函数,()310xf x x =+-()f x R 因为,,且,1(1)311060f =+-=-<2(2)321010f =+-=>(1)(2)0f f ⋅<所以函数的零点在区间上.()f x ()1,2故,.0(1,2)x ∈1k =故答案为:1.【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.15.设是上的偶函数，且满足，当时，，()f x R (2)()f x f x +=-01x ≤≤()32xf x =-则__________.(2018.5)f =【答案】2【解析】【分析】根据条件,可得是周期为4的函数,进而可得,再由()f x (2018.5)(2.5)f f =可得,进而求出可得出答案.(2)()f x f x +=-(2.5)(0.5)f f =-(0.5)f 【详解】∵,∴,(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=故是周期为4的函数.()f x 则,(2018.5)(2.5)f f =因为,所以,(2)()f x f x +=-(2.5)(0.5)f f =-当时,,01x ≤≤()32xf x =-故.0.5(2018.5)(0.5)(32)2f f =-=--=故答案为：2-【点睛】本题考查函数的周期性,考查学生的推理能力与计算能力,属于基础题.16.已知函数，若方程有两个不同的解，则实数的取值31log ,0()13,0x x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩()0f x a -=a 范围是__________.【答案】[0,1)【解析】【分析】方程有两个不同的解可转化为,函数的图象与直线有两个交点,作出()0f x a -=()f x y a =图形,可得出答案.【详解】由题意,可知函数的图象与直线有两个交点,()f x y a =作出函数的图象,如下图,()f x 当时,函数单调递减,值域为;0x >()f x R 当时,函数单调递减,值域为.0x ≤()f x [)0,1由图象可知,当时,的图象与直线有两个交点.01a ≤<()f x y a =故答案为:.[0,1)【点睛】本题考查函数图象的应用,将方程的解转化为函数图象的交点问题是解题的关键,考查了学生的推理能力,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）化简：；()1132012180.5log 8327π--⎛⎫⎛⎫---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知集合，，若，求，的值.{,,5}A a b ={}25,,2B b a =A B =a b 【答案】（1）－2；（2），或，.0a =1b =14a =12b =【解析】【分析】（1）结合指数幂及对数的运算律,化简计算即可;（2）由集合,可知或,分别讨论即可求出答案.A B =22a a b b =⎧⎨=⎩22a bb a ⎧=⎨=⎩【详解】（1）()1132012180.5log 8327π--⎛⎫⎛⎫---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()234133=---⨯--.3232=--+=-（2）集合,则或,A B =22a a b b =⎧⎨=⎩22a bb a ⎧=⎨=⎩①若,解得或,22a a b b =⎧⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩当时,显然不符合集合的互异性,舍去;0a b ==当时,集合,符合题意.0,1a b =={0,1,5}A B ==②若,解得或,22a b b a ⎧=⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当时,不符合题意,舍去;0a b ==当,时,,符合题意.14a =12b =11{,,5}42A B ==综上,或,.0,1a b ==14a =12b =【点睛】本题考查指数式与对数式的化简计算,考查了相同集合的性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.18.已知集合，{}2|540A x x x =-+<，.{}2|60B x x x =+-≥{|12}C x m x m =-<<+（1）求集合；A B （2）若，求实数的取值集合.C A ⊆m 【答案】（1）；（2）{}|24x x A B =≤< {}0|m m ≤【解析】【分析】（1）求出集合,取交集即可;,A B （2）由,分和两种情况分别讨论,可求出答案.C A ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1）由题意,,{}{}2|540|14A x x x x x =-+<=<<{}2|60B x x x =+-≥或.{|3x x =≤-}2x ≥则.{}|24x x A B =≤< （2）,,,{}|14A x x =<<{|12}C x m x m =-<<+C A ⊆若,则,即,符合题意,C =∅12m m -≥+12m ≤-若,则,解得.C ≠∅121124m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩102m -<≤综上,实数的取值范围是.m 0m ≤故实数的取值集合是.m {}0|m m ≤【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查了集合的交集,考查了集合间的包含关系的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.19.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生x ()G x 2.81产成本为万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足1=+()R x ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；()y f x ==-（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】（1）（2）当工厂生产百台时，可使赢()f x 20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩4利最大为万元．3.6【解析】【分析】(1)先求出，再根据求解；（2）先求出分段函数每一段()()G x R x ，()()()f x R x G x =-的最大值，再比较即得解.【详解】解：（1）由题意得．() 2.8G x x=+，()()20.4 4.20511(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩()()()f x R x G x ∴=-()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x xx ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当时，5x >函数递减，()f x （万元）．()()5 3.2f x f ∴<=当时，函数，05x ≤≤()()20.44 3.6f x x =--+当时，有最大值为（万元）．4x =()f x 3.6所以当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．4 3.6【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；()2()lg 21f x ax ax =++R a （2）设，求函数的最大值与最小值.02x ≤≤12()4325x x f x -=-⋅+【答案】（1）；（2）最小值，最大值.[0,1)1252【解析】【分析】（1）由函数的定义域为,可得恒成立,分和两种情况讨论即R 2210ax ax ++>0a =0a ≠可;（2）令,,可得,可化为,结合二次函2x t =02x ≤≤2[1,4]x t =∈()f x 21()352g t t t =-+数的单调性,求最值即可.【详解】（1）因为函数的定义域为,∴恒成立.R 2210ax ax ++>当时,显然成立.0a =当时,应有且,解得.0a ≠0a >2440a a ∆=-<01a <<故的取值范围为.a [0,1)（2）令,,则,2x t =02x ≤≤2[1,4]x t =∈函数可化为,()f x 21()352g t t t =-+对称轴为,3t =[1,4]t ∈所以函数在上单调递减,在上单调递增,()g t []1,3(]3,4,.11(3)933522g =⨯-⨯+=15(1)3522g =-+=即有,时,函数取得最小值；3t =2log 3x =12当,时,函数取得最大值.1t =0x =52【点睛】本题考查函数的定义域,考查不等式恒成立问题,考查指数函数与二次函数单调性的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.21.已知函数，.2()(1)4f x x x a =+++R a ∈（1）若方程的两个实根，满足，求的取值范围；()0f x =αβ013αβ<<<<a （2）若函数在上的最小值为1，求a 的值；()2log y f x =11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若存在，使得，求a 的取值范围.[0,1]c ∈()0f c >【答案】（1）；（2）；（3）13542a -<<-7a =4a >-【解析】【分析】（1）由二次函数的性质,及两实根满足,可得,求解即可;013αβ<<<<(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩（2）令,由,可得,则函数在上的最小值为2log t x =11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1t ∈--()f t []2,1t ∈--1,讨论的单调性,并求出最小值,即可求出a 的值;()f t （3）由存在,使得,可得函数在的最大值大于0,则或[0,1]c ∈()0f c >()f x [0,1](0)0f >,求解即可.(1)0f >【详解】（1）因为的图象是开口向上的抛物线,且方程有两个实根,满足()f x ()0f x =αβ,013αβ<<<<所以,即,解得.(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩402504130a a a +>⎧⎪+<⎨⎪+>⎩13542a -<<-（2）令,时,,2log t x =11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1t ∈--则函数在上的最小值为1,2()(1)4f t t t a =+++[]2,1t ∈--二次函数开口向上,对称轴为,2()4f t t at a =+++2ax =-若,即,在上单调递增,最小值为22a-≤-4a ≥()f t []2,1--,解得,成立;()()222241f a a --=-++=7a =若,即,在上单调递减,最小值为,显然12a-≥-2a ≤()f t []2,1--(1)141f a a -=-++=无解,不成立;当,即,的最小值为，解212a -<-<-24a <<()f t 2+(+141)222a a f a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭得或,都不满足,舍去.6a =2a =-24a <<综上,.7a =（3）因为存在,使得,所以函数在的最大值大于0,[0,1]c ∈()0f c >()f x [0,1]根据二次函数的性质,在的最大值为或,()f x [0,1](0)f (1)f 故或,即或,解得.(0)0f >(1)0f >40a +>250a +>4a >-【点睛】本题考查了二次函数单调性与最值的应用,考查二次函数的零点分布,考查了对数函数的单调性的应用,考查学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.22.已知函数.133()31x xf x +-=+（1）判断函数的单调性并用定义法证明；()f x （2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；t ()()2240f t t f t k -++>k （3）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.x ()()()9143x x g x f m f =++-⋅m 【答案】（1）是上的增函数，证明见解析；（2）；（3）.()f x R 2k >3m ≤【解析】【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为,然后结()()224f t t f t k ->--合函数的单调性可得恒成立,结合二次函数的性质可求出实数的取值范围;224t t t k ->--k （3）函数有零点,可得有解,结合函数的单调性和奇偶性()g x ()()91430x x f m f ++-⋅=可得方程有解,参变分离得,求出的取值9143x x m +=-+⋅9431x x m =-+⋅-9431x x-+⋅-范围即可.【详解】（1）由题意,,且的定义域为,1336()33131x x xf x +-==-++()f x R 任取,且,12,R x x ∈12x x <则,()()()()()122121121163366333131x x x x xx f x f x -++-=-=++∵,且,∴,,,12,R x x ∈12x x <12033x x <<12330x x -<()()2131310x x ++>故,()()12f x f x <所以函数是上的增函数.()f x R （2）由题意,,113333()()3113x x x xf x f x -++----===-++又的定义域为,所以函数是上的奇函数.()f x R ()f x R ∴不等式可化为,()()2240f t t f t k -++>()()()2224f t t f t k f t k ->-+=--即恒成立,()()224f t t f t k ->--∵函数是上的增函数,∴,()f x R 224t t t k ->--即对于任意的实数,恒成立,t 2240t t k -+>则,解得.()2480k ∆=--<2k >（3）函数有零点,则有解,()()()9143x x g x f m f =++-⋅()()91430x x f m f ++-⋅=∵函数是上的奇函数,()f x R ∴有解,()()()9143143x x x f m f f +=--⋅=-+⋅∵函数是上的增函数,()f x R ∴,即有解,9143x x m +=-+⋅9431x xm =-+⋅-令,则,,3xa =0a >241m a a =-+-令,则在上单调递增,在上单调递减,()2()410h a a a a =-+->()h a ()0,2[)2,+∞故的最大值为,的值域为.()h a 224213-+⨯-=()h a (],3-∞所以,当时,方程有解,即函数有零3m ≤241m a a =-+-()()()9143x x g x f m f =++-⋅点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.。

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