不可约多项式外文文献加翻译
盲签名、群签名及共同不可约多项式
摘要盲签名和群签名的概念是由Ｃｈａｕｍ首次提出的．由于盲签名和群签名能分别为用户和签名者提供很好的匿名性，所以它们在电子货币和电子投票等实用系统中都有着广泛的应用．本文首先介绍了盲签名和群签名的研究及应用现状，然后分别详细介绍作者在盲签名和群签名领域所做的工作．除此之外，本文还讨论了两个不同数域上的共同不可约多项式的性质．盲签名要求签名者在不知道消息内容的情况下对消息进行签名，即使以后签名者得到一个消息签名对，他也不能确定这个消息的来源．本文不仅对已提出的盲签名方案进行概述，指出其优缺点，而且还分析丁分别由Ｌｉｅｔａｌ和Ｈｅｅｔａｌ针对两种不同的盲签名提出的两种关联方法，并证明他们的方法无效．另外，本文还提出了一个新的基于椭圆曲线的盲签名方案．群签名允许群成员代表整个群体进行签名．而且，一旦发生争议，群管理人熊够识别出签名者．本文不仅对已提出的群签名方案进行概述，指出其优缺点，而且还分析了现有的群签名方案中所存在的一些问题，并指出其研究方向．此外，我们还分析了分别由Ｐｏｓｅｓｃｕ和王晓明等提出的两个群签名方案，并分别给出了一种通用攻击方法，所以这两个方案仍然是不安全的．由不可约多项式构造的有限域有着很好的性质，可以用来设计更加安全高效的密码系统，从而不可约多项式的研究对现代密码学的发展有着重要的意义．在本文中，我们首次提出了在不同数域上寻找共同不可约多项式的问题，并证明其不一定存在．而且，我们还给出了一种从割圆多项式中寻找共同不可约多项式方法．此外，文中还给出了一些命题．在附录里，我们还给出了一个特殊的乘法群中所有元素阶的分布．关键词公钥密码学，椭圆曲线，数字签名，盲签名，群签名，不关联性，通用攻击，不可约多项式，割圆多项式ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｂｌｉｎｄｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅａｎｄｇｒｏｕｐｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅａｒｅｆｉｒｓｔｌｙｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙＣｈａｕｍ．Ｂｏｔｈａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｍａｎｙｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｓｕｃｈａｓｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｃａｓｈａｎｄｖｏｔｉｎｇ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ６ｒｓｔｓｕｒｖｅｙｓｔｈｅａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓｉｎｔｈｅｓｅｔｗｏｆｉｅｌｄｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ、ａｎｄｔｈｅｎｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅＯｌｌｒｗｏｒｋｏｎｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅａｎｄｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｉｎｄｅｔａｉｌｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅａｌｓｏｆｌＪｓｃｕｓ８ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｔｔｈｅｃｏｍｍｏｎｈｒｒｅ（１ｕｃｌＤｉｅｐｏｌｖｎｏｍｍｉｓｏｖｅｒｔｗｏａｍｅｒｅｎｔｎｎｌｌ—ｆｉｅｌｄｓ．ＢｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｒｅｑｕｉｒｅｔｈａｔａｓｉｇｎｅｒｂｅａｂｌｅｔｏｓｉｇｎａｍｅｓｓａｇｅｗｉｔｈｏｕｔｋｎｏｗｉｎｇｉｔｓＣＯｎ－ｔｅｎｔｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｓｈｏｕｌｄｔｈｅｓｉｇｎｅｒｅｖｅｒｓｅｅｔｈｅｍｅｓｓａｇｅ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅｐａｉｒ，ｈｅｓｈｏｕｌｄｎｏｔｂｅａｂｌｅｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｗｈｅｎｏｒｆｏｒｗｈｏｍｈｅｓｉｇｎｅｄｉｔ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｇｉｖｅａｂｒｏａｄｏｖｅｒｖｉｅｗｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ．ＷｅａｌｓｏａｎａｌｙｚｅｔｗｏｌｉｎｋｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｉｅｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙＬｉｅｔａｌａｎｄＨｅｅｔａｌｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｂｏｔｈａｔｔａｃｋｓａｒｅｉｎｖａｌｉｄ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅａｌｓｏｇｉｖｅａｎｅｗｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｃｈｅｍｅｂａｓｅｄｏｎｅｌｌｉｐｔｉｃｃｕｒｖｅ，ｗｈｉｃｈｃａｎｐｒｏｔｅｃｔｕｓｅｒｕｎｔｒａｃｅａｂｌｅ．Ｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｃｈｅｍｅｓａｌｌｏｗａｇｒｏｕｐｍｅｍｂｅｒｔｏａｎｏｎｙｍｏｕｓｌｙ８ｉｇｎｏｎｇｒｏｕｐ’ｓｂｅｈａｌｆ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｉｎｃａｓｅｏｆａｎｏｎｙｍｉｔｙＩｎｉｓｌｉＢｅ，ａｇｒｏｕｐｍａｎａｇｅｒｃａｎｒｅｃｏｖｅｒｔｈｅｉｓｓｕｅｒｏｆａｓｉｇｎａｔｕｒｅ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｇｉｖｅｓａｂｒｏａｄｏｖｅｒｖｉｅｗｏｆｔｈｅｐｍｐｅａｅｄｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ．Ｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｉｓｆｉｅｌｄａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｄｓｅｖｅｒａｌｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓａｒｅｐｏｉｎｔｅｄｏｕｔａ８ｗｅｌｌ．Ｗｅａｌｓｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｅｃｕｒｉｔｙｏｆｔｗｏｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｒｅｃｅｎｔｌｙｐｒｏｐｏｓｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ蚵ＰｏｓｅｓｃｕａｎｄＷａｎｇｅｔａ１．．ａｎｄｓｈｏｗｔｈａｔｂｏｔｈｓ（＿ｈｅｍｅｓａｒｅｕｎｉｖｅｒｓａｌｌｙｆｏｒｇｅａｂｌｅ．Ｆｉｎｉｔｅｆｉｅｌｄｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｈａｖｅｇｏｏｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｔｈａｔｃａｎｂｅａｐ－ｐｌｉｅｄｔｏｄｅｓｉｇｎｍｏｒｅｓｅｃｕｒｅａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｆｉｒｓｔｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｆｉｎｄｉｎｇｔｈｅｃｏｍｍｏｎｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｏｖｅｒｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｉｎｉｔｅｆｉｅｌｄｓａｎｄｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｃｏｍｍｏｎｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｄｏｎｏｔａｌｗａｙｓｅｘｉｓｔ，Ａｍｅｔｈｏｄｔｏｆｉｎｄｔｈｅｃｏｉｎｉｎｏｉｌｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｆｒｏｍｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｄｓｏｍｅｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｉｎｔｈｅａｐｐｅｎｄｉ】（，ｗｅａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎａｓｐｅｃｉａｌｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｐｕｂｌｉｃｋｅｙｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｕｒｖｅ，ｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｕｎｌｉｎｋａｂｉｌｉｔｙ，ｕｎｉｖｅｒａａｌｆｏｒｇｅｒｙ，ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌＩＩ致谢非常感谢陈鲁生教授．本文从选题到定稿自始至终得到了陈老师悉心严格的指导，使我对密码学这个广阔的学术领域有了更加透彻的认识．在南开大学求学的近７年中，我深深地感受到了陈老师渊博的知识，严谨的作风，谦逊的为人和广阔的胸怀．在此，谨向陈老师在这几年来对我的指导和教诲表示衷心的感谢．感ｉ捌＇ｔｔｌ！！：ｔｔｔ教授和符方伟教授．两位老师均给予我耐心的指导和帮助，他们敏锐的学术洞察力以及博大糟深的知识让我受益匪浅．感谢数学院各位授课老师，他们严谨的治学作风和一丝不苟的工作精神很值得我学习．感谢党委刘艳霞老师以及学院办公室的各位老师，感谢他们在工作上对我的关心和支持．作者还要感谢数学学院信息论方向的所有同学．尤其要感谢廖嘉，符景云，张青坡，王立鹏，尚越，张勇．感谢他们在我南开求学的７年里给予我的诸多关怀和帮助．感谢室友李艳婷和曲艳萍同学，与她们同窗三年的朝夕相处，将是我一生美好的回忆．深深感谢含辛茹苦养育我的父母．母亲几次重病期问，总是对我隐瞒病情。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
【国家自然科学基金】_不可约多项式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词 负循环码 生成多项式 整数环 对偶码 剩余类域 不可约多项式 不可约分解
推荐指数 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 立方运算 相对优集 电路设计 本原幂等元 有限域 广义特征子空间 常循环码 多项式方程组 准扭码 优集 优化 主不可分解模 不可约分解算法 tate配对 hensel提升 galois环 casimir元素
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 符号模式 模乘 极小惯量任意 本原 有限域 扩频通信 惯量任意 序列密码 密码学 多项式时间算法 剩余算术 不可约多项式 不可约
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 有限域 平方性 多项式 二次扩张 二次多项式 迹映射 正规基 整数环 仿射多项式 不可约多项式 不可约 三项式
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年 科研热词 椭圆曲线 根式塔 循环次数 多项式 双线性对计算 双线性对 判别式 分裂域 3次本原单位根 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 科研热词 重因式的重数 重因式 线性多项式 平面映射 多项式 判别法 互素 不可约多项式 不可约 一元多项式 weil和 d算子 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
不同域上的不可约多项式
不同域上的不可约多项式不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。
所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
有限域上的不可约多项式与其分布
承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论有限域是计算机科学与数字通讯领域最基本的数学工具之一,也是现代代数学的重要分支之一。
在初等数论里面，我们已经知道，对于每个素数p ，都存在p 元有限域。
更进一步，利用简单的域的扩张理论，我们能确定出全部有限域，并且得出，对于任意奇素数的方幂q 和任意正整数n ，都存在着n q 个元素的有限域。
近五十年来，由于它在组合，编码，密码，通信等学科的广泛应用，而逐步形成富有特色的代数学核心课程。
有限域的理论最早可追溯到费尔马（FERMAT 1601-1665）和欧拉（EULER 1707-1783），他们为一些特别的有限域结构，如素数域，作出了重要的贡献。
有限域的一般理论主要从高斯（GAUSS 1777-1855）和伽罗瓦（GALOIS 1811-1832）的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。
例如，有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算有重要的影响。
我们用()GF q 表示含有q 个元素的有限域，q 为素数p 的方幂。
我们知道，不可约多项式在多项式中的地位相当于素数在整数中的地位。
类似整数的分解唯一性，()[]GF q x 中多项式()f x 在()GF q 上的分解也是唯一确定的。
除了多项式的次数，刻画有限域上的多项式的另一个重要参数是多项式的周期。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为 偶数)，则有： 1）当n4时，若n1mod3,k2mod3,或n2mod3而 k1mod3时，f(x)有因子x2+x+1，即f(x)可约。 2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约： i)n是偶数，k是奇数，n2k,而nk/20mod4或 1mod4 ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n3mod8 iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n1mod8
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约 多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的 多项式，不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量 就很大。
有限域上的不可约多项式最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表次数小的在前面大的在后次数相等的按某种规定排列先后排在最前面的多项式就是不可约的把它圈出来剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的重复这一过程即可但当n适当大时工作量就很大
有理数域上一类不可约多项式的简单推广
有理数域上一类不可约多项式的简单推广黎智【摘要】若a1,a2,…,an是n-1个不同的整数,证明了当n≥4时,f(x)=(x-a1)(x--n2)...(x-an)-1在有理数域Q上不可约;当n≥3时,f(x)=(x-a1)2(x-a2)2 (x)an)2+1在有理数域Q上不可约.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】3页(P23-25)【关键词】有理数域;多项式;不可约;系数;次数【作者】黎智【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O156有理系数多项式、整系数多项式是数论研究的重要类容，研究数域上的不可约多项式就好比研究整数中的素数一样重要．在代数中已经证明如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．也就是说，在Z上不可约的整系数多项式，在Q上也不可约．因此，关于有理数域上多项式的可约性问题，可以简化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题．而判别一个整系数多项式是否可约，常常是困难的．在这方面比较著名的方法有以下几类:Ⅰ通过多项式的系数和某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein判别法及其推广形式［1－2］．Ⅱ通过比较多项式系数的大小来判别不可约，如Perron判别法及其改进形式［3－4］．Ⅲ通过计算f( x)在Z上的取值来判别不可约，如命题1．命题1［3］设f( x)是n次整系数多项式，S( f) ={…，，…}，Ni表示S( f)中1的个数，Np表示S( f)中素数的个数，如果Np+2N1－4＞n，则f( x)在Q上不可约．Ⅳ通过辅助多项式根的取值来判别不可约，如命题2．命题2［3］设a1，a2，…，an是彼此不相同的整数，则1) f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2) f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．定理及其证明如下:命题2实则是Schur本世纪初提出的两个简单问题，已经得到了证明，此处在此基础上做了一个简单的推广，主要结果是:定理1设a1，a2，…，an是n－1个不同的整数，则1)当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2)当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．证明1)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)2( x－a2)…( x－an－1)－1．若f( x)在Q上可约，可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式; 1≤°( fi( x) )＜n( i= 1，2)，其中，( f( x) )表示f( x)的次数，由于f( ai) =－1，i= 1，2，…，n，故f1( ai) =±1，f2( ai) =1，i= 1，2，…，n，即f1( ai) +f2( ai) = 0，i= 1，2，…，n．若f1( x) +f2( x)的次数小于n－1，则f1( x) +f2( x) = 0，即f1( x) =－f2( x)，f( x) =－( x)，因为f( x)的最高项系数是1，此不可能．故f1( x) +f2( x)的次数只能等于n－1．不妨令( f1( x) ) = n－1，则( f2( x) ) = 1，此不可能．因为根据文献［5］引理1的证明可知，当n≥4时，即n－1≥3，对于任何整数x'，要么( x'－a1)2( x'－a2)…( x'－an－1) = 0，要么式，与( f2( x) ) =1矛盾．综上，当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约．2)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)4( x－a2)2…( x－an－1)2+1．显然f( x)没有实根，若f( x)在Q上可约，类似1)可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式，1≤( fi( x) )＜n( i=1，2)．因为对任意实数，f( x)＞0，不妨设对所有实数f1( x)＞0，f2( x)＞0，由于f( ai) = 1，i=1，2，…，n，故f1( ai) = f2( ai) = 1，i=1，2，…，n．若fi( x) ( i= 1，2)的次数小于n－1，则fi( x)≡1( i=1，2)，与所设不和，故只可能是以下两种情形:，所以f( x')≠0，因此f( x)没有一次有理因或者当n≥3时，对于式( 1)，可令其中a，b，p，q为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较左右两端系数得即化简得( x－a1)2+1=0，此不可能．对于式( 2)，类似式( 1)，可令其中c，d，m，n为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较等式左右两边系数得即解得x=a1，与xai矛盾．综上所述，当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．在上述定理中，若把f( x)换成f( x) = k－1，k＞0，结论显然也是成立的．【相关文献】［1］王萼芳，石生明．高等代数［M］．3版．北京:高等教育出版社，2007［2］赵敦，罗彦峰，雷鹏．Eisenstein判别法的一个推广［J］．高等理科教育，2005( 6) : 38-39［3］柯召，孙琦．数论讲义(下)［M］．北京:高等教育出版社，1987［4］王瑞．判定Q上多项式不可约的一种方法［J］．数学研究与评论，2002，22( 4) : 679-684 ［5］张卫，史滋福．有理数域上的一类不可约多项式［J］．湖南理工学院学报:自然科学版，2008，21( 1) : 5-7。
不可约多项式的和仍是不可约多项式
不可约多项式的和仍是不可约多项式不可约多项式的和仍然是不可约多项式，这是多项式理论中的一个重要性质。
在这篇文章中，我们将解释什么是不可约多项式，为什么它们的和仍然是不可约的，并提供一些具体的示例来说明这个结论。
首先，我们需要明确什么是多项式和什么是不可约多项式。
一个多项式是由常数项、一次项、二次项等有限项的代数和构成的数学表达式。
每个项由一个系数乘以一个变量的幂次。
例如，多项式P(x)=2x^3-3x+1就是一个多项式，其中2、-3和1是系数，x^3、x和1是项，3、1和0是幂次。
不可约多项式是指不能再被其他多项式整除的多项式。
换句话说，如果一个多项式P(x)不可以被另一个多项式Q(x)整除，那么P(x)就是一个不可约多项式。
例如，多项式P(x)=x^2-3x+2是不可约的，因为它不能被任何其他一次或更低次数的多项式整除。
现在我们来证明不可约多项式的和仍然是不可约的。
假设P(x)和Q(x)是两个不可约多项式，我们要证明它们的和P(x)+Q(x)仍然是不可约的。
为了证明这个结论，我们使用反证法。
假设P(x)+Q(x)是可约的，则存在一个多项式R(x)使得P(x)+Q(x)=R(x)，其中R(x)不是常数。
由于P(x)和Q(x)是不可约的，我们可以假设R(x)的次数大于等于P(x)和Q(x)的次数，即deg(R) ≥ deg(P)、deg(R) ≥ deg(Q)。
然后，我们可以将P(x)和Q(x)表示为如下形式：P(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x) = b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0。
其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是P(x)的系数，b_m、b_{m-1}、...、b_1、b_0是Q(x)的系数。
根据多项式的加法，我们有P(x)+Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0+b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0=R(x)。
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不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译
= irreducible polynomial
Let f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni.
f (x) =f_l (x) 1・・・f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分
解
式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式.
In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n.
设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。
From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp.
由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式.
As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields.
这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
Irreducible Polynomial of Integral Coefficient
关于整系数不可约多项式
a prime polynomial
This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field.
直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解
Q “不可约多项式”译为未确定词的双语例句
We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r (x) and denote this by nWC_(k, r(x))・ So we give another definition：C_k二{UC_(k, r(x)) |r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}・
本文引入n是k阶摸r (x)的Carmichael数的定义，全体这样的数记为集c_(k, r) (x),由此给出k 阶Carmichael 数集:C_k= {UC_(k, r) (x) |r(x)i± 全体Z_n上的首一k次不可约多项式｝o
The Irreducible Polynomials over Finite Fields
有限域上的不可约多项式
In chap ter 1> we suppose n is a compos-ite, Zn is residue class ring mod n, r (x) WZ_n[x] is a monic irreducible polynomialof degree k(k > 0).
在第一章中，设n是一个合数，Zn表示模n的剩余类环,r(x) W Z_n[x]是一个首一的k次(k > 0)不可约多项式.
We give a construetion of perfect nonlinew mappings using generalized bent functions and irreducible polynomials over the finite field Z p.
在分组密码中，为了抗差分攻击，需要完美非线性映射•利用有限域Zp上的广义Bent函数和不可约多项式，给出了完美非线性映射的一类构造•
To simplify reduction modulo, special polynomials are used to generate finite field GF(2m), such as AOP (all one polynomials) and trinomials.
为了简化模不可约多项式f(x)运算，采用特殊多项式
AOP (allonepo 1 ynomia 1 s)和三项式，产生有限域GF(2m)。