奥数只是讲解第十五讲 最短路线问题

在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。

比如：邮递员送信,要穿遍所有的街道,为了少走冤枉路,需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线,以求能够走最近的路而达到目的地,等等。这样的问题,就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题

例[1] 假如直线AB 是一条公路,公路两旁有甲乙两个村子,如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站,让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？

分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近,只要由甲村向公

路AB 画一条垂直线,交AB 于C 点,那么C 点是甲村到公路AB 最近

甲乙

乙图1

图

2

的点,但是乙村到C 点就较远了。

反过来,由乙村向公路AB 画垂线,交AB 于D 点,那么D 点是乙村到公路AB 最近的点。但是这时甲村到公路AB 的D 点又远了。 因为本题要求我们在公路AB 上取的建站点,能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短）,根据我们的经验：两个地点之间走直线最近,所以,只要在甲村乙村间连一条直线,这条直线与公路AB 交点P,就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解 用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧,所以这条连线必与公路AB 有一个交点,设这个交点为P,那么在P 点建立汽车站,就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示,图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？

分析 选择最短的路线最合理。那么,什么路线最短呢？一笔画

路线应该是最短的。邮递员从邮局出发,还要回到邮局,按一笔画问题

,

3

就是从偶点出发,回到偶点。因此,要能一笔把路线画出来,必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点,显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发,仍回到邮局,必须使8个奇点都变成偶点,就是要考虑应在哪些街道上重复走,也就是相当于在图上添哪些线段,能使奇点变成偶点。如果有不同的添法,就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。

为使8个奇点变成偶点,我们可以用图4的4种方法走重复的路

图4中添虚线的地方,就是重复走的路线。重复走的路程分别为： （a ）

3×4=12（千米） （b ） 3×2＋2×2=10（千米） （c ） 2×4=8（千米） （d ） 3×2＋4×2=14（千米）

3

3

3

3

( a )

( b )

( c )

( d

图4

当然,重复走的路程最短,总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。

解 邮递员应按图4（c ）所示的路线走,这条路重复的路程最短,所以最合理。全程为：

（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4 =20＋18＋8 =46（千米）

例[3] 图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南,因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？

分析 为了叙述的方便,我们在各交叉点标上字母（见图6）。

学校

小明家

A

B F E

F D E

F

我们从小明家出发,顺序往前推。由于从小明家到A 、B 、C 、D 各处都是沿直线行走,所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E 处,就有先到A 或先到D 的两种走法,正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F 点,则有3条路线,又正好是两个对角上标的数1+2的和。

标在各交叉点的数,就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出,每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和,正好等于下右角上的数。

解 从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。

图7

学校

H M

N

K