第十章图论及LTI电路的矩阵法介绍
t参数矩阵等效电路
t参数矩阵等效电路
在电路理论中，T参数矩阵（也称为互阻矩阵）是一种描述线性电路中元件之间相互作用的方法。
T参数矩阵可以用来表示等效电路，它提供了一种简单而有效的方式来分析和设计复杂的电路系统。
T参数矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示电路中各个元件之间的相互作用。
通常，T参数矩阵的大小与电路中元件的数量相关。
对于一个具有n个端口的电路，T参数矩阵的大小将是n×n。
T参数矩阵的元素可以通过实验或者仿真来确定。
一旦确定了T 参数矩阵，就可以使用它来分析电路的性能。
例如，可以使用T参数矩阵来计算电路的传输特性、反射特性以及功率传输等。
在等效电路中，T参数矩阵可以用来简化复杂的电路系统。
通过将电路中的各个元件替换为等效电路，可以大大简化电路的分析和设计过程。
这种等效电路的构建基于T参数矩阵的性质和特点，可以有效地减少计算的复杂性。
需要注意的是，T参数矩阵的使用有一些前提条件。
首先，电
路必须是线性的，这意味着电路中的元件必须满足线性关系。
其次，T参数矩阵的使用假设电路中的元件是稳定的，即其参数不随时间
变化。
最后，T参数矩阵的应用范围通常局限在高频电路和微波电
路中，对于低频电路可能不适用。
综上所述，T参数矩阵是一种用于描述电路中元件相互作用的
方法，可以用来表示等效电路并简化电路的分析和设计过程。
它在
高频电路和微波电路中有广泛的应用，并且通过实验或者仿真可以
确定其元素的值。
《LTI系统描述》课件
成本与可扩展性
在设计和实现LTI系统时，需要考 虑成本和可扩展性，以满足不同 规模和复杂度的应用需求。
06
LTI系统的扩展与优化
非线性系统的线性化处理
幂级数法
通过将非线性函数展开为幂级数形式，将非 线性系统转化为线性系统进行处理。
同频率下的行为。
频域分析常用的工具是频率响 应函数和频率特性曲线。
时域分析
时域分析是通过直接求解系统微分方程或差分方 程来分析系统在时间域内的行为。
时域分析可以提供系统输出随时间变化的详细信 息，包括超调和欠调、上升时间和峰值时间等。
时域分析常用的工具是阶跃响应和脉冲响应。
稳定性分析
稳定性分析是评估系统在受到扰动后能否恢复 平衡状态的过程。
LTI系统可以用差分方程或传递函数来 描述，具有数学表达式的形式。
特性
线性性
LTI系统的输出与输入成正比，即输入信号 的倍数等于输出信号的倍数。
因果性
LTI系统的输出只与过去的输入有关，与未 来的输入无关。
时不变性
LTI系统的特性不随时间变化，即系统在不 同时刻的响应具有一致性。
稳定性
LTI系统在输入信号消失后，系统能够逐渐 恢复稳定状态。
状态反馈系统设计的主要缺点是需要 更多的传感器和计算资源，且对于非 线性系统的适用性可能有限。
05
LTI系统的实现与仿真
数字实现与模拟实现
数字实现
使用数字信号处理（DSP）技术，通过 编程语言（如C或MATLAB）和数字信 号处理器（DSP）或通用微处理器来实 现LTI系统。数字实现具有精度高、稳定 性好、易于实现复杂算法等优点。
矩阵电路原理和检查
矩阵电路原理和检查本文旨在介绍矩阵电路原理和检查，包括以下七个方面：电路基本原理、矩阵电路组成、矩阵电路分析、矩阵电路工作状态、矩阵电路元件参数测量、矩阵电路调试和矩阵电路故障排除。
1. 电路基本原理矩阵电路是一种由电阻、电容、晶体管等元器件组成的电路，具有特定的输入和输出关系。
矩阵电路的基本原理是信号在电路中的传输和处理。
在矩阵电路中，输入信号通过电路中的元器件进行传输，经过电路的逻辑处理后，最终得到输出信号。
2. 矩阵电路组成矩阵电路主要由电阻、电容、晶体管等元器件组成。
电阻器是一种具有一定阻值的元件，用于控制电流的大小；电容器是一种储能元件，用于储存电荷；晶体管是一种电流控制元件，具有放大信号的作用。
在矩阵电路中，这些元器件按照一定的连接方式组成了特定的电路结构。
3. 矩阵电路分析矩阵电路的分析方法包括逻辑关系和计算方法。
逻辑关系是指电路中输入和输出信号之间的对应关系；计算方法是指通过对电路中的电阻、电容等元器件进行计算，得出输出信号的一种方法。
在分析矩阵电路时，需要注意信号的传输路径以及各个元器件的作用和相互关系。
4. 矩阵电路工作状态矩阵电路的工作状态包括直流工作点和交流工作点。
直流工作点是指电路在直流电流下的工作状态，也称为静态工作点；交流工作点是指电路在交流信号作用下的工作状态。
在矩阵电路中，需要根据不同的工作状态来设置各个元器件的参数，以保证电路的正常工作。
5. 矩阵电路元件参数测量对于矩阵电路中的各个元器件，需要使用相应的测量工具进行参数测量。
万用表是一种常用的测量工具，可以测量电阻、电压、电流等参数；示波器是一种用于测量波形信号的仪器，可以测量信号的幅度、频率等参数。
在测量过程中，需要注意正确的操作方法和读数精度，以保证测量结果的准确性。
6. 矩阵电路调试调试矩阵电路的方法包括硬件调试和软件调试。
硬件调试是指通过调整电路中的元器件参数，使电路达到最佳的工作状态；软件调试是指通过修改程序代码，使电路的功能更加完善。
电路方程的矩阵形式
(10-5-3)
MZM T Im = MUS − MZIS 式(10-5-4)就是矩阵形式的网孔方程（mesh equation）。令
(10-5-4)
Zm = MZM T
(10-5-5)
Z m 称为网孔阻抗矩阵（mesh impedance matrix）。令
USm = MUS − MZIS
(10-5-6)
支路电压和电流。节点分析法是目前在计算机辅助分析和设计中应用最广泛的一
种方法。
例题 10.4.2 用节点分析法求例题 10.3.1 电路中的各节点电压、各支路电压
电流和各元件电流。
解
(1) 按支路编号及电流参考方向，画出有向图，如(b)所示。 (2) 选节点④为参考节点，根据有向图写出关联矩阵
⎡1 1 0
1 R5 +1
R6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡U n1 ⎢⎢U n2 ⎢⎣U n3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡0
⎢ ⎢
0
⎢⎣IS6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
−
⎢⎡− ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
U S1 R1 0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢⎢⎡URS11
⎢ ⎢
0
⎢
⎢ ⎢⎣
IS6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
1 R4
1 R5
1⎤
R6
⎥ ⎦
支路电压源列向量
[ US = US1 0 0 0 0 0]T
支路电流源列向量
IS = [0 0 0 0 0 ] − IS6 T
(4)
⎡1
⎢ ⎢
R1
+
1 R2
+
用LT法分析电路S域模型教学课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
例：一台机床中的二阶定位系统可用下面的微分方程描述 y(2) (t) 5 y(1) (t) 6 y(t) x(t)
其中x(t)和y(t)是机床控制的位置和得到的位置。对t 0求 解y(t), x(t) u(t),初始条件是y(0 ) 2, y(1) (0 ) 12。
解：由于x(t) u(t) LT 1。利用时域微分定理和 s
第31页
(f)共轭极点在左半平面
j
h(t)
j1
a 0
0
t
j1
H
(s)
(s
1
a)2
12
h(t) eat sin 1tu(t)
第32页
(g)共轭极点在右半平面
j
h(t)
j1
0
a
0
t
j1
H
(s)
(s
1
a)2
12
h(t) eat sin 1tu(t)
第33页
二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
(2)vL
(t )
L
diL (t) dt
(3)vC
(t )
1 C
t
iC ( )d
第5页
s域模型一：
(1)VR (s) RI R (s)
(2)VL (s) L[sI L (s) iL (0 )]
sLI L (s) LiL (0 )
(3)VC (s)
1[ 1 sC
IC
(s)
vC
(0 )]
线性定理，得到方程的拉普拉斯变换为 s2Y (s) sy(0 ) y(1) (0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) X (s) 把输入信号的拉氏变换和初始条件代入上式并合并， 得到
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
图论讲稿
选址问题--重心问题
图论讲稿
3．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征 定义 连通且不含圈的无向图称为树．常用T表示.
树中的边称为树枝. 树中度为1的顶点称为树叶. 孤立顶点称为平凡树.
平凡树
图论讲稿
定理2 设G是具有n个顶点的图，则下述命题等价： 1) G是树（ G无圈且连通）； 2) G无圈，且有n-1条边； 3) G连通，且有n-1条边； 4) G无圈，但添加任一条新边恰好产生一个圈; 5) G连通，且删去一条边就不连通了（即G为最
1)
是非空有限集，称为顶点集，
其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素对 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示.
用 也用 来表示边
表示图，简记
图论讲稿
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的 所有图都称为非平凡图.
图论讲稿
定义若图G中的边均为有序偶对
,称G为有向
图. 称边
为有向边或弧,称
是从
连接 ，称 为e的弧尾，称 为e的弧头.
若图G中的边均为无序偶对 ，称G为无向图.称
边
为无向边，称e连接 和 ，顶点 和 称
为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
1) 置
，对 ，
，
且.
2) 对每个 ，用
代替 ，计算
，并把达到这个最小值的
一个顶点记为 ，置
3) 若
，则停止；若
替i，并转2).
，则用 i+1 代
LTI工具箱函数介绍
函数名：filt()
功能描述：生成DSP形式的离散传递函数： 例子：生成采样时间为0.5的DSP形式传递函数：
代码如下： 1. H=filt([2 1],[1 0.4 2],0.5)
复制代码 这里注意一下每项前面的系数与tf函数的小区别就可以了
函数名：dss
功能描述：生成系统的状态空间模型 这个函数比较简单，现在来生成一个连续系统的状态空间模型
这里专门介绍一个 函数：这个函数比较牛：可以计算返回LTI 模型的输入和输入的维数，tf，ss和zpk模型的阶次，用法还是把你建立 的模型塞进去就好了。下面说明他的几个用法。
size()
size(sys,1):意思是返回系统sys的输出维数 size(sys.2) :意思是返回系统sys的输入维数 size(sys,k+2):意思是当系统为LTI模型数列时，返回第k个模型的维
我们知道，算子s只是一个形式，也可以换成其他的字母，哪一天你看s 不爽想换成字母p，该怎么做呢，很简单，只需要改变传递函数的一个 属性就可以了: 生成传递函数模型G=（2p+1）/(p^2+2p+2); 1. G=tf([2 1],[1 2 2],'variable','p') ; %注意，这里将属 性'variable'改成了p，默认的时候是s 复制代码 再来，如果我们希望给刚才定义传递函数加一个0.25单位的输入延迟， 让函数变成这样 G=exp(-0.25s)（2s+1）/(s^2+2s+2)，该怎么做呢，简单，还是修改模型 的属性，代码如下： 1. G= tf([2 1],[1 2 2],'inputdelay','0.25'); 2. %注意，这里修改了属性inputdelay的值，该值默认时为 0。 复制代码 现在考虑离散的情况 定义传递函数： G=（z^2+3z+2）/(z^3+5z^2+7z+3)，采样周期为0.1 代码入下： 1. G=tf([1 3 2],[1 5 7 3],0.1); 复制代码 最后我要特别说明的一点是：函数tf不能用于定义中间变量带有延迟的 传递函数（非纯延迟），比如这样的形式G=1/s+exp(-0.25s)/(2s+1); 如果你按照如下编写代码会出现错误： 1. s=tf('s'); 2. G=1/s+exp(-0.25*s)/(2*s+1); 复制代码 如果想定义这样的函数必须使用与定义状态空间模型有关的一些函数， 这个问题我在后面会讲到。
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连通图与非连通图： 如果一个图，在它的任意两
个节点之间，至少存在一条通路，那样这样的图为
连通图。例如上图(a)是连通图，而图(b)是非连通图。
回路：构成闭合路径的支路集，就是回路。回路是
一个连通图。长度为m而始端节点与终端节点相重合的
通路称为长度为 m的回路，长度为1的回路称为自回路。
对于有向图给定的回路，常指定一顺时针方向，
bB}；而所有的节点构成节点集合，用γ表示，
γ△{n1，n2，…，nN}。这里B是支路数，N是节
点数，因此一个图G可以用 G ( , )表示。
• 无向图与有向图：如果图 G中每条支路都不指
明支路方向，则称之为无向图，用 Gn 表示，如
图 8-1(b) 所示；如果图 G 中每条支路都规定一定
的方向，则称之为有向图，用 Gd 表示，如下图
所示。
•子图：如果图 Gs ( s , s ) 的节
点集γs是图G的节点集γ的子集，
支路集βs是支路集β的子集，则
称图Gs是图G的子图。
例如图中，由γs ={n1，n2，n3}和βs ={b1，b3，b5}构 成的图就是该图的子集，若子集仅由一个孤立的节
如图8-4(a)所示的图Gn，它的两个树分别如图8-4(b)、 (c)，但是8-4(d)和(e)则不是它的一个树，因为(d)中包含
一个回路，而(e)是不连通的。同一连通图G具有许多不
同的树
树支、树余和连支：构成树的各条支路称为树支， 图Gn中除去树以外的所有支路形成Gn的另一个子图， 称为树余(反树)，属于反树的各条支路称为连支。例 如图8-5中图Gn的树支如图8-5(b)实线所示，而(b)中虚 线为连支。
压和电流的参考方向以及网络中元件的特性。而
任何集中参数的电网络都可用基尔霍夫电压和电 流定律（KVL和KCL）以及支路特性方程(VCR)来 描述，因此只要着重讨论电路中各元件之间的连 接关系，而不管支路元件的性质，则每一条支路
都可以用一条有向的线段(线段的方向代表支路
的电压、电流参考方向 )来表示，这样就可把一
个复杂的电路抽象转换为一个由点和线段集合
成的图形 ( 拓朴图 ) 。例如图 8-1(a) 所示网络，就 可抽象为8-1(b)、(c)那样的拓朴图。
1. 图论的基本概念
节点：一条线段的端点， 或者一个孤立的点称之为节 点，如右图中n1，n2，n3，n4 均称之为节点，通常我们用 ni表示第i个节点。
树支数目和连支数目：一个连通图具N个节点和B 条支路，则树T每两个节点之间至少有一条支路方能
连在一起，如果要连通N个节点，要有N-1条支路，
又由于树T不能包含回路，所以N个节点间支路数也 不可能多于N-1条，因此对于一个具有N个节点和B 条支路的连通图，它的树T含有N-1条树支和B-(N-1) 条连支。
基本割集：若选定连通图 G的树T，每次割断T
中一条树支和若干条连支可以得到一个且仅仅
一个割集，依此方式，割断T中所有的树支，就
得到相应的各个割集Ci，所有这些割集称为基本 割集，或叫单树支割集。例如图(c)的c1，c2，c3， c4，c5均为基本割集。
因为对应于树T的每一条树支有一个基本割集、对
第10章 图论及LTI电路系统的矩阵分析法
本 章 内 容
•
图论的基本概念
•
• •
电路系统的图矩阵表示方法、
支路方程和网络图矩阵间的相互关系 电路与系统方程的图矩析中的分析模型都是用具有特定元件特 性的二端元件所组成的网络，要完整的描述这样 的网络，就必须知道支路间的连接特性、支路电
图8-1(b)
支路：与两个节点ni、nj相关联的线段，称为支路， 图中b1，b2，b3，b4，b5，b6均称之为支路，通常用bi 表示第i支路。
图：就是由有限个节点 ( 节点集 ) 和有限条支路
(支路集)组成的集合，在该集合中每条支路恰好连
接着两个节点，而支路仅在节点上相交。
通常我们用G表示图。在一个图里所有的支 路构成支路集，用β表示，即β△{b1，b2，…，
应于每一条连支有一个基本回路，因此一个具有N个节
点和B条支路的连通图Gn有N-1个基本割集、B-(N-1)个
点组成，则称蜕化子图。
子图
n1
b1
b5
b3
n3
n2
节点的维数：与一个节点相关联的支路的数目称为 该节点的维数。例如上图中，节点n1，n2，n5，n6都 是三维的，而节点n3，n4是四维的。而零维节点称为
孤立点。
通路：长度为m的通路是m条不同支路与m+1个不同
节点依次连接而成的一条路径，在这条路径中除始点 与终点两个节点为一维外，其余各节点都是二维的。
割集：割集是连通图G的一个支路集合，把这些
支路移去将使图G分离成二个部分，但是如果少移 去其中一条支路，则图仍将是连通的。这就是说割 集是把一个连通图G分成两个分裂的子图所需割断 数量最少的一组支路。通常用Ci表示i第个割集。 例如图8-6中，{b1，
b5，b6，b3}构成
一个割集，如图中 虚线所示。
但支路集{b1，b5，b6}和{b2，b5，b1，b3}则不是割集。 基本回路：若在选定的连通图G的树T加入一条连支
则可得到一个且仅仅一个回路，若依次加入所有的连
支，则得到相应的各个回路Li，所有的这些回路称为
基本回路；或者更简单地说基本回路就是单连支回路， 例如图 (b)中的l1、l2、l3、l4就是基本回路。
如图中，支路集{b4，b8，b9，b2}在节点n1和n2之 间构成通路，其相应节点为n1，n5，n4，n6，n2，其中n1 和n2分别为始端节点与终端节点；
而支路{b5，b7，b10，b6}就不能构成n1与n2之间
的一条通路，因为在该支路集中节点 n3 的维数 超过了二维。由此可以通俗地说：“通路就是 两个节点之间一条无叉道的路径。”
或逆时针方向作为回路的参考方向。
网孔：精确的定义为：若连通平面线图的一个回路
内部不存在任何支路，则此回路称为网孔。
树：在一个连通图Gn中取一个子图Gs，当且仅
当Gs满足下列三个条件时，则称子图Gs为Gn的 树，记为T，这三个条件是： ① Gs是连通图； ② Gs包含原图Gn中的全部节点；
③ Gs中不包含任何回路。