第六章 正弦交流电路的功率

ui
i(t) 2I sin tA
u(t) 2U sin(t u )V
图 6-13
则二端电路的瞬时功率为：
p(t) u(t)i(t) 2U sin(t u ) 2I sin t UI[cosu cos(2t u )] UI cosu UI cos(2t u )
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成， 第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变 化的正弦量。瞬时功率如图6-14所示。
k 1
b
k 1 b
Pk
0
k
1
Qk
0
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
一般情况下：
b
S Sk k 1
复功率也可表示为
S U I* Z I I* I 2 Z
S U I* U (UY )* UU *Y * U 2Y *
6.5 正弦交流电路中的最大功率
以如图 所示的电路相量模型为例， 分析在US、 ZS给定的条件下，
U2 R
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式
与直流电路相似。
2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
iL t 2IL sin tA
则电感电压为：
uL (t)
2
I
L
X
L
s
in(t
2
)V
2U
L
s
in(t
2
)V
其瞬时功率为
pL (t) uL (t) iL (t)
2U
L
IL
例 在图 所示的正弦电路中， R和L为损耗电阻和电 感。 实为 电源内阻参数。 已知 us(t) 10 2 sin105tV , R=5 Ω， L=50μH。 RL=5 Ω， 试求其获得的功率。 当RL为多大时， 能获 得最大功率? 最大功率等于多少?
解 电源内阻抗为
ZS R jX S 5 j105 50 106 R
－ US ＋ RL
当 RL ZS
R2
X
2 L
时， 模匹配， 能获得最大功率，
即
RL 52 52 7.07
.
.
I
U
10 / 0o
10 / 0o
ZS RL 5 j5 7.07 12.7 j5
10 13.06
/ /
0o 22.5o
0.7662 / 22.5
PR max I 2RL 0.7662 7.07 4.15W
C
_
+
R
I L
U
C
_L
解： 由cosφ1 0.6 得 φ1 53.13o
由cosφ2 0.9 得 φ2 25.84o
1
P C U 2 (tgφ1 tgφ2 )
20 103 314 3802
(tg53.13
tg25.84 )
2 I
IL IC
U
375 F
补偿容量也可以用功率三角形确定：
I 2RL
(RS
U
2 S
RL
RL )2 j( X S
X L)2
(6.8.1)
负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关, 下面分两 种情况进行讨论。
1. 负载的电阻和电抗均可调节
从式(6.8.1)可见， 若RL保持不变， 只改变XL， 当XS+XL=0 时， 即XL=－XS， PL可以获得最大值， 这时
备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率， 减小线路压降及 功率损耗， 应设法提高功率因数。 3．提高功率因数的方法
提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容 器。 感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行一部分 能量交换， 减少了电源和负载间的能量交换.
4. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
图 6-14 二端RLC电路的瞬时功率
从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二 者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号 时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说 明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量 多，说明电路有能量的消耗。
2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因素
其瞬时功率 的波形图如6-10 所示。由图可见， 电阻元件的瞬时 功率是以两倍于 电压的频率变化 的，而且pR（t） ≥0，说明电阻元 件是耗能元件。
图 6-10 电阻元件的瞬时功率
电阻的平均功率
PR
1 T
T p(t)dt 1
0
T
T 0
U R I R
URIR
cos2t dt
URIR
I 2RR
PL
U S2 RL (RS RL )2
再改变RL， 使P L获得最大值的条件是
dPL 0
即
dRL
dPL dPL
U
2 S
(RS
RL )2 2RL(RS (RS RL )4
RL )
0
故
(RS RL )2 2RL (RS RL ) 0
得RL=RS， 因此， 负载获得最大功率的条件为
XL XS
视在功率: S=UI
单位：W 单位：var 单位：VA
S P2 Q2
S
Q
Z
X
P
R
功率三角形 阻抗三角形
U
UX
UR 电压三角形
+ UR _
º+ R +
U_
U_X X
º
5. 复功率
I
+
U_
负 载
U U u , I I i
P UI cos( u i )
UI Re[e j( u i ) ] Re[Ue ju Ie- ji ]
P Re[U I* ]
U
I *
记 S UI* 为复功率，单位VA
S UI* UI( u i ) UI
UIcos jUIsin
P jQ
def
Q UI sinφ
无功功率 单位 : 乏 (var)
6：复功率守恒
b
Sk 0
k 1
b
(Pk jQk ) 0
k 1
b • •*
UkIk 0
电容的平均功率也为零，即：
pc
1 T
T p(t)dt 1
0
T
T
0 (UcIc sin 2t)dt 0
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换， 电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
1.瞬时功率
在图6-13所示二端电路中，设电 流 i(t) 及 端 口 电 压 u(t) 在 关 联 参 考 方向下，分别为：
PR max
2
ZS
U
2 S
(1 cosS )
25
1002
4.15W
2(1 cos45o )
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A 其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V 则瞬时功率为
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt =URIR（1-cos2ωt）W
由于cos2ωt≤1,故此
pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0
2I
c
X
c
sin(t
2
)V
其瞬时功率为：
2U C
sin(t
2
)V
pc
(t
)
uc
(t
)ic
(t
)
2U
c
I
c
s
in(t
2
)
sin
t
Uc Ic sin 2t
uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。
uiCC
图 6-12 电容元件的瞬时功率
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。
第六章 正弦交流电路的功率
6. 正弦交流电路的功率
6.1 R、L、C元件的功率、能量 6.2 6.3 6.4 二端网络的功率 6.5 正弦交流电路中的最大功率
6 正 弦 交流电路 的 功 率
6.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
p 1
T
p (t )dt
T0
1 T
T
0 [UI cosu UI cos(2t u )]dt
UI cos Z
式中cosZ 称为二端电路的功率因素，功率因素 的值取决于电压与电流之间的相位差 Z ， Z 也
叫功率因素角。
功率因数提高
2．功率因数的意义 功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设
QC
QL
Q
1 2
P
Q QL Q P(tg1 tg 2 )
QC ω CU2
C
P
ωU
2
(tg 1
tg 2 )
3. 无功功率、视在功率 无功功率用Q表示，定义
Q UI sin Z
通常将二端电路电压和电流有效值的乘 积称为视在功率，用S表示，即
S=UI
4.有功，无功，视在功率的关系：
有功功率: P=UIcos 无功功率: Q=UIsin
负载ZL获得最大功率的条件。
其中
ZL RL jX L
＋ . US
－
ZS
由图可知， 电路中电流相量为
.
.
.
I
US
US
ZS ZL (RS RL ) j( X S X L )
电流的有效值为
I
US
(RS RL )2 j( X S X L )2