正弦交流电路中的功率
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电路原理3章 正弦交流电路的功率
p UI cos UI cos(2t )
UI cos [1 cos 2t] UI sin sin2t
Q UI sin 单位:乏 (var)
Q UI sin I 2 X
感性电路： Q > 0
容性电路： Q < 0
I
U
+
U X U
UR _
R jX
+ U_ R _+U X
视在功率、无功功率、平均功率关系：
电感在一个周期内吸收的平均功率 为：
P 1
T
pdt
1
T
UI sin 2tdt 0
T0
T0
电感是储能元件，不消耗能量，但是在某一
时间段内，它从外部电路吸收功率。
电感瞬时功率的最大值，定义为电感的无功
功率QL：
电感无功功率：QL UI
I2 XL
U2
XL
单位:乏 (var)
3.7.1.3 电容元件的功率
(1) 视在功率(apparent power)
•
Ii
一端口网络电压有效值与
电流有效值的乘积
Z
S UI 单位:伏安 (VA)
+
•
U
u
-
无 源 网 络
S UI Z I 2
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供
电设备的额定视在功率，表示其容量。
(2) 无功功率(reactive power)
并联电容器是电网中用得最多的一种无功功 率补偿设备，目前国内外电力系统中90%的无 功补偿设备是并联电容器。
可以串电容吗？
串联电容器补偿，现在主要应用于超高 压、大容量的输电线路上，例如，山西大同 至北京的500kV输电电线路全长300km,加装 了串联电容补偿后,电网线损降低，电压质 量改善，电网运行的稳定性得到加强，而且 输电能力提高30%以上。
UI cos [1 cos 2t] UI sin sin2t
Q UI sin 单位:乏 (var)
Q UI sin I 2 X
感性电路： Q > 0
容性电路： Q < 0
I
U
+
U X U
UR _
R jX
+ U_ R _+U X
视在功率、无功功率、平均功率关系：
电感在一个周期内吸收的平均功率 为：
P 1
T
pdt
1
T
UI sin 2tdt 0
T0
T0
电感是储能元件，不消耗能量，但是在某一
时间段内，它从外部电路吸收功率。
电感瞬时功率的最大值，定义为电感的无功
功率QL：
电感无功功率：QL UI
I2 XL
U2
XL
单位:乏 (var)
3.7.1.3 电容元件的功率
(1) 视在功率(apparent power)
•
Ii
一端口网络电压有效值与
电流有效值的乘积
Z
S UI 单位:伏安 (VA)
+
•
U
u
-
无 源 网 络
S UI Z I 2
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供
电设备的额定视在功率，表示其容量。
(2) 无功功率(reactive power)
并联电容器是电网中用得最多的一种无功功 率补偿设备，目前国内外电力系统中90%的无 功补偿设备是并联电容器。
可以串电容吗？
串联电容器补偿，现在主要应用于超高 压、大容量的输电线路上，例如，山西大同 至北京的500kV输电电线路全长300km,加装 了串联电容补偿后,电网线损降低，电压质 量改善，电网运行的稳定性得到加强，而且 输电能力提高30%以上。
正弦交流电路中的功率
二端网络的阻抗角也有关，这样，平均功率为
P=UIcos
(3-35)
式(3-35)中的cos称为二端网络的功率因数，而又称为功率因数角。
1.2视在功率和无功功率
平均功率P=UIcos中的“UI”项是二端网络端电压和端电流的有效值的 乘积，称UI为视在功率，常用S表示，
即
S=UI
（3-36）
பைடு நூலகம்
为了与有功功率P区别，视在功率S的单位为伏安（V·A）
电路基础
正弦交流电路中的功率
1.1瞬时功率和有功功率 1.2视在功率和无功功率 1.3复功率 1.4功率因数的提高
1.1瞬时功率和有功功率
图3-27所示电路是一个无独立源的无源二端网络N，含有线性电阻、电容、 电感、受控源等元件，其端电压和端电流分别为
设二端网络N的阻抗为Z =R +jX =|Z|∠,按瞬时功率的定义，二端网络N吸 收的瞬时功率为p=ui= 2 Usin(ωt+ )· 2Isin(ωt+ )=2UIsin(ωt+ ) sin(ωt+ )
提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。感性 负载并联电容器后，它们之间相互补偿，进行一部分能量交换，减少 了电源和负载间的能量交换，其电路图和相量图，如图３-32所示。
并联电容前，电路消耗的功率P=UILcos，电路中的总电流 并联电容后，电路消耗的功率P=UI1 cos，总电流 把加了电容后电路的相量图画在图3-32（b）上，可以看出：
又知
代入上式可得：
当需要把功率角从提高到时，需要并联的电容大小可以用上式计算出 来。在感性负载RL支路上并联电容器C后，在U不变的情况下，流过 负载支路的电流、负载本身的功率因数，及电路中消耗的有功功率是
《电工技术》课件 正弦交流电路的功率
P
1 T
0T
pdt
1 T
0TUI[cos
cos(2t
)]dt
UI
cos
P UI cos
单位为瓦（W）
u 与 i 的夹角，即阻抗角
= cos 称为功率 因数，用来衡量对电
源的利用程度。
一、一般计算公式
3.无功功率
Q UI sin 单位为乏（Var）
4.视在功率：电路中总电压与总电流有效值的乘积，表示用电设备的容量。
（3）视在功率： S UI
S
Q
φ
功率三角形
P
S UI 单位为伏安（VA）
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有 功功率。
• 注意 （1）平均功率P、无功功率Q和视在功率S的关系
S2 P2 Q2
（2） P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。
S
Q
功率三角形
S PQ P
二、几种特例电路的功率计算
（3） R、 、X L X C
解：
（1）根据电压三角形，求得总电压
U UR2 (UL UC )2 152 (60 80)2 25V
（2）电路中只有电阻是耗能元件，因此电路有功功率就是电阻消耗的功率。
P U R I 151 15W Q QL Q C ULI (UC I ) 20Var S UI 251 25VA
（2）无功功率： Q UI sin
因为电路中只有电感元件和电容元件有无功功率，因此无功功率又可以用公式：
Q QL Q C ULI (UC I )
I2XL I2XC
U
2 L
UC2
XL XC
正弦交流电路的功率因素
提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容 器。 感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行一部分 能量交换， 减少了电源和负载间的能量交换.
3. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
并联电容
分析:
I
IC
+
R
IL
U
C
_L
1 2 I
U
IC
IL
再从功率这个角度来看 :
则电容电压为 ： uc (t)
2I
c
X
c
sin(t
2
)V
其瞬时功率为：
2U C
sin(t
2
)V
pc
(t
)
uc
(t
)ic
(t
)
2U
c
I
c
s
in(t
2
)
sin
t
Uc Ic sin 2t
uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。
uiCC
图 6-12 电容元件的瞬时功率
换。
电感消耗的平均功率为：
pL
1 T
T 0
pL
(t)dt
1 T
T
0 U L I L sin 2tdt 0
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件 不消耗功率，只是与外界交换能量。
3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电 容元件的电流为:
ic (t) 2Ic sintA
S=UI
4、功率因素
式中 cosZ 称为二端电路的功率因素，功率因素
的值取决于电压与电流之间的相位差 Z ， Z 也
3. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
并联电容
分析:
I
IC
+
R
IL
U
C
_L
1 2 I
U
IC
IL
再从功率这个角度来看 :
则电容电压为 ： uc (t)
2I
c
X
c
sin(t
2
)V
其瞬时功率为：
2U C
sin(t
2
)V
pc
(t
)
uc
(t
)ic
(t
)
2U
c
I
c
s
in(t
2
)
sin
t
Uc Ic sin 2t
uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。
uiCC
图 6-12 电容元件的瞬时功率
换。
电感消耗的平均功率为：
pL
1 T
T 0
pL
(t)dt
1 T
T
0 U L I L sin 2tdt 0
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件 不消耗功率，只是与外界交换能量。
3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电 容元件的电流为:
ic (t) 2Ic sintA
S=UI
4、功率因素
式中 cosZ 称为二端电路的功率因素，功率因素
的值取决于电压与电流之间的相位差 Z ， Z 也
正弦交流电的功率
解（1）由于 P UI cos
所以电源提供的电流
IL
U
P = 100 103 cos 220 0.8
568.18A
无功功率 QL UIL sin 220 568.18 1 0.82 74.99k var
(2)使功率因数提高到0.85时所需电容容量为
C
P
U
2
(tan1
tan2
)
100 103 314 2202
功率因数从 1= cos1提高到 2 = cos2，所需并联的电容为
C
P 2fU
2
(tan1
tan2 )
=
【例1】有一台220V，50Hz，100kW的电动机功率因数为0.8 （1）在使用时，电源提供的电流是多少?无功功率是多少? （2）如欲使功率因数达到0.85，需要并联的电容器电容值是多少?此时电源提 供的电流是多少?
(0.75
0.62)
855.4F
此时电源提供的电流
I
U
P = 100 103 cos 220 0.85
534.76A
可见，用电容进行无功补偿时，可以使电路的电流减小，提 高供电质量。
七、最大功率传输 如图1所示电路，有源单端口NS 向负载Z传输功率，研究负载获得最大
功率（有功功率）的条件。利用戴维南定理将电路简化为图2所示电路。
定义： P UI cos(u i ) cos
S
UI
cos称为功率因数（power factor)
功率因数反映了设备利用效率。
称功率因数角。对无源网络，即为其阻抗角z 一般地 , 有 0cos 1
cos z
1, 纯电阻 0， 纯电抗
S、P、Q关系:
P UI cos S cos
所以电源提供的电流
IL
U
P = 100 103 cos 220 0.8
568.18A
无功功率 QL UIL sin 220 568.18 1 0.82 74.99k var
(2)使功率因数提高到0.85时所需电容容量为
C
P
U
2
(tan1
tan2
)
100 103 314 2202
功率因数从 1= cos1提高到 2 = cos2，所需并联的电容为
C
P 2fU
2
(tan1
tan2 )
=
【例1】有一台220V，50Hz，100kW的电动机功率因数为0.8 （1）在使用时，电源提供的电流是多少?无功功率是多少? （2）如欲使功率因数达到0.85，需要并联的电容器电容值是多少?此时电源提 供的电流是多少?
(0.75
0.62)
855.4F
此时电源提供的电流
I
U
P = 100 103 cos 220 0.85
534.76A
可见，用电容进行无功补偿时，可以使电路的电流减小，提 高供电质量。
七、最大功率传输 如图1所示电路，有源单端口NS 向负载Z传输功率，研究负载获得最大
功率（有功功率）的条件。利用戴维南定理将电路简化为图2所示电路。
定义： P UI cos(u i ) cos
S
UI
cos称为功率因数（power factor)
功率因数反映了设备利用效率。
称功率因数角。对无源网络，即为其阻抗角z 一般地 , 有 0cos 1
cos z
1, 纯电阻 0， 纯电抗
S、P、Q关系:
P UI cos S cos
正弦交流电路有功功率公式
正弦交流电路有功功率公式在我们学习电学知识的过程中，正弦交流电路有功功率公式可是个相当重要的角色。
这就好比是电学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说这个公式到底是啥。
正弦交流电路有功功率公式是 P = UIcosφ 。
这里的 P 代表有功功率，U 是电压的有效值，I 是电流的有效值，而cosφ 则是功率因数。
那这个公式到底有啥用呢？我给您举个例子吧。
有一次我去朋友家，他家的空调突然出了问题，制冷效果变得很差。
我就琢磨着是不是电路上出了啥毛病。
一检查，发现电压和电流好像不太对劲。
这时候，这个有功功率公式就派上用场啦！通过测量电压、电流以及计算功率因数，我发现原来是功率因数太低了，导致空调不能正常工作。
咱们再深入聊聊这个公式里的各个元素。
电压 U 就像是水流的压力，电流 I 就像是水流的速度，而功率因数cosφ 呢，就像是水流的顺畅程度。
如果水流压力大（电压高），速度快（电流大），而且流得顺畅（功率因数高），那输送的能量（有功功率）自然就多。
在实际生活中，很多电器的工作效率都和这个有功功率有关系。
比如说工厂里的大型机器，如果有功功率不足，生产效率就会大打折扣。
想象一下，一条生产线上的机器都慢悠悠地运转，那得耽误多少事儿啊！再比如说我们家里的电灯，如果有功功率不够，灯光就会变得昏暗，看书学习都不方便。
我记得有一次我在书房看书，灯光突然变得特别暗，原来是电路中的有功功率出了问题，搞得我眼睛都累得不行。
对于学习电学的同学们来说，理解和掌握这个公式可太重要了。
它不仅能帮助我们解决实际问题，还能让我们更深入地理解电的奥秘。
可别小看这个公式，它可是电学知识大厦的一块重要基石。
在解决实际电路问题的时候，我们要灵活运用这个公式。
有时候需要通过测量和计算来找到问题所在，有时候则要根据已知条件来优化电路，提高有功功率。
这就像是一个解谜的过程，充满了挑战和乐趣。
总之，正弦交流电路有功功率公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多联系实际，就一定能掌握它的精髓，让它成为我们解决电学问题的有力武器。
正弦电路的无功功率及视在功率精
由上两式可以看出，电感或电 容的瞬时功率随时间按正弦规律变 化，正负值交替，一段时间内 p（t） ＞0，电感或电容吸收功率；另一段 时间内p（t）＜0，电感或电容发出 功率。
平均功率为
P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于 零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用， 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个 周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一 种功率——无功功率来描述。
2、功率因数是正弦电路中一个非常重要的物理量。 其大小表征了电气设备功率的利用率。提高负载的功 率因数是电气工程领域一个非常重要的课题。
本讲作业
1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容——三相电路；
3、书面作业：习题9-2，9-5，9-6。
问题：怎样提高电路的功率因数？
方法： 用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场 能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了 电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负 载的无功功率，也就提高了功率因数。
【例18-2】
下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的电 路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
Y G j B 1 3 j4 (0 12 j0 16)S 3 j4 32 42
从上式可见，所并联的电容的复导纳应该为YC = jwC = + j0.16 S，才能使二端网络呈现为纯电阻， 这时电路的导纳等于纯电导，即Y = G = 0.12 S。也 就是说，在端口并联电容值为C = （0.16/w）的电 容后，可以使功率因数提高到1，即效率达到100%。
S S~ UI
功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形：
平均功率为
P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于 零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用， 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个 周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一 种功率——无功功率来描述。
2、功率因数是正弦电路中一个非常重要的物理量。 其大小表征了电气设备功率的利用率。提高负载的功 率因数是电气工程领域一个非常重要的课题。
本讲作业
1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容——三相电路；
3、书面作业：习题9-2，9-5，9-6。
问题：怎样提高电路的功率因数？
方法： 用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场 能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了 电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负 载的无功功率，也就提高了功率因数。
【例18-2】
下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的电 路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
Y G j B 1 3 j4 (0 12 j0 16)S 3 j4 32 42
从上式可见，所并联的电容的复导纳应该为YC = jwC = + j0.16 S，才能使二端网络呈现为纯电阻， 这时电路的导纳等于纯电导，即Y = G = 0.12 S。也 就是说，在端口并联电容值为C = （0.16/w）的电 容后，可以使功率因数提高到1，即效率达到100%。
S S~ UI
功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形：
任务二 正弦交流电路中的电压、电流及功率【 正弦交流电路的基本概念和基本定律】
UI sin2 ωt
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
18
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QC U I I 2 XC U 2 XC
u
C uC
-
-
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
由KVL：
. U
. UR
[R
. UL
j(L
. UC
1
C
. RI
)]I
jL
[R
. I j
1
C
j(XL
. I
X
C
)]I 28
.
IR
j L
i
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
U
L
-
j 1 C
-
+.
UC
-
+ u _
Z
由KVL：
. U
...
.
UR UL UC R I
R
Imsin ω t 2 I sin ω t_Biblioteka 频率: 相同相位差 ：
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
18
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QC U I I 2 XC U 2 XC
u
C uC
-
-
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
由KVL：
. U
. UR
[R
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j(L
. UC
1
C
. RI
)]I
jL
[R
. I j
1
C
j(XL
. I
X
C
)]I 28
.
IR
j L
i
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
U
L
-
j 1 C
-
+.
UC
-
+ u _
Z
由KVL：
. U
...
.
UR UL UC R I
R
Imsin ω t 2 I sin ω t_Biblioteka 频率: 相同相位差 ：
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S UI1 16.67kV· P 10kW Q 13.33k var I 75.76 并联电容后，电源的各种功率为 S UI 11.11kV· P 10kW Q 4.84k var I 50.51
六、无源单口网络端口测试
1.无源单口网络端口测试的目的
目的：得到无源电路最简等效电路中的元件参 数值。
2u )
a.电容元件瞬时功率波形如图4-44所示
图4-44 电容元件瞬时功率
Cb..电pC容>的0能，量电容元WC件吸12 C收u功2 率
pC <0，电容元件送出能量
二、平均功率和功率因数
1.平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值用P 表示。
P 1 T
T pdt 1
0
T
T
0 [UI cos UI cos(2t 2u ]dt
（2）电感元件
2
pL
UI
cos(2t
2u
2
)
UI
sin(2t
2u )
a.电感元件瞬时功率波形如图4-43所示
图4-43电感元件瞬时功率
b.电感元件的能量
L
1 2
Li2
C.PL>0，电感元件吸收功率
PL<0，电感元件送出功率
（3）电容元件
2
PC
UI
cos(2t
2u
) 2
UI
sin(2t
（2） 减小， cos 增大，平均功率P增大。
故P与 cos 成正比。
三、无功功率
1.无功功率：表示电路能量交换规模，用Q表示。
Q UI sin
（1）Q>0，无功功率为感性无功功率。
（2）Q<0，无功功率为感性无功功率。
2.单一元件的无功功率
（1）电阻元件 0, QR 0
（2）电感元件 90,QL ULIL sin 90 ULIL 0
注：平均功率又称有功功率，表示所消耗功率的大 小。
3.平均功率的其它计算公式
（1）由 U Z I 得
P I 2 Z cos
注：R 1
G
故
I2 P
G
（3）总平均功率
或 P U 2 一般不成立。
R
n
P PK 或 P PRi i1
4.功率因数 cos
（1） 增大， cos 降低 ，平均功率P减小。
一、瞬时功率
设正弦电压、电流分别为
u 2U cos(t u )
i 2I cos(t i )
注：电压、电流取关联参考方向。
1.瞬时功率P
p ui 2UI cos(t u ) cos(t i )
UI[cos(u i ) cos(2t u i )] UI[cos cos(2t 2u )]
15.26, cos cos(15.26) 0.96
五、功率因数的提高
1.提高功率因数的意义 电力系统中，发电厂发出有功功率的同时，也
输出了无功功率。二功率各占多少不是取决于发 电机，而是由负载的功率因数决定。当功率因数 过低时，设备不能充分利用，同时在线路上产生 较大的电压降落和功率损失。线路电压损失使得 负载端电压降低，用户不能正常工作。同时，线 路的功率损失使得电能浪费增加，电力系统经济 效益减少。
即
P UI cos
注意：
（1）平均功率不仅与电压和电流的有效值有关，而 且还与相位差 有关。
（2）平均功率单位是瓦（W）。
2.电阻、电感和电容的平均功率为
（1）电阻元件：
0, PR
URIR
cos 0
URIR
UR2 R
IR2R
（2）电感元件
90, PL ULIL cos90 0 （3）电容元件 90, PC UC IC cos(90) 0
2.功率三角形
S P2 Q2 , tan Q
P
3.功率因数 cos
cos P
S
cos 表示有功功率和视在频率的比值
例4-16.如图4-45所示电路中电源向电 路提供的有功功率、无功功率、视 在功率及功率因数。
(a)
(b)
图４－45 例4-16图
解：方法一、利用各功率定义式计算功率
Z 20 (10 j10)( j5) 22.80 15.26 10 j10 j5
其中 u i
p
(a)
(b)
图4-41 正弦交流电路中的瞬时功率
p （1） >0时，无源单口网络吸收功率
（2）p <0时，无源单口网络送出功率
2.单一元件瞬时功率讨论
（1）电阻元件， 0。
pR UI[1 cos(2t 2u )]
电阻元件瞬时功率波形图 见右图4-42.
图4-42电阻元件瞬时功率
（3）电容元件 90,QC UC IC sin(90) UC IC 0
2.无功功率其它计算公式
（1）由 U Z I 得 Q I 2 Z sin 即 Q Z 2 X （2）由 I Y U, 得 Q U 2 Y sin, 即 Q U 2B
注意： X 1 故 Q I 2 ，或Q U 2
解：
设 U 2200V
并联电容之前
cos1 0.6 1 53.13
I1 P 10 103 75.76 U cos1 220 0.6
所以
I1 75.76 53ຫໍສະໝຸດ 13并联电容器之后cos 0.9
25.84
若 25.84
则向量图如图4-47（b)中虚线
I P 10 103 50.51
B
B
X
3.无源网络电路的无功功率
（1）Q QK QK为第10条支路的无功功率
n
n
（2） Q QLi QCi
i 1
i 1
QLi 为第i个电感的无功功率 QCi 为第i个电容的无功功率
四、复功率及视在功率
1.复功率 S
S P jQ P UI cos S UI sin 故 S UI cos jUI sin UI 且 u i 因此S=UI
2.测试方法——电工测量
例4-18 测量一个无源单口网络的等效参数。测量电 路如图4-48所示，其中电压表读数为380V，电流表
读数为15A，功率表读数为5.7kW。
解：从各电表给出的读数 中可知
P=UI=380·15kW=5.7kW
即无源单口电路的
，
为电co阻s性电1 路。所以等
效阻抗为
Z R U 380 25.33 I 15
(22 j6)
I U
500
2.1915.26
Z 22.80 15.26
P UI cos 50 2.19cos(15.26) 105.64W
Q UI sin 50 2.19sin(15.26) 28.82 var
S UI 50 2.19 109.5VA
cos cos(15.26) 0.96
图4-49 例4-19图
2.1915.26
2.7733.69
Q I12 5 I22 10 2.77 2 5 0.982 10 28.8 var
方法四、利用复功率
S UI 500 2.19 15.26 109.5 15.26VA
(105.6 j28.8)VA
P 105 .6W ,Q 28.8 var, S 109 .5VA
图4-48 例4-18图
例4-19 在图4-49中，打开开关S时，各电表读数分 别为220V，10A和900W；开关S闭合时，各电表读 数分别为220V，5A和900W。电源频率为50HZ。求 单口无源等效电路的参数。
分析：由开关S打开时各电表读数可知，单口无源电 路不是电阻性电路，且等效阻抗的电阻分量不为0。 注意到开关闭合时的电流比开关S打开时的电流小， 因此可知单口无源电路的性质为感性电路。可通 过向量图分析得出此结论，其等效电路如图4-59 （a)所示。
方法二、利用无源单口电路的最简串联等效电路求 功率
图4-46 例４－16所示电路的等效电路
解:
P I 2 R 2.192 22 105.5W Q I 2 X 2.192 6 28.8 var S P2 Q2 105.52 28.82 109.4VA
cos P 105.5 0.96
U cos 2 220 0.9
I 50.51 25.84 I2 I I1 (50.51 25.84 75.76 53.13) 38.5990
C I 2 38.59 F 558.63F U 314 220
现在比较一下并联电容前后的功率及线路电流 情况。并联电容前，电源的各种功率为
我国明确规定，电力系统的功率因数不得小于 0.95。
2.提高功率因数的方法——电容补偿法
例4-17 在工作频率50HZ、电压220V的电路中，如
图4-47所示，一个感性负载的有功功率为P=10kW，
功率因数
（c滞o后s）1，如将功率因数提高
到0.9，求并联在负载端电容的电容值。
(a)
(b)
图4-47 功率因数的提高
S 109.4
方法三、利用功率守恒原理求功率
I2
10
j5 j10
j5
I
j5 2.1915.26 10 j5
0.98 101.3
P I 2 20 I22 10 2.192 20 0.982 10 105 .5W
I1
10 10
j10 j10
j5
I
10 10
j10 j5
六、无源单口网络端口测试
1.无源单口网络端口测试的目的
目的：得到无源电路最简等效电路中的元件参 数值。
2u )
a.电容元件瞬时功率波形如图4-44所示
图4-44 电容元件瞬时功率
Cb..电pC容>的0能，量电容元WC件吸12 C收u功2 率
pC <0，电容元件送出能量
二、平均功率和功率因数
1.平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值用P 表示。
P 1 T
T pdt 1
0
T
T
0 [UI cos UI cos(2t 2u ]dt
（2）电感元件
2
pL
UI
cos(2t
2u
2
)
UI
sin(2t
2u )
a.电感元件瞬时功率波形如图4-43所示
图4-43电感元件瞬时功率
b.电感元件的能量
L
1 2
Li2
C.PL>0，电感元件吸收功率
PL<0，电感元件送出功率
（3）电容元件
2
PC
UI
cos(2t
2u
) 2
UI
sin(2t
（2） 减小， cos 增大，平均功率P增大。
故P与 cos 成正比。
三、无功功率
1.无功功率：表示电路能量交换规模，用Q表示。
Q UI sin
（1）Q>0，无功功率为感性无功功率。
（2）Q<0，无功功率为感性无功功率。
2.单一元件的无功功率
（1）电阻元件 0, QR 0
（2）电感元件 90,QL ULIL sin 90 ULIL 0
注：平均功率又称有功功率，表示所消耗功率的大 小。
3.平均功率的其它计算公式
（1）由 U Z I 得
P I 2 Z cos
注：R 1
G
故
I2 P
G
（3）总平均功率
或 P U 2 一般不成立。
R
n
P PK 或 P PRi i1
4.功率因数 cos
（1） 增大， cos 降低 ，平均功率P减小。
一、瞬时功率
设正弦电压、电流分别为
u 2U cos(t u )
i 2I cos(t i )
注：电压、电流取关联参考方向。
1.瞬时功率P
p ui 2UI cos(t u ) cos(t i )
UI[cos(u i ) cos(2t u i )] UI[cos cos(2t 2u )]
15.26, cos cos(15.26) 0.96
五、功率因数的提高
1.提高功率因数的意义 电力系统中，发电厂发出有功功率的同时，也
输出了无功功率。二功率各占多少不是取决于发 电机，而是由负载的功率因数决定。当功率因数 过低时，设备不能充分利用，同时在线路上产生 较大的电压降落和功率损失。线路电压损失使得 负载端电压降低，用户不能正常工作。同时，线 路的功率损失使得电能浪费增加，电力系统经济 效益减少。
即
P UI cos
注意：
（1）平均功率不仅与电压和电流的有效值有关，而 且还与相位差 有关。
（2）平均功率单位是瓦（W）。
2.电阻、电感和电容的平均功率为
（1）电阻元件：
0, PR
URIR
cos 0
URIR
UR2 R
IR2R
（2）电感元件
90, PL ULIL cos90 0 （3）电容元件 90, PC UC IC cos(90) 0
2.功率三角形
S P2 Q2 , tan Q
P
3.功率因数 cos
cos P
S
cos 表示有功功率和视在频率的比值
例4-16.如图4-45所示电路中电源向电 路提供的有功功率、无功功率、视 在功率及功率因数。
(a)
(b)
图４－45 例4-16图
解：方法一、利用各功率定义式计算功率
Z 20 (10 j10)( j5) 22.80 15.26 10 j10 j5
其中 u i
p
(a)
(b)
图4-41 正弦交流电路中的瞬时功率
p （1） >0时，无源单口网络吸收功率
（2）p <0时，无源单口网络送出功率
2.单一元件瞬时功率讨论
（1）电阻元件， 0。
pR UI[1 cos(2t 2u )]
电阻元件瞬时功率波形图 见右图4-42.
图4-42电阻元件瞬时功率
（3）电容元件 90,QC UC IC sin(90) UC IC 0
2.无功功率其它计算公式
（1）由 U Z I 得 Q I 2 Z sin 即 Q Z 2 X （2）由 I Y U, 得 Q U 2 Y sin, 即 Q U 2B
注意： X 1 故 Q I 2 ，或Q U 2
解：
设 U 2200V
并联电容之前
cos1 0.6 1 53.13
I1 P 10 103 75.76 U cos1 220 0.6
所以
I1 75.76 53ຫໍສະໝຸດ 13并联电容器之后cos 0.9
25.84
若 25.84
则向量图如图4-47（b)中虚线
I P 10 103 50.51
B
B
X
3.无源网络电路的无功功率
（1）Q QK QK为第10条支路的无功功率
n
n
（2） Q QLi QCi
i 1
i 1
QLi 为第i个电感的无功功率 QCi 为第i个电容的无功功率
四、复功率及视在功率
1.复功率 S
S P jQ P UI cos S UI sin 故 S UI cos jUI sin UI 且 u i 因此S=UI
2.测试方法——电工测量
例4-18 测量一个无源单口网络的等效参数。测量电 路如图4-48所示，其中电压表读数为380V，电流表
读数为15A，功率表读数为5.7kW。
解：从各电表给出的读数 中可知
P=UI=380·15kW=5.7kW
即无源单口电路的
，
为电co阻s性电1 路。所以等
效阻抗为
Z R U 380 25.33 I 15
(22 j6)
I U
500
2.1915.26
Z 22.80 15.26
P UI cos 50 2.19cos(15.26) 105.64W
Q UI sin 50 2.19sin(15.26) 28.82 var
S UI 50 2.19 109.5VA
cos cos(15.26) 0.96
图4-49 例4-19图
2.1915.26
2.7733.69
Q I12 5 I22 10 2.77 2 5 0.982 10 28.8 var
方法四、利用复功率
S UI 500 2.19 15.26 109.5 15.26VA
(105.6 j28.8)VA
P 105 .6W ,Q 28.8 var, S 109 .5VA
图4-48 例4-18图
例4-19 在图4-49中，打开开关S时，各电表读数分 别为220V，10A和900W；开关S闭合时，各电表读 数分别为220V，5A和900W。电源频率为50HZ。求 单口无源等效电路的参数。
分析：由开关S打开时各电表读数可知，单口无源电 路不是电阻性电路，且等效阻抗的电阻分量不为0。 注意到开关闭合时的电流比开关S打开时的电流小， 因此可知单口无源电路的性质为感性电路。可通 过向量图分析得出此结论，其等效电路如图4-59 （a)所示。
方法二、利用无源单口电路的最简串联等效电路求 功率
图4-46 例４－16所示电路的等效电路
解:
P I 2 R 2.192 22 105.5W Q I 2 X 2.192 6 28.8 var S P2 Q2 105.52 28.82 109.4VA
cos P 105.5 0.96
U cos 2 220 0.9
I 50.51 25.84 I2 I I1 (50.51 25.84 75.76 53.13) 38.5990
C I 2 38.59 F 558.63F U 314 220
现在比较一下并联电容前后的功率及线路电流 情况。并联电容前，电源的各种功率为
我国明确规定，电力系统的功率因数不得小于 0.95。
2.提高功率因数的方法——电容补偿法
例4-17 在工作频率50HZ、电压220V的电路中，如
图4-47所示，一个感性负载的有功功率为P=10kW，
功率因数
（c滞o后s）1，如将功率因数提高
到0.9，求并联在负载端电容的电容值。
(a)
(b)
图4-47 功率因数的提高
S 109.4
方法三、利用功率守恒原理求功率
I2
10
j5 j10
j5
I
j5 2.1915.26 10 j5
0.98 101.3
P I 2 20 I22 10 2.192 20 0.982 10 105 .5W
I1
10 10
j10 j10
j5
I
10 10
j10 j5