非参数假设检验

(, t1 ], (t1 , t 2 ], , (t k 1 ,)
…,
t1
t2
tk-1
对随机变量取值数轴的分割
记 pi为总体在第 i 个区间上的概率值, 则有
p1 = P (X t1) = F(t1) p2 = P (t1 < X t2) = F(t2) - F(t1)
……
pk-1 = P (tk-2 < X tk-1) = F(tk-1) - F(tk-2) pk = P (X > tk-1) =1 - F(tk-1)
是由 n, m, (显著性水平)所决定的. 威尔可逊 ( Wilcoxon ) 给出了 W 的概率分布表, 对于给定 的显著性水平 , 可以由威尔可逊概率分布表, 依据n, m, 查出 W1 , W2 . 若W W1 或 W W2 , 则拒绝H0: F(x) = G(x) (认为两个 总体分布不同) 反之, 若W1 < W < W2 , 则接受H0: F(x) = G(x) (认为两 个总体分布相同).
U1 nm n(n 1) w1 2
U 2 nm
m(m 1) w2 2
对给定 , 查U 值表, 得 U. 若U < U , 则总体分布相同. 注意: 方法 (1), (2), (3) 是两个总体分布的比较, 与分布的具 体形式无关, 所以, 理论上可以用来检验两个任意形式的分 布是否相同.
(2) 大样本情况下, 正负号个数检验法的处理
在大样本情况下( 即 mp 10 ), 可以近似地用正态分布 来处理. 现在 p =0.5, 所以只要 m 20 即可. 用统计量:
Z U p ~ N (0,1) p (1 p ) m
在计算统计量 Z 的值z 时, 在式中要用 u (即n+ /m)代替U.
3. 检验两个总体的分布是否相同的第三种方法: Whitney 秩和检验法 ( 序号和检验法 )
Mann-
问题: 有两个总体的样本观测值 x1，x2,·,xn 与y1,y2 ,·,ym , · · · · 可能m n . 两组样本是可以各自独立颠倒顺序的. 检验这 两组样本是否来自同一个总体 (或两组样本的总体分布是 否相同). 同样, 把两组样本放在一起, 按样本观测值的大小重新排 序, 那么每个观测值就有一个序号( 秩 ). 把第一组样本x1， x2，·，xn的序号(秩) 加总起来, 记为 w1 .把第二组样本y1 · · ，y2 ,·，ym的序号(秩) 加总起来, 记为 w2 . · · Mann-Whitney U检验的统计量是: U = min {U1, U2 } 式中:
(1) 小样本情况下, 正负号个数检验法的处理
小样本情况下, 正负号个数检验法的处理, 与 5.3.1 小节 的处理原理相同, 只不过 5.3.1 节是单尾检验, 我们现在要做 双尾检验 (检验两个方向的备择假设). 以计算“xi - yi>0的个数为 r ”的概率为例, 对给定 的, 在假设p = 0.5 (H0假设)的前提下, 按照B(m, p) 的概率 计算公式, 对 r 从小到大, 求累积概率:
第六章
非参数假设检验
§ 6.1 总体分布的非参数假设检验
非参数假设检验（分布检验）所处理的问题是： （1）两个总体的分布未知，它们是否相同（用两组 样本来检验）； （2）（由一组样本）猜出总体的分布（假设），然 后用（另一组）样本检验它是否正确。
需要注意的问题是，两种分布是否相同，一般包 含了参数（均值、方差等）是否相同的问题。如果两 个总体的分布函数形式相同，而参数不同，也将被判 别为概率分布不同。
记 ni 为样本 x1，x2,·,xn 中落在区间 i 中的个数（频次或频 · · 数），那么，频率ni /n （n 至少为50， 最好100 以上）与 概率 pi 之差应当很小，否则就应当拒绝假设H0 (总体的累 积概率分布函数为 F(x) ).
可以证明 (K. Pearson), 在 H0 成立的条件下, 统计量:
如果我们把xi = yi 的个数记为n0, 并从样本总数 n 中扣 除, 则 m = n – n0 , 表示了n 个样本中 xi yi的个数。 m 个样本对中， 把xi - yi > 0的个数记为n+ , xi - yi < 0 的个数记为n- , 则有m = n+ + n- . 设整数 r 满足: 0 r m, 则可以由下式计算出 “xi - yi > 0的个数为n+ ” 的概率 :
配对样本：
是按照问题本身的属性，“天然”配对的。也就是说， 不能各自独立地颠倒顺序。
例：用两套问卷测量 20 个管理人员的素质，两套问卷的满 分都是200分，两套问卷测得的结果如表：
卷A
卷B
147 150 152 148
146 151 154 147
155
152
146
147
149
148
148
146
151
于是, 我们又假设检验:
H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) )
H1 : p 0.5 (即 F(x) G(x)) . 对于显著性水平, 只要判断 | z |是否大于 z /2 ( 或者z的显 著性水平是否小于), 就可以得出拒绝还是接受H0: p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) )了.
P(r k1 )

2
确保k1的外侧概率小于等于/2, 从而求出k1.
进而, 在假设p = 0.5 (H0假设) 的前提下, 按照B(m, p) 的概率计算公式, 对 r 从小到大, 求累积概率:
P(r k
2
)

2
确保 k2 的外侧概率小于等于/2, 从而求出k2 .
如果实际的“xi - yi > 0的个数n+ ”在(k1 ,k2)中就接受 H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) ), 否则拒绝H0 ,认为p 0.5, 即 F(x) G(x) .
根据上表, 算得正负号如下表:
+ + + + + + + + + + + 0 +
此时, 正负号的个数 m =19, 所要检验的参数 p =0.5 , mp10,我们这里按大样本类型来处理. 统计出正号的个数 n+ =12 . 设定随机变量 U , 若xi - yi > 0出现, 令U = 1 , 若xi - yi < 0出 现, 令 U = 0 . 于是可以计算出 z 统计量的值如下:
16.40
16.00
17.10
16.90
问: 两种激励法的效果有无显著性差异(两种激励方法 的总体分布是否相同)?
该检验问题可以用参数检验的方法来检验两种激励方 法的平均效果有无显著性差异.
2. 检验两个总体的分布是否相同的另一种方法: Wilcoxon 秩和检验法 (序号和检验法)
设有两个总体的样本观测值 x1，x2，·，xn 与y1，y2 ,·， · · · · ym , 可能 m n . 两组样本是可以各自独立颠倒顺序的. 不妨设 n m , 把两组样本放在一起, 按样本观测值的大 小重新排序, 那么每个观测值就有一个序号, 称为秩. 把样 本个数少的这组样本x1，x2，·，xn的序号(秩) 加总起来, · · 记为 W . 如果两个总体的分布相同, 那么样本x1，x2，·， · · xn与y1，y2 ,·，ym 应当是均匀混合的, 也就是说, W 不能太 · · 小, 也不能太大. W 太小, 说明样本x1，x2，·，xn较多地集 · · 中在左段. W 太大, 说明样本 x1，x2，·，xn 较多地集中在 · · 右段. 由于n m , W 应当比另一组样本的序号之和小一些. 也 就是说, W应当在某两个数字之间: W1 < W < W2. W1 , W2
§ 6.2 一个总体分布的非参数假设检验
1、检验总体分布是否与猜想的分布 F(x) 相同: 拟合优度 2 检验法 问题: 假设(猜测)总体的概率密度函数为 f (x) ( 若总体 为离散型, 则假设总体的概率分布列为 P {X = xi}= Pi ), 用 一组样本 x1，x2,·,xn来检验假设是否成立. · · 作法: (1) 零假设H0 ：总体的累积概率分布函数为 F(x) , 备择假设H1 ：总体的累积概率分布函数不是 F(x). (2) 在数轴上选取 k-1 个分点 t1，t2,·, t k-1 , 将数轴上分 · · 为 k 个区间(可以是不等区间):
152
150
150
卷A
卷B
147 148 147 150
146 146 148 153
149
147
149
146
152
148
147
149
154
152
153
150
正负号检验的一个重要的前提是：样本xi 或 yi 不能各自独 立地颠倒顺序。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例：用两套问卷测量 20 个管理人员的素质，两套问卷的 满分都是200分，测得结果如上表。问：两套问卷有无显 著性差异（本质是两套问卷的结果的分布是否相同）？
解：依据关于正负号的二项分布B（m，p）来检验 p 是 否为0.5 , 即 H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) ) H1 : p 0.5 ( 即 F(x) G(x) ) .
如果接受 p = 0.5 的假设, 就接受F(x) = G(x)的假设, 否则 就拒绝F(x) = G(x)的假设. 这种解决问题的思路是: 把非参数检验的问题转化为参 数检验问题来处理.
例: 用两种激励方法, 分别对同样工种的两个班组(每个班 组 7 个人)进行激励, 测得激励后业绩增长 (%), 数据如表: