2019-2020学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题(解析版)
浙江省丽水市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3}A =，{1,3,5}B =，则A B I 等于（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,3}C ．{1,5}D ．{3,5}【答案】B【解析】根据交集的运算法则进行计算可得答案. 【详解】解：由集合{1,2,3}A =，{1,3,5}B =，可得{1,3}A B ⋂=， 故选:B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，相对简单. 2．函数lg(2)y x x =+-的定义域是（ ）A ．[0,2]B ．[0,2)C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】B【解析】根据函数定义域的性质列出关于x 的不等式，求解可得答案. 【详解】 解：由题意得：020x x ≥⎧⎨-⎩＞,解得：02x ≤＜，故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域，是基础题. 3．cos300︒=（ ） A ．3-B ．-12C ．12D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：，答案选C ．【考点】诱导公式4．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案. 【详解】解：若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得2x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去， 综上可得：02x =-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数的核心.5．已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，且当02x ≤≤时，()f x 的图象如图所示，则()f x 的值域是（ ）A ．[3,3]-B ．[2,2]-C ．[1,3]D ．[2,3]【答案】C【解析】由02x ≤≤时，()f x 的图象可得[0,2]x ∈,()f x 的取值范围，由()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，可得函数的值域. 【详解】解：由02x ≤≤时()f x 的图象，可得当[0,2]x ∈，1()3f x ≤≤， 由()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，可得当[2,0]x ∈-，1()3f x ≤≤，综合可得，()f x 的值域是[1,3]， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型. 6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【答案】A【解析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【详解】 ∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x 的系数，属于基础题．7．已知123a =，3log 2b =，21log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】A【解析】根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出b c a 、、的取值范围可得到结论. 【详解】解：由题意得：12313a =＞，3330=log 1log 2log 3=1b =＜＜， 故01b ＜＜，221log log 1=03c =＜，故可得：a b c >>， 故选:C. 【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键.8．函数3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦C ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案. 【详解】 解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos y x =得单调递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈，可得2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+， 故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题. 9．设a R ∈，若{}2|220[1,3]x x ax a -++≤⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,3]- B ．[3,)+∞C ．112,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】利用不等式与函数之间的关系，设2()22f x x ax a =-++，利用二次函数图像和性质可得结论. 【详解】解：设2()22f x x ax a =-++，{}2|220A x x ax a =-++≤,由{}2|220[1,3]x x ax a -++≤⊆，可得：若A =∅,则244(2)a a ∆=-+＜0，即：22a a --＜0，可得12a -＜＜；若A ≠∅，则0(1)0(3)013f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪⎩＜＜，即21311513a a a a a ≥≤-⎧⎪≤⎪⎪⎨≤⎪⎪⎪⎩或＜＜,即：1125a ≤≤， 综上可得：1115a -≤＜， 故选：D. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10．已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[2,3)C ．(0,1)[2,)+∞UD ．(0,1)[2,3)⋃【答案】D【解析】设2()28g x x ax =-+，可得其对称轴为x a =,分1a ＞与01a ＜＜进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案. 【详解】解：由题意得：设2()28g x x ax =-+，可得其对称轴为x a =；当1a ＞时，由复合函数的单调性可知，()g x 在[1,2]单调递减，且()g x ＞0，可得：12(2)0a a g ⎧⎪≥⎨⎪⎩＞＞，解得：23a ≤＜，当01a ＜＜时，由复合函数的单调性可知，()g x 在[1,2]单调递增，且()g x ＞0，可得：011(1)0a a g ⎧⎪≤⎨⎪⎩＜＜＞，解得：01a ＜＜，综上可得：23a ≤＜或01a ＜＜ 故选：D. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11．若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．7,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由1cos sin 4x y +=，可得1sin cos 4y x =-,可得cos x 的取值范围将，1sin cos 4y x =-代入2sin sin x y -可得关于cos x 的二次函数，由二次函数性质可得答案.【详解】解：由1cos sin 4x y +=，可得1sin cos 4y x =-， 由1cos 1x -≤≤，1sin 1y -≤≤，可得3cos 14x -≤≤， 可得：2222131sin sin 1cos (cos )cos cos (cos )1442x y x x x x x -=---=-++=--+，当3cos 4x =-时，2sin sin x y -的最小值为916-，当1cos 2x =时候，2sin sin x y -的最小值为1， 则2sin sin x y -的取值范围是9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12．设0,R a b ≠∈，()()12()21,[1,2]x f x ax bx a b x -=---+∈-，（ ）A ．若()0f x ≥恒成立，则(3)0a b a -≥B ．若(3)0a b a -≤，则()0f x ≤恒成立C ．若()0f x ≤恒成立，则(3)0b b a -≥D ．若(3)0b b a -≤，则()0f x ≥恒成立【答案】C【解析】将()f x 化简为()1()21(1)(),x f x x ax a b -=--+-由121x --与1x -符号相同，分()0f x ≥恒成立与()0f x ≤恒成立进行讨论可得答案. 【详解】 解：由题意得：()()()121()2121(1)(),[1,2]x x f x ax bx a b x ax a b x --=---+=--+-∈-，易得：121x --与1x -符号相同，若()0f x ≥恒成立，则0ax a b +-≥恒成立， 设()a x a g x b =+-，可得(1)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，可得030b b a ≤⎧⎨-≤⎩，故(3)0b b a -≥，同理：若()0f x ≤恒成立，则则0ax a b +-≤恒成立，(1)0(2)0g g -≤⎧⎨≤⎩可得：030b b a ≥⎧⎨-≥⎩，故(3)0b b a -≥， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对()f x 进行化简是解题的关键.二、填空题13．设全集U =R ，集合{|1}A x x =≥，{|(3)(2)0}B x x x =-+<，则A B =I ______，()U A B ⋃=ð_______.【答案】3|}1{x x ≤< {|2}x x ≤-【解析】计算出集合B ，由集合的运算法则可得A B I 及()U A B U ð的值. 【详解】解：由集合{|1}A x x =≥，{|(3)(2)0}{|23}B x x x x x =-+<=-<<， 可得{|13}A B x x ⋂=≤<，{|2}A B x x ⋃-＞，(){|2}U A B x x ⋃=≤-ð， 故答案为：3|}1{x x ≤<；{|2}x x ≤-. 【点睛】本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 14．102255-+=__________；()22log log 16=_________. 【答案】652 【解析】利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.【详解】 解：10216255115525-+=+=+=，()222log log 16log 42==，故答案为：65；2. 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧»AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧»AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是___________，弧田的面积是__________.【答案】63 1293π-【解析】设弧»AB 所对的圆心角为α,由弧长公式计算可得α的值，计算可得弦AB 的长，计算出扇形的面积及OAB ∆的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去OAB ∆的面积计算可得答案. 【详解】解：设弧»AB 所对的圆心角为α，由题意可得：46πα=⨯，23απ=，6OAB π∠=, 可得：32cos26636AB OA π=⨯=⨯=， 可得弧田的面积为扇形的面积减去OAB ∆的面积， 可得：2121=6-636sin 301293232o S ππ⨯⨯⨯⨯=-弧田 故答案：631293π-【点睛】本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16．某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是0tN N e λ-=，其中0N ，λ是正的常数，当02N N =时，t =_______. 【答案】2In λ-【解析】将02N N =代入0tN N e λ-=中计算可得t 的值.【详解】解：由02N N =及0tN N e λ-=，代入可得：002t N N e λ-=，2teλ-=，2In t λ=-，2t In λ=-，故答案为：2In λ-.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17．已如函数()sin()(,R)f x x ωϕωϕ=+∈，若04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的最大值是__________. 【答案】7 【解析】由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，可得4214458T πππ≥-=及274428T πππ≥-=，解之可得ω的最大值. 【详解】 解：由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，易得：472825πππ＜＜， 且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得当5(284x ππ∈,)时与2,()47x ππ∈均单调， 可得4214458T πππ≥-=，27T π≥，同理274428T πππ≥-=，7T π≥， 综上可得：27T π≥，即：227ππω≥， 可得7ω≤，故ω的最大值是7， 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______. 【答案】5【解析】将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案. 【详解】解：由2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x xx g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =，当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =， 此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19．已知函数2(),R,10f x x ax b b a =++∈-≤≤，若()f x 在[1,1]-上存在零点，则实数b 的取值范围是______. 【答案】124b -≤≤ 【解析】设设,s t 是方程()0f x =的解，其中11t -≤≤，由韦达定理列出关于,s t 的不等式组，可得实数b 的取值范围.【详解】解：设,s t 是方程()0f x =的解，其中11t -≤≤，可得：s t a st b+=-⎧⎨=⎩，可得b t a t +=-，2b t at =--，其中10a -≤≤，由二次函数性质可得，2b t at =--的对称轴为2a -，可得1022a ≤-≤， 可得当1t =-时，b 最小，此时1b a =-+，10a -≤≤，可得21b -≤≤-， 当2a t =-时，b 最大，此时24a b =，10a -≤≤，可得104b ≤≤， 综上可得：124b -≤≤， 故答案为：124b -≤≤. 【点睛】本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题20．已知1tan 2α=，且α是第三象限角， （1）求sin α的值；（2）求2sin sin cos()2πααπα⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)5-;(2)25. 【解析】（1）由同角三角函数的关系可得2sin cos αα=，结合22sin cos 1αα+=，α是第三象限角可得sin α，cos α的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入sin α，cos α的值可得答案.【详解】解：(1)由1tan 2α=，可得sin 1tan cos 2ααα==，即2sin cos αα=， 可得222sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，由α是第三象限角，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故sin α的值为5-(2) 22sin sin cos()cos sin cos 2πααπαααα⎛⎫++⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭,代入sin α=cos α=可得原式422555=-=. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 1a =;(2)证明见解析；(3) 13k k ≥≤-或【解析】（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值；（2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，可得k 的范围.【详解】 解：(1)由函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =， 即：1(0)02a f -==，1a =； （2）由(1)得：12()21xx f x -=+，任取12x x R ∈,且12x x ＜， 则122112*********(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++， Q 12x x ＜，∴21220x x -＞，即：2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++＞， 12()()f x f x ＞，即()f x 在R 上是减函数；（3）Q ()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为 ()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，Q ()f x 在R 上是减函数，∴21t kt t -≥-,2(1)10t k t -++≥恒成立，设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立，可得2(1)40k +-≥，解得13k k ≥≤-或，故k 的取值范围为：13k k ≥≤-或.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22．已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤【解析】（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<),代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+； (2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈, 由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+， 由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤，实数m 的取值范围为：03m ≤≤.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23．已知函数21()||(,R)2f x x x a b a b =+-+∈， （1）当14a >时，若()()12f x f x =且12x x ≠，证明：1212x x +≤； （2）当11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，求2+a b 的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2)1-【解析】（1）将21()||2f x x x a b =+-+化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设211()22g x x x a b =+-+，211()22h x x x a b =-++，由当11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，列出关于b a 、的不等式组，可得2+a b 的最大值.【详解】解：（1）由21()||(,R)2f x x x a b a b =+-+∈，可得 2211,22()11,22x x a b x a f x x x a b x a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩＜，可得211,22y x x a b =+-+其对称轴14x =-， 211,22y x x a b =-++其对称轴为14x = 易得：设当12x a x ＜＜时候，1211242x x =⨯=+； 当12a x x ＜＜，由函数单调性可得不存在，()()12f x f x =且12x x ≠；当12x x a ＜＜时，设1x 关于14x =的对称点为3x ，则3112x x +=，易得211,22y x x a b =+-+与211,22y x x a b =-++函数的大小和开口方向一致，对称轴不同， 可得()()()123f x f x f x ==，且此时23x x ＜，由3112x x +=，此时2112x x +＜， 综上可得：若()()12f x f x =且12x x ≠， 1212x x +≤ （2）设211()22g x x x a b =+-+，211()22h x x x a b =-++，由11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，可得1(1)11(1)111()14g g g ⎧⎪-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤-≤⎩，可得3112225112221511716216a b a b a b ⎧-≤-+≤⎪⎪⎪-≤-+≤-⎨⎪⎪-≤-+≤⎪⎩，得15111622a b -≤-+≤-① 同理可得1(1)11(1)111()14h h h ⎧⎪-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎩，可得3112225112221511716216a b a b a b ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤+≤-⎨⎪⎪-≤+≤⎪⎩， 可得15111622a b -≤+≤- ② 2⨯②得15218a b -≤+≤-， 可得2+a b 的最大值为1-.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.。
(9份试卷汇总)2019-2020学年浙江省丽水市数学高一(上)期末达标检测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．等边三角形ABC 的边长为1，BC a =r ，CA b =r，AB c =r ，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．3B ．3-C ．32D ．32-2．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为 A ．2B ．22C ．32D ．43．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．64．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥P ABCD -中，底面边长为1．侧棱长为2，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C 2D ．125．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，7EF =AD 与BC 所成角的大小为（ ）A.150︒B.60︒C.120︒D.30︒6．在直角三角形ABC 中，2C π=，3AC =，对于平面ABC 内的任一点M ，平面ABC 内总有一点D 使得32MD MB MA =+u u u u r u u u r u u u r，则(CD CA ⋅=u u u r u u u r )A ．1B ．2C ．4D ．67．已知()22f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集是()1,3-，若对于任意[]1,0x ∈-，不等式()4f x t +≤恒成立，则t 的取值范围（ ）A.(],2-∞B.(],2-∞-C.(],4-∞-D.(],4-∞8．《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈o )A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸9．已知ABC ∆的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（ ） A.15B.18C.21D.2410．若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．±1D ．32-11．在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件12．已知1OA =u u u v，3,0OB OA OB =⋅=u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则mn等于（ ）A ．13B ．3C 3D 3二、填空题13．已知a ＞0且a≠1，若函数f （x ）=3,2,2x x a log x x -≤⎧>⎨⎩的值域为[1，+∞），则a 的取值范围是______．14．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是______． 15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．16．()()()3log ,02,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则19f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为________三、解答题17．已知圆C 经过()()3,3,2,2P Q --两点，且圆心C 在x 轴上． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l PQ P ，且l 截y 轴所得纵截距为5，求直线l 截圆C 所得线段AB 的长度． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由.19．某商品在最近100天内的单价()f t 与时间t 的函数关系是()()22(040,)45240100,2tt t N f t t tt N ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩，日销售量()g t 与时间t 的函数关系是()()11120100,.33g t t t t N =-+≤≤∈求该商品的日销售额()S t 的最大值.(日销售额=日销售量⨯单价)20．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交525,55A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、722,1010B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点．(1)求()cos αβ-的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2αβ-的值．21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点.求证：MN PAD //平面 .22．已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C B D D B D A C BB13．(]1,2 14．(－1,3) 15．8 16．14三、解答题17．(1) 2211)3(x y ++＝(2) ||5AB = 18．（Ⅰ）略； （Ⅱ）略； （Ⅲ）略.19．这种商品日销售额()S t 的最大值为25003，此时12t =． 20．（1）10；（2）4π-21．见证明22．（1）2y x =．（2）略．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于3m 的概率是（ ） A.12B.13C.14D.342．下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”； ③“直线a 、b 为异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4．已知函数()πf x sin ωx (ω0)4⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对于任意x R ∈，都有()()f f πx 0x +-=，且()f x 在()0,π有且只有5个零点，则ω(=)A ．112B ．92 C ．72D ．525．已知实数a 满足35a =，则函数5()2log 3xf x a x =+-的零点在下列哪个区间内A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．已知定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()2x f x =，则23(log )(2018)16f f +=（ ） A ．54 B ．53C ．76D ．837．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A.12x π=B.6x π=C.3x π=D.23x π=8．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点9．在平行四边形ABCD 中，F 是CD 边的中点，AF 与BD 相交于E ，则AE =u u u r（ ）A.1233AB AD +u u u r u u u rB.1344AB AD +u u ur u u u r C.1455AB AD +u u u v u u u v D.2355AB AD +u u u v u u u v 10．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ）A.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥B.若,,m n m n αα‖‖则‖C.若,m m n α⊥⊥，，则n αPD.若,,mm n n αα⊥⊥‖则，，11．设集合{}=2m x x >，{}=3p x x <，那么“x m ∈或x p ∈”是“x p m ∈⋂”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数()x2f x 2log x 3=+-的零点所在区间( )A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4二、填空题13．若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6x π=-对称，则a =________．14．不等式11x<的解为 。
浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
评卷人 得分
二、填空题
13．设全集U R ，集合 A {x | x 1} ，B {x | (x 3)(x 2) 0}，则 A B ______，
ðU ( A B) _______.
14．
1
25 2
50
__________；
log2
log2
16
_________.
试卷第 4页，总 4页
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1．B 【解析】 【分析】
参考答案
根据交集的运算法则进行计算可得答案. 【详解】
解：由集合 A {1, 2,3} ， B = {1,3,5} ，可得 A B {1,3}，
故选:B. 【点睛】 本题主要考查集合的交集运算，相对简单. 2．B 【解析】 【分析】 根据函数定义域的性质列出关于 x 的不等式，求解可得答案. 【详解】
Z
，
故选：A. 【点睛】 本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】
利用不等式与函数之间的关系，设 f (x) x 2 2ax a 2 ，利用二次函数图像和性质可得
结论. 【详解】
解：设 f (x) x 2 2ax a 2 ， A x | x2 2ax a 2 0 , 由 x | x2 2ax a 2 0 [1,3] ，
的常数，当 N 2N0 时， t _______.
17．已如函数
f
(x)
sin(x
)(,
R)
，若
f
4
2019-2020学年 浙江省丽水四校 高一上学期10月阶段性考试数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省丽水四校(庆元、青田、龙泉和遂昌中学) 高一上学期10月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B =I （ ） A ．{1,0,1}- B ．{1,0,1,2}- C ．{1,0,1,2,3}-D ．{|22}x x -≤≤【答案】B【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}1,0,1,2,3A =-，{|22}B x x =-≤≤， 所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设{}02A x x =≤≤，{}12B y y =≤≤,下列图形能表示从集合A 到集合B 的函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】从集合A 到集合B 的函数，即定义域是A ，值域为B ，逐项判断即可得出结果.【详解】因为从集合A 到集合B 的函数，定义域是A ，值域为B ；所以排除A,C 选项，又B 中出现一对多的情况，因此B 不是函数，排除B. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型. 3．下列各组表示同一函数的是（ ）A ．y =与2y = B ．21(),()11x f x g x x x -==+-C ．1()1()y x x R y x x N =-∈=-∈与D ．ty x y 1111+=+=与 【答案】D【解析】试题分析：A 中函数定义域不同；B 中函数函数定义域不同；C 中函数定义域不同；D 中函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数 【考点】函数概念4．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是( )A ．3x <-或2x >-B ．21x <-或13x >- C ．1123x -<<- D ．32x -<<-【答案】C【解析】【详解】试题分析：不等式250ax x b -+>化为250ax x b -+-<，其解集为{|32}x x -<<-，则方程250ax x b -+-=的根为-3和-2，所以22(3)5(3)0{(2)5(2)0a b a b --+⨯--=--+⨯--=，解得1{6a b =-=-，则不等式250bx x a -+>化为26510x x +<+，其解为1123x -<<-．故选C ． 【考点】一元二次不等式的解集点评：求一元二次不等式的解集是高中阶段一个重要的知识点．5．函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则a b +=（ ） A ．13- B ．0 C ．13D ．1【答案】C【解析】函数为偶函数，则定义域关于坐标原点对称，即：1120,3a a a -+=∴=， 结合二次函数的性质可得，其对称轴：0,02bb a-=∴=， 据此可得：13a b +=. 本题选择C 选项.6．若函数f （x ）的定义域为[0，3），则函数f （2x +1）的定义域是（ ） A ．[)1,7 B ．1,72⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)0,3 【答案】C【解析】根据复合函数定义域之间的关系可得[)210,3x +∈,解出x 即可 【详解】解：∵()f x 的定义域为[)0,3, ∴由0213x ≤+<得112x -≤<, 即函数()21f x +的定义域是1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭, 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解,结合复合函数的定义域之间的关系是解决本题的关键 7．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()2231f x x x =-++，则0x <时，()f x =（ ）A ．2231x x +-B ．22x 3x 1--C ．2231x x -+-D ．2231x x --+【答案】A【解析】设0x <，则0x ->，根据函数()f x 为R 上的奇函数，即可求得0x <时，函数的解析式，得到答案. 【详解】由题意，设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()2231f x x x =-++，可得()22()[2()3()1]231f x f x x x x x =--=---+-+=+-，即当0x <时，()2231f x x x =+-.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，则()()()2,,3f f f π--的大小关系是（）A ．()()()32f f f π>->-B ．()()()23f f f π>->-C ．()()()32ff f π<-<-D ．()()()23ff f π<-<-【答案】C【解析】由f （x ）是定义在R 上的偶函数，将f （﹣2），f （π），f （﹣3）中的自变量转化为同一个单调区间[0，+∞）上，再比较大小即可． 【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （﹣2）＝f （2），f （﹣3）＝f （3）； 又∵当x ∈[0，+∞）时，f （x ）是减函数， 且2＜3＜π；则f （2）＞f （3）＞f （π）； 故f （﹣2）＞f （﹣3）＞f （π）； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题． 9．已知函数f(x)＝x 2+2kx-m 在区间(2，6)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．(-6，2)B ．(－∞，2)C ．(－∞，-6]∪[-2，＋∞)D ．(－∞，-6)∪(-2，＋∞)【答案】C【解析】根据二次函数图像可得满足题意的条件，解不等式得结果. 【详解】由题意得二次函数对称轴不在区间(2，6)内，即2626k k k k -≤-≥∴≥-≤-或或，选C.研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.10．无论m 取任何实数，方程23322x x m x ⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭的实数个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．不确定【答案】B【解析】把方程的实根的个数，转化为函数232y x x =-+与直线32y m x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的交点的个数，作出函数232y x x =-+，结合直线过定点，即可求解. 【详解】由题意，方程23322x x m x ⎛⎫-+=⋅-⎪⎝⎭的实根的个数， 即为函数232y x x =-+与直线32y m x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的交点的个数，画出函数232y x x =-+的图象，如图所示， 而直线32y m x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭恒过定点3(,0)2， 所以无论m 取任何实数，函数232y x x =-+与直线32y m x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭总有两个交点， 即方程23322x x m x ⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭的实根的个数为2. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及方程根的个数的判定，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11．若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．12．若函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，在R 上满足对于任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]3,2--B ．[]3,0-C ．(],2-∞--D ．(),0-∞【答案】A【解析】由函数()f x 对于任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，得到函数()f x 在R 上为单调递增函数，结合分段函数的解析式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 对于任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，可函数()f x 在R 上为单调递增函数，要使得函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩为单调递增函数，则满足212015a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得32a --≤≤，即实数a 的取值范围是[]3,2--.故选：A . 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性的求解参数，其中解答中熟记分段函数的单调性的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．设全集{}2,3,23U a =-，{}2,A b =，{}5U C A =，则a =______________，b =______________.【答案】4 3【解析】根据{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，即可求解,a b 的值，得到答案.【详解】由题意，全集{}2,3,23U a =-，集合{}2,A b =，因为{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，解得4,3a b ==.故答案为：4,3a b ==. 【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．（1）函数1x y +=____________________.（2）已知)1fx =+则函数()f x 的解析式为_______________________.【答案】(2,1)(1,)--⋃-+∞ ()21,1f x x x =-≥【解析】（1）由函数1x y +=1020x x +≠⎧⎨+>⎩，即可求解函数的定义域；（2）令11t =≥，求得()21,1f t t t =-≥，进而得到函数()f x 的解析式.【详解】（1）由题意，函数01x y +=1020x x +≠⎧⎨+>⎩，解得2x >-且1x ≠-，所以函数的定义域为(2,1)(1,)--⋃-+∞；（2）令11t =≥1t =-，又由)1fx =+，所以()22(1)2(1)1,1f t t t t t =-+-=-≥， 即函数()f x 的解析式为()21,1f x x x =-≥.故答案为：（1）(2,1)(1,)--⋃-+∞； （2）()21,1f x x x =-≥.【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，以及函数的解析式的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，列出不等式组，以及熟练应用换元法求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．设()()()2221,11.1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________；若()34f a =，则a =______________.【答案】15- 34-【解析】化简函数的解析式()()()21111x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪+⎩，结合分段条件，代入即可求解.【详解】由题意，函数()()()()()222211111111x x x x f x x x x x ⎧⎧--≤-≤⎪⎪==⎨⎨>>⎪⎪++⎩⎩，则()21112()()1(2)55f f f f -===-⎡⎤⎣⎦+-； 当1a ≤时，即11a -≤≤时，令34a -=，解得34a =-；当1a >时，即1a <-或1a >时，令2131()4a =+-，解得3a =±（舍去）. 故答案为：15-，34-. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及分段函数的应用，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．函数()24221212x x x x x f ++⎛⎫=>- ⎪+⎝⎭的值域是______________.【答案】)1,⎡+∞⎣【解析】设21t x =+，则21x t =-，得到()21t t tf =+-，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，设21t x =+，则21x t =-，因为12x >-，所以0t >，则()22(1)1222111f t t t t t t t t t -+-+-+===+-≥=，当且仅当2tt =时，即t =，即x =时，等号成立，所以函数()f x 的值域为)1,⎡+∞⎣.故答案为：)1,⎡+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理使用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题.17．已知函数()f x 满足()()2f x f x =-且在区间[)1,+∞上单调递减，则满足不等式()()21f x f x ->-的x 的取值范围是______________. 【答案】3(,)2+∞【解析】由()f x 满足()()2f x f x =-，可得函数()f x 关于1x =对称，结合函数的单调性，把不等式转化为()()2111x x --<--，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()f x 满足()()2f x f x =-，可得函数()f x 关于1x =对称， 又由函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以在区间(],1-∞上单调递增， 又因为()()21f x f x ->-，所以()()2111x x --<--，即3x x -<， 整理得22(3)x x -<，解得32x >，即实数x 的取值范围是3(,)2+∞. 故答案为：3(,)2+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中熟练应用函数的对称性，合理转化为含有绝对值的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为__________.【答案】(,0)(4,)-∞+∞U【解析】试题分析：把原不等式看成是关于a 的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在a 轴上方即可，设关于a 的函数44)2(24)4(x f(x )y 22+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴x 的取值范围是{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞U ．【考点】换主元法解决不等式恒成立问题.【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．把原不等式看成是关于a 的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在a 轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.19．若关于x 的函数()()322220x tx x tf x tt x =+++>+的最大值为M ，最小值为m ，且4M m +=，则实数t 的值为______________.【答案】2【解析】化简函数()32232222x tx x t x x t x t x f x t ++++=+=++，令()322x x g x x t+=+，得到函数()g x 为奇函数，再根据题意，得到()M t N t -=--，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()32232222x tx x t x x t x t x f x t++++=+=++， 令()322x x g x x t +=+，可得函数()()3322()2()2x x x x g x g x x t x t-+-+-==-=-++， 所以函数()g x 为奇函数，因为函数()f x 的最大值为M ，最小值为m ，且4M m +=，所以()M t N t -=--，即24t M N =+=，所以2t =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的最大值和最小值的应用，其中解答中合理化简函数的解析式，熟练应用函数的奇偶性进行转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题20．已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =． ()1当2a =时，求A B ⋃；()2若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|27x x -≤<；（2）4a ≤-或112a -≤≤. 【解析】（1）由集合并集的运算得：A ={}|17x x <<，所以A ∪B ={}|27x x -≤<，（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：A ∩B =A ，得A ⊆B ，讨论①当A =∅，②当A ≠∅，综合可得解．【详解】解：（1）当a =2时，A ={}|17x x <<，所以A ∪B ={}|27x x -≤<，（2）因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，①当A =∅，即a -1≥2a +3即a ≤-4时满足题意，②当A ≠∅时，由A ⊆B ，有12312234a a a a -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜，解得-112a ≤≤， 综合①②得： 实数a 的取值范围为：4a ≤-或-112a ≤≤， 【点睛】本题考查了集合并集的运算及集合间的包含关系及空集的定义，属简单题．21．已知函数()b f x ax x =+（其中,a b 为常数）的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）证明函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：⑴根据函数奇偶性的定义判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑵根据函数单调性的定义证明即可；解析：（1）解：∵函数()b f x ax x =+的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点 ∴2,52,22a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ ∴()1f x x x=+. 判断：函数()1f x x x =+是奇函数 证明：函数()f x 的定义域{}0x x ≠，∵对于任意0x ≠，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， ∴函数()1f x x x=+是奇函数. （2）证明：任取121x x ≤<，则()()()()121212*********x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵121x x ≤<，∴1212120,10,0x x x x x x -->，∴()()12f x f x <.∴()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.22．设函数()221x t f x x t +=+-. （I ）当2t =时，求函数()f x 在区间[]3,1-中的值域；（II ）若[]1,2x ∈时，()0f x >恒成立，求t 的取值范围.【答案】（I ）[]3,6-；（II ）()0,∞+.【解析】（I ）结合二次函数的性质，得到函数在[]3,2--上单调递减；在区间[]2,1-上单调递增，求得函数的最值，得到函数的值域；（II ）由()22221()1x tx t x t t t f x ++-=+-+-=，根据当[]1,2x ∈时，函数()0f x >恒成立，分类讨论，使得()min 0f x >，即可求解，得到答案.【详解】（I ）由题意，当2t =时，函数()2241(2)3x x x f x ++=+-=， 结合二次函数的性质，可得函数在[]3,2--上单调递减；在区间[]2,1-上单调递增， 所以当2x =-时，函数取得最小值，最小值为()23f -=-，当1x =时，函数取得最大值，最大值为()16f =，所以函数()f x 的值域为[]3,6-.（II ）由()22221()1x tx t x t t t f x ++-=+-+-=， 因为当[]1,2x ∈时，函数()0f x >恒成立，当1t -≤时，即1t ≥-时，()min (1)30f t x f ==>，解得0t >；当12t <-<时，即21t -<<-时，()n 2mi ()10t f t t x f -+=-->=， 即22131()024t t t -+=-+<，此时解集为φ； 当2t -≥时，即2t ≤-时，()min (2530)f x f t =+>=，解得35t >-，不符合题意.所以实数t 的取值范围()0,∞+.【点睛】本题主要考查了含参的二次函数在区间的上的最值问题，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---. （I ）若()01f ≤，求实数a 的取值范围；（II ）当2a >时，讨论方程()0f x x +=在R 上的解的个数.【答案】（I ）1(,]2-∞； （II ）2个.【解析】（I ）根据()01f ≤，列出不等式，对实数a 进行分类讨论，即可求解； （II ）由()()g x f x x =+，化简得到函数()g x 的解析式，利用二次函数的性质，得出函数()g x 的单调性，根据零点的存在定理，即可求解.【详解】（I ）因为()01f ≤，即()()()200011f a a a a a a =-+---=+≤， 当0a ≤时，不等式为01≤恒成立，满足条件，当0a >时，不等式为1a a +≤，解得102a <≤， 综上所述a 的取值范围是1(,]2-∞. （II ）由题意，函数()()222(22),22,0(22)2,0x a x x a g x f x x x ax a x a x a x a x ⎧+-≥⎪=+=-+≤<⎨⎪-++<⎩，可得当x a ≥时，函数()g x 的对称轴方程为1x a =-；当0x a ≤<时，函数()g x 的对称轴方程为x a =；当0x <时，函数()g x 的对称轴方程为1x a =+，所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在(0,)a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 因为()222020,()(22)2(1)1g a g a a a a a a a =>=+-=-=--+， 又由2a >，所以2()(1)1g a a =--+在()2,+∞上单调递减，所以()(2)0g a g <=，所以()f x 在(0,)a 和(),a +∞上各有一个零点，综上所述2a >时，函数()0f x x +=在R 上有两个解.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质的应用，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.。
2020-2021学年浙江省丽水市高一上学期期末考试数学试卷带讲解
19.已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 取值范围.
（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据交集的运算可得结果；
（2）根据 列式可解得结果.
【详解】（1）由题意有 ， .
∴ .
（2）由题意有 得 .20.已知函数 .
【详解】因为当 时， ，则函数 在 上递减，
又函数 是偶函数，所以 在 上为增函数；故A错；
因为函数 是偶函数， 是奇函数，
所以 ， ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 以 为周期；
则 ，所以 关于直线 对称，
因此当 时， ；
当 时， ，则 ，又 ，所以 ；
因为偶函数关于 轴对称，所以当 时， ；
综上，当 时， ；
A. B. C. D.
CD
【分析】
由两边都是正数的不等式可以平方，不等号方向不变可判断A，根据不等式两边同乘以一个负数，正数的性质，即可判断答案BCD.
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，故A错误；
因为 ，所以两边同乘以负数 ，可得 ，故B错误；
因为 ，所以两边同乘以负数 ，可得 ，故C正确；
因为 ，所以两边同乘以正数 ，可得 ，故D正确.
14.若 ， ，则 ________.
1
【分析】
先由 得到 ，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果.
【详解】由 可得 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
15.函数 的单调递增区间是______.
【分析】
先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间.
【详解】由 得 .
浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷
浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·南昌期中) 已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，3}，集合B={2，4}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A . {0，5}B . {0，1，2，3，4，5}C . {0，1，2}D . {5}2. （2分） (2019高一上·淮南月考) 函数的值域是（）A .B .C .D .3. （2分）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，则此四棱锥的体积为（）A . 4B .C . 12D .5. （2分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A . f（x）=2xB . f（x）=xsinxC .D . f（x）=﹣x|x|6. （2分）曲线上的点到直线的最短距离是（）．A . 0B .C .D .7. （2分）若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（）(1)——-2（1.5）—— 0.625（1.25）—— -0.984（1.375）—— -0.260（1.438）—— 0.165（1.4065）—— -0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A . 1.2B . 1.3C . 1.4D . 1.58. （2分）函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·西安期中) 设a=log2 ，b=30.01 ， c=ln ，则（）A . c＜a＜bB . a＜b＜cC . a＜c＜bD . b＜a＜c10. （2分） (2016高二上·安徽期中) 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD . 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α11. （2分）下列各式中，表达错误的是（）A . ∅⊆{x|x＜4}B .C . ∅∈{∅，{0}，{1}}D .12. （2分）(2018高一上·牡丹江期中) 已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（）A .B .C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·徐州期中) 集合M={x|﹣2≤x≤2，N=y|0≤y≤2}．给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是________．14. （1分） (2017高一下·河北期末) 若方程x+m= 有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为________．15. （1分）过点M（1，2）且在y轴上的截距是12的直线方程是________16. （1分） (2017高二下·湖北期中) 以下几个命题中真命题的序号为________．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高二上·平罗期中) 如图，在Rt△AOB中，∠OAB= ，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB 以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，求CD与平面AOB所成角的大小．18. （10分）(2020·潍坊模拟) 已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.19. （10分）已知函数y=f（x）（x＞0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x＜1时，f（x）＞0，且；（1）证明：y=f（x）是定义域上的减函数；（2）解不等式．20. （20分） (2016高一上·贵阳期末) 阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y= 中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y= 中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y= 中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y= 可知f（﹣x）=﹣f（x），即y= 是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．21. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．22. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1，若对任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、20-4、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年浙江省丽水市高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省丽水市高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角是（ ）A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】A【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 【详解】直线10x y -+=的斜率1k =， 则tan 1k α==，所以直线10x y -+=的倾斜角=4πα, 故选：A 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求法，直线的斜率，属于基础题．2．已知向量()2,3a =-，()4,b m =，若a 与b 平行，则实数m 的值是（ ） A ．83B ．83-C ．6D ．6-【答案】D【解析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果. 【详解】因为a 与b 平行，所以2346m m -=⨯∴=- 故选：D 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{0x x <或}9x > B ．{9x x <-或}0x > C ．{}09x x << D ．{}90x x -<<【答案】C【解析】由原不等式可化为290x x -<，直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由290x x -+>得：290x x -<，(9)0x x ∴-<，09x ∴<<，即不等式的解集为(0,9)， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.4．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】D【解析】由两直线垂直的性质可得． 【详解】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直， 所以20m -=，得2m =． 故选：D ． 【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．斜率存在的两直线垂直的充要条件是斜率乘积为－1，一般情况下直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=．5．已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin 10α=-，则cos α=（ ）A ．10±B ．10-C ．10D ．13【答案】C【解析】根据三角函数定义列方程，解得m ，再根据三角函数定义求结果. 【详解】由三角函数定义得sin 0,3m m α==<=-由三角函数定义得cos α==故选：C 【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A ．36 B ．72C ．55D ．110【答案】C【解析】根据等差数列前n 项和性质得7a ，再根据等差数列性质求11S . 【详解】 因为()1131371313912a a S a+⨯===，所以77a =，因为53a =，所以5710a a +=， 因为1115710a a a a +=+=， 所以()1111111552a a S +⨯==.选C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 10β=-，且()3cos 5αβ-=，则α的值（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．512π 【答案】B【解析】先根据同角三角函数平方关系求cos ,β ()sin αβ-，再根据两角和正弦公式求得sin α，即得α的值. 【详解】因为,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2sin 10β=-，所以72cos 10β=； 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以(0,)αβπ-∈，()()34cos sin 55αβαβ-=∴-=，因为sin sin()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-472322()5105102，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4πα=故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数平方关系、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．如图，在ABC 中，3AD DC =，E 是BD 上一点，若14AE t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．34【答案】B【解析】设BE BD λ=， 【详解】解：设BE BD λ=， ∵3AD DC =， ∴34AD AC =， ∴AE AB BE =+AB BD λ=+()AB AD AB λ=+-()1AB ADλλ=-+()314AB AC λλ=-+14t AB AC =+，∴13144t λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2313t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．9．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．函数()g x 的图象关于直线4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数D ．函数()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】A【解析】由辅助角公式及周期公式可求得=2ω，再根据图象变换可求得()2cos2g x x =-，再根据整体法和三角函数的性质逐一判断各选项即可．【详解】解：∵()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴2=ππω，得=2ω，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()2sin 236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos2x =-， 对于A ，由,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得，2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时cos 2y x =单调递减，则函数()g x 单调递增，则A 对；对于B ，由2,π=∈x k k Z 得，,2k x k Z π=∈，则B 错； 对于C ，()()2cos 2g x x -=--()2cos2x g x =-=，则函数()g x 是偶函数，则C 错；对于D ，由2,2ππ=+∈x k k Z 得，,42ππ=+∈k x k Z ，则D 错； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题． 10．已知实数,x y 满足0x y >>，且1x y +=，则213x y x y++-的最小值为（ ） A ．103B．32+ C．3+ D．【答案】B【解析】利用1的代换，结合基本不等式求最值. 【详解】2121312()3()()[3]33223x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y ++--++=+=+++-+-+-13[322+≥+=当且仅当()2313,,322x y x y x y x yx y -+-+-===+- 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知数列{}n a 满足11a =，2116a =，2214n n n a a a ++=，则数列{}n a 的最小项为（ ） A ．122- B ．2542-C ．52-D ．62-【答案】D【解析】先判断数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，再根据等比数列通项公式求1n n a a +，根据叠乘法得数列{}n a 的通项公式，最后根据二次函数性质以及自变量范围确定最小值. 【详解】11a =，2116a =，2214n n n a a a ++=21104n n n n n a a a a a +++∴≠∴= 所以数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为121=16a a ，公比为4，所以13114416n n n n a a --+=⋅= 当2n ≥时1(1)(6)45212211214444=1n n n n n n n n n a a aa a a a a --------⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⨯=因为1n =时1(1)(6)214=1=n n a --，所1(1)(6)24=n n n a --因此当3n =或4n =时，n a 取最小值3642--= 故选：D 【点睛】本题考查等比数列的判断、等比数列通项公式、叠乘法求通项、利用二次函数性质求最值，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.12．已知函数()()2221f x x a x a =-++，()()22212g x x a x a =-+--+，记()()()()()12f xg x f x g x H x +--=，()()()()()22f xg x f x g x H x ++-=，则()1H x 的最大值与()2H x 的最小值的差为（ ）A ．4-B ．4C ．24a a -+D ．28a a ++【答案】B【解析】先求(),()y f x y g x ==交点横坐标，再转化()1H x 、()2H x ，结合图象确定()1H x 的最大值与()2H x 的最小值的取法，最后作差得结果. 【详解】令()()f x g x =，则()()2222221212()11x a x a x a x a x a x a -++=-+--+∴-=∴=±()()()()()()()1min{,}2f xg x f x g x H x f x g x +--==()()()()()()()2max{,}2f xg x f x g x H x f x g x ++-==作(),()y f x y g x ==图象，由图可知实线部分为()1H x ，虚线部分为()2H x因此()1H x 的最大值为(1)32g a a -=-，()2H x 的最小值为()112f a a +=--， 从而()1H x 的最大值与()2H x 的最小值的差为(32)(12)4a a ----=， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图像、分段函数最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.二、双空题13．点()1,2P 到直线:10l x y --=的距离是______；过点P 且与直线l 平行的直线方程为______.2 10x y -+=【解析】根据点到直线的距离公式求解；所求直线与l 斜率相等，点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点()1,2P 到直线的距离为d ， 则22221(1)d ===+- :10l x y ∴--=的斜率1k =，∴所求直线方程为21y x -=-，即10x y -+=，210x y -+= 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，直线平行，直线方程的点斜式，属于中档题. 14．已知()3cos 25θπθπ=-<<，则sin θ=______；()tan πθ-=______. 【答案】45-43- 【解析】利用平方关系求出sin θ的值，再根据诱导公式和商数关系求()tan πθ-的值. 【详解】 因为()3cos 25θπθπ=-<<， 所以32πθπ<<， 所以sin 0θ<，所以4sin 5θ==-. ()sin 4tan tan cos 3θπθθθ-=-=-=-. 故答案为：45-；43-. 【点睛】本题主要考查同角的平方关系和商数关系的应用，考查诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则n a =______.122334201920201111...a a a a a a a a ++++=______. 【答案】21n -20194039【解析】先利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，在利用裂项求和即可122334201920201111...a a a a a a a a ++++的值. 【详解】2n S n =∴1n n n a S S -=-，2n ≥∴()22121n a n n n =--=-，2n ≥当1n =时，21111a S ===.故21n a n =-，满足1n =∴21n a n =-又()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴122334201920201111...a a a a a a a a ++++ 111111..111111213235257240374039.⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝++⎭= 11121403920194039⎛⎫-=⎪⎭=⎝ 故答案为：21n -；20194039. 【点睛】本题考查n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项求和，解题关键是掌握裂项求和的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.三、填空题16．已知某扇形的周长是8cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角. 【详解】设扇形的半径为cm r ，所对弧长为cm l ，则有28142r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24r l =⎧⎨=⎩，故2lrα.故答案为：2. 【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 17．若110a b <<，则下列结论中：①11a b ab <+；②3a b +>；③11a b a b->-；④22ln ln a b >.所有正确结论的序号是______.【答案】①③【解析】根据正负证明①正确；举例说明②错误；利用不等式性质说明③正确④错误.【详解】 1100,0a b a b <<∴<<110a b ab∴<<+，所以①正确； 当1,2a b =-=-时，满足110a b<<，但13a b +=-<，所以②错误； 11110,a b a b a b <<∴>->-∴11a b a b->-，所以③正确； 2211000a b a b a b<<∴>>∴<<∴22ln ln a b <，所以④错误； 故答案为：①③【点睛】本题考查利用不等式性质判断大小，考查基本分析判断能力，属基础题.18．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】先转化为2222x a x -<-，再根据两函数22,22y x a y x =-=-图象，确定边界位置，即得结果.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数22,22y x a y x =-=-图象，其中由2y x a =-与222y x =-相切得()225222,2220,4820,2x a x x x a a a -=-+--=∴∆=++=∴=-； 由(2)y x a =--过点(0,2)得2a =.由图可知5512422a a -<<∴-<<，故答案为：5,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】 本题考查不等式有解问题，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题. 19．已知非零向量,,a b c →→→，若a →与b →的夹角为4π，c a →→-与c b →→-的夹角为34π，且4a b →→-=，14c b →→-=b c →→⋅的最大值为______. 【答案】21【解析】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，根据a →与b →的夹角为4π，c a →→-与c b →→-的夹角为34π可知,,,O A B C 四点共圆，再结合余弦定理建立关系，通过不等式即可求解b c →→⋅的最大值.【详解】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=. 则14BC c b →→→=-=4BA a b →→→=-=. 又π4AOB ∠=，3π4ACB ∠=，此时，O 、A 、C 、B 四点共圆.如图，在三角形ABC 中，由正弦定理得3sin sin 4AB BC CAB π=∠， 即4143sin sin 4CAB π=∠， 可得7sin CAB ∠=， 由AB BC >那么0,2CAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ 可得3cos cos 4CAB BOC ∠=∠= 在OBC 中，由余弦定理可得2222||||cos 14BC b c b c BOC =+-⋅⋅∠= 222||||b c b c +⋅，||||28b c ∴⋅（当且仅当|||b c =∣取等号） 则||||cos 21b c b c BOC ⋅=⋅∠故答案为：21【点睛】本题考查了向量的加减运算和夹角公式的应用，基本不等式求解最值问题，属于中档题.四、解答题20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足222a c b ac +=+. （1）求角B 的大小；（2）若4b =，ABC 的面积33S =，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）9.【解析】（1）根据余弦定理直接求解；（2）先根据三角形面积公式得3ac =，再利用余弦定理求得5a c +=，即可求出周长.【详解】解：（1）∵222a cb ac +=+，∴222122a c b ac +-=， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=.（2）1sin 2344S ac ac π=== ∴3ac = 又∵2222cos3=+-b a c ac π，即()2163a c ac =+- ∴5a c +=∴ABC 的周长为459+=.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查基本分析求解能力，属基础题.21．已知向量()cos sin a x x x =+，()cos sin ,2sin b x x x =--，记函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围； （2）若()()g x f x t =+为偶函数，求t 的最小值.【答案】（1）[]2,1-；（2）min 6t π=.【解析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为2cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据余弦函数性质求值域； （2）先根据()()g x f x t =+为偶函数求得()26k t k Z ππ=-∈，再求t 的最小值. 【详解】解：（1）()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=+⋅--22cos sin 2x x x =--cos222cos 23x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 则∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42333x πππ≤+≤ 11cos 232x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的取值范围为[]2,1-.（2）因为()()2cos 223g x f x t x t π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭为偶函数， 所以()23t k k Z ππ+=∈()26k t k Z ππ∴=-∈ 因此当0k =时min 6t π=.【点睛】 本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.22．已知数列{}n a 中，12a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比大于1的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及其前n 项和n S .（2）设2n n n a b =22 (2)n n +<. 【答案】（1）2n n a n =⋅；()1122n n S n +=-⋅+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比为()1q q >，由等差中项及等比数列的通项建立方程求解方程即可得通项公式n a ，利用错位相减法求和即可；（2）由（1）及2n n n a b =可得n b n =12n <+，求和即可得证.【详解】（1）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比为()1q q >，则21221a a q q =⋅=，2231231a a q q =⋅=， 所以24a q =，236a q =，又21344a a a =+，所以21686q q =+，23840q q -+=，2q 或23q =（舍） 所以1222n n n a n-=⨯=， ∴2n n a n =⋅.121222...2n n S n =⨯+⨯++⨯，()23121222...122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯.两式相减，得()121122 (22)2212n n n n n S n n ++-=+++-⨯=--⨯， ∴()1122n n S n +=-⋅+. （2）∵2n n n a b n ==，()1122n n n ++=<=+111...12...222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()212222n n n n n ++=+= 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等差中项的性质，错位相减法，基本不等式，属于中档题.23．已知函数()()221f x x x x a a R =--+∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 在[]0,2上的最小值为0，求a 的值；（3）当0a >时，若函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，且11n m a ab -≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(),-∞+∞；（2）a =34a =；（3）73b +≥b ≤. 【解析】（1）将1a =-代入函数解析式，去掉绝对值符号，将函数写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，写出函数的单调递减区间；（2）将函数解析式化为分段函数的形式，对a 的范围进行讨论，从而确定函数的最小值点，相互对照，求得结果；（3）首先根据题意，判断出函数在区间上存在最值的条件，利用恒成立，转化得出对应的不等关系，进而求得其范围.【详解】（1）当1a =-时，()()()()22121123133x x f x x x ⎧-++≥-⎪=⎨⎛⎫++<-⎪ ⎪⎝⎭⎩ 由二次函数单调性知()f x 在(),1-∞-单调递减，在[)1,-+∞单调递减，∴()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞（2）()()()()222213133x a a x a f x a a x x a ⎧--++≥⎪=⎨⎛⎫-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎩ 当0a >时，()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，,3a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，[),a +∞单调递减， （i ）当23a ≤即6a ≥时，()()min 21340f x f a ==-= ∴134a =（舍去） （ii ）由()()222113a x a a x a -=--++≥得x =当23a <<6a <<时，()2min 1033a a f x f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∴a =.（iii）当2≥，即0a <≤时，()()min 2340f x f a ==-+=∴34a =，符合题意.综上所述，a =34a =. （3）当0a >时，由22231133a a x a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可知3a m ≥-由()222113a x a a --++=-可知n a ≤ 要使11n m a ab -≤-+-恒成立∵433a n m a +-≤+= 又∵()11111a ab a ab b a -+-≥-+-=-∴()413b a a +-≥，∴()413b +-≥∴73b +≥13b --≤. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的单调区间，根据分段函数的最值求参数，有关恒成立问题的转化，属于较难题目.。
2019-2020学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3}A =，{1,3,5}B =，则A B I 等于（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,3}C ．{1,5}D ．{3,5}【答案】B解：根据交集的运算法则进行计算可得答案.解：由集合{1,2,3}A =，{1,3,5}B =，可得{1,3}A B ⋂=， 故选:B. 点评：本题主要考查集合的交集运算，相对简单. 2．函数lg(2)y x x =+-的定义域是（ ）A ．[0,2]B ．[0,2)C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】B解：根据函数定义域的性质列出关于x 的不等式，求解可得答案.解：由题意得：020x x ≥⎧⎨-⎩＞,解得：02x ≤＜，故选：B. 点评：本题主要考查函数的定义域，是基础题. 3．cos300︒=（ ） A ．3-B ．-12C ．12D ．3 【答案】C 解：试题分析：，答案选C ．【考点】诱导公式4．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A解：根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.解：若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得2x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去， 综上可得：02x =-， 故选：A. 点评：本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数的核心.5．已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，且当02x ≤≤时，()f x 的图象如图所示，则()f x 的值域是（ ）A ．[3,3]-B ．[2,2]-C ．[1,3]D ．[2,3]【答案】C解：由02x ≤≤时，()f x 的图象可得[0,2]x ∈,()f x 的取值范围，由()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，可得函数的值域.解：由02x ≤≤时()f x 的图象，可得当[0,2]x ∈，1()3f x ≤≤， 由()f x 是定义在[2,2]-上的偶函数，可得当[2,0]x ∈-，1()3f x ≤≤，综合可得，()f x 的值域是[1,3]， 故选：C. 点评：本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型. 6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【答案】A解：先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． ∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度 故选：A ． 点评：本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x 的系数，属于基础题．7．已知123a =，3log 2b =，21log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】A解：根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出b c a 、、的取值范围可得到结论.解：由题意得：12313a =＞，3330=log 1log 2log 3=1b =＜＜， 故01b ＜＜，221log log 1=03c =＜，故可得：a b c >>， 故选:C. 点评：本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键. 8．函数3cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦C ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案.解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos y x =得单调递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈，可得2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+， 故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 故选：A. 点评：本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题. 9．设a R ∈，若{}2|220[1,3]x x ax a -++≤⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,3]- B ．[3,)+∞C ．112,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D解：利用不等式与函数之间的关系，设2()22f x x ax a =-++，利用二次函数图像和性质可得结论.解：设2()22f x x ax a =-++，{}2|220A x x ax a =-++≤,由{}2|220[1,3]x x ax a -++≤⊆，可得：若A =∅,则244(2)a a ∆=-+＜0，即：22a a --＜0，可得12a -＜＜；若A ≠∅，则0(1)0(3)013f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪⎩＜＜，即21311513a a a a a ≥≤-⎧⎪≤⎪⎪⎨≤⎪⎪⎪⎩或＜＜,即：1125a ≤≤， 综上可得：1115a -≤＜， 故选：D. 点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10．已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[2,3)C ．(0,1)[2,)+∞UD ．(0,1)[2,3)⋃【答案】D解：设2()28g x x ax =-+，可得其对称轴为x a =,分1a ＞与01a ＜＜进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案.解：由题意得：设2()28g x x ax =-+，可得其对称轴为x a =；当1a ＞时，由复合函数的单调性可知，()g x 在[1,2]单调递减，且()g x ＞0，可得：12(2)0a a g ⎧⎪≥⎨⎪⎩＞＞，解得：23a ≤＜，当01a ＜＜时，由复合函数的单调性可知，()g x 在[1,2]单调递增，且()g x ＞0，可得：011(1)0a a g ⎧⎪≤⎨⎪⎩＜＜＞，解得：01a ＜＜，综上可得：23a ≤＜或01a ＜＜ 故选：D. 点评：本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11．若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．7,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D解：由1cos sin 4x y +=，可得1sin cos 4y x =-,可得cos x 的取值范围将，1sin cos 4y x =-代入2sin sin x y -可得关于cos x 的二次函数，由二次函数性质可得答案.解：由1cos sin 4x y +=，可得1sin cos 4y x =-， 由1cos 1x -≤≤，1sin 1y -≤≤，可得3cos 14x -≤≤， 可得：2222131sin sin 1cos (cos )cos cos (cos )1442x y x x x x x -=---=-++=--+，当3cos 4x =-时，2sin sin x y -的最小值为916-，当1cos 2x =时候，2sin sin x y -的最小值为1， 则2sin sin x y -的取值范围是9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 点评：本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12．设0,R a b ≠∈，()()12()21,[1,2]x f x ax bx a b x -=---+∈-，（ ）A ．若()0f x ≥恒成立，则(3)0a b a -≥B ．若(3)0a b a -≤，则()0f x ≤恒成立C ．若()0f x ≤恒成立，则(3)0b b a -≥D ．若(3)0b b a -≤，则()0f x ≥恒成立【答案】C解：将()f x 化简为()1()21(1)(),x f x x ax a b -=--+-由121x --与1x -符号相同，分()0f x ≥恒成立与()0f x ≤恒成立进行讨论可得答案.解：由题意得：()()()121()2121(1)(),[1,2]x x f x ax bx a b x ax a b x --=---+=--+-∈-，易得：121x --与1x -符号相同，若()0f x ≥恒成立，则0ax a b +-≥恒成立， 设()a x a g x b =+-，可得(1)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，可得030b b a ≤⎧⎨-≤⎩，故(3)0b b a -≥，同理：若()0f x ≤恒成立，则则0ax a b +-≤恒成立，(1)0(2)0g g -≤⎧⎨≤⎩可得：030b b a ≥⎧⎨-≥⎩，故(3)0b b a -≥， 故选：C. 点评：本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对()f x 进行化简是解题的关键.二、填空题13．设全集U =R ，集合{|1}A x x =≥，{|(3)(2)0}B x x x =-+<，则A B =I ______，()U A B ⋃=ð_______.【答案】3|}1{x x ≤< {|2}x x ≤-解：计算出集合B ，由集合的运算法则可得A B I 及()U A B U ð的值.解：由集合{|1}A x x =≥，{|(3)(2)0}{|23}B x x x x x =-+<=-<<， 可得{|13}A B x x ⋂=≤<，{|2}A B x x ⋃-＞，(){|2}U A B x x ⋃=≤-ð， 故答案为：3|}1{x x ≤<；{|2}x x ≤-. 点评：本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 14．102255-+=__________；()22log log 16=_________. 【答案】652 解：利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.解：10216255115525-+=+=+=，()222log log 16log 42==，故答案为：65；2. 点评：本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧»AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧»AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是___________，弧田的面积是__________.【答案】63 1293π-解：设弧»AB 所对的圆心角为α,由弧长公式计算可得α的值，计算可得弦AB 的长，计算出扇形的面积及OAB ∆的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去OAB ∆的面积计算可得答案.解：设弧»AB 所对的圆心角为α，由题意可得：46πα=⨯，23απ=，6OAB π∠=, 可得：32cos26636AB OA π=⨯=⨯=， 可得弧田的面积为扇形的面积减去OAB ∆的面积， 可得：2121=6-636sin 301293232o S ππ⨯⨯⨯⨯=-弧田 故答案：631293π-点评：本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16．某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是0tN N e λ-=，其中0N ，λ是正的常数，当02N N =时，t =_______. 【答案】2In λ-解：将02N N =代入0tN N e λ-=中计算可得t 的值.解：由02N N =及0tN N e λ-=，代入可得：002t N N e λ-=，2teλ-=，2In t λ=-，2t In λ=-，故答案为：2In λ-.点评：本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17．已如函数()sin()(,R)f x x ωϕωϕ=+∈，若04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的最大值是__________. 【答案】7 解：由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，可得4214458T πππ≥-=及274428T πππ≥-=，解之可得ω的最大值.解：由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在52,287ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，易得：472825πππ＜＜， 且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得当5(284x ππ∈,)时与2,()47x ππ∈均单调， 可得4214458T πππ≥-=，27T π≥，同理274428T πππ≥-=，7T π≥， 综上可得：27T π≥，即：227ππω≥， 可得7ω≤，故ω的最大值是7， 故答案为：7. 点评：本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______. 【答案】5解：将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案.解：由2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x xx g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =，当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x⨯=，373x =，此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 点评：本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19．已知函数2(),R,10f x x ax b b a =++∈-≤≤，若()f x 在[1,1]-上存在零点，则实数b 的取值范围是______. 【答案】124b -≤≤解：设设,s t 是方程()0f x =的解，其中11t -≤≤，由韦达定理列出关于,s t 的不等式组，可得实数b 的取值范围.解：设,s t 是方程()0f x =的解，其中11t -≤≤，可得：s t a st b+=-⎧⎨=⎩，可得bt a t +=-，2b t at =--，其中10a -≤≤，由二次函数性质可得，2b t at =--的对称轴为2a-，可得1022a ≤-≤，可得当1t =-时，b 最小，此时1b a =-+，10a -≤≤，可得21b -≤≤-，当2a t =-时，b 最大，此时24a b =，10a -≤≤，可得104b ≤≤，综上可得：124b -≤≤， 故答案为：124b -≤≤.点评：本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题 20．已知1tan 2α=，且α是第三象限角， （1）求sin α的值； （2）求2sin sin cos()2πααπα⎛⎫++⋅-⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)5-;(2)25.解：（1）由同角三角函数的关系可得2sin cos αα=，结合22sin cos 1αα+=，α是第三象限角可得sin α，cos α的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入sin α，cos α的值可得答案.解：(1)由1tan 2α=，可得sin 1tan cos 2ααα==，即2sin cos αα=， 可得222sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，由α是第三象限角，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故sin α的值为5-(2) 22sin sin cos()cos sin cos 2πααπαααα⎛⎫++⋅-=-⋅⎪⎝⎭,代入sin α=cos α=可得原式422555=-=. 点评：本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 1a =;(2)证明见解析；(3) 13k k ≥≤-或 解：（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值； （2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，可得k 的范围.解：(1)由函数2()()21x x a f x a R -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =，即：1(0)02a f -==，1a =； （2）由(1)得：12()21xx f x -=+，任取12x x R ∈,且12x x ＜，则122112121212122(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++， Q 12x x ＜，∴21220x x -＞，即：2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++＞，12()()f x f x ＞，即()f x 在R 上是减函数；（3）Q ()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，Q ()f x 在R 上是减函数，∴21t kt t -≥-,2(1)10t k t -++≥恒成立，设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立， 可得2(1)40k +-≥，解得13k k ≥≤-或， 故k 的取值范围为：13k k ≥≤-或. 点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22．已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤解：（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围.解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<),代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+；(2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈,由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+， 由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤，实数m 的取值范围为：03m ≤≤. 点评：本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23．已知函数21()||(,R)2f x x x a b a b =+-+∈， （1）当14a >时，若()()12f x f x =且12x x ≠，证明：1212x x +≤； （2）当11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，求2+a b 的最大值. 【答案】(1)证明见详解；(2)1- 解：（1）将21()||2f x x x a b =+-+化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论； （2）设211()22g x x x a b =+-+，211()22h x x x a b =-++，由当11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，列出关于b a 、的不等式组，可得2+a b 的最大值.解：（1）由21()||(,R)2f x x x a b a b =+-+∈，可得 2211,22()11,22x x a b x a f x x x a b x a⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩＜，可得211,22y x x a b =+-+其对称轴14x =-，211,22y x x a b =-++其对称轴为14x =易得：设当12x a x ＜＜时候，1211242x x =⨯=+； 当12a x x ＜＜，由函数单调性可得不存在，()()12f x f x =且12x x ≠；当12x x a ＜＜时，设1x 关于14x =的对称点为3x ，则3112x x +=，易得211,22y x x a b =+-+与211,22y x x a b =-++函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，可得()()()123f x f x f x ==，且此时23x x ＜，由3112x x +=，此时2112x x +＜， 综上可得：若()()12f x f x =且12x x ≠， 1212x x +≤（2）设211()22g x x x a b =+-+，211()22h x x x a b =-++，由11x -≤≤时，若|()|1f x ≤恒成立，可得1(1)11(1)111()14g g g ⎧⎪-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤-≤⎩，可得3112225112221511716216a b a b a b ⎧-≤-+≤⎪⎪⎪-≤-+≤-⎨⎪⎪-≤-+≤⎪⎩，得15111622a b -≤-+≤-① 同理可得1(1)11(1)111()14h h h ⎧⎪-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎩，可得3112225112221511716216a b a b a b ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤+≤-⎨⎪⎪-≤+≤⎪⎩，可得15111622a b -≤+≤- ② 2⨯②得15218a b -≤+≤-，可得2+a b 的最大值为1-. 点评：本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.。
┃试卷合集4套┃2020年浙江省丽水市数学高一(上)期末经典模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．52D ．32．若函数()[]()3cos 0,223x f x πϕϕπ+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称,则ϕ=（ ）A ．34π B ．32π C ．23π D ．43π 3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且面积为S .若cos cos sin b C c B a A +=，()22214S b a c =+-，则角B 等于（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．函数的图象大致是( )A. B.C. D.5．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．16．已知函数()f x 满足下列条件：①定义域为[)1,+∞；②当12x <≤时()4sin()2f x x π=；③()2(2)f x f x =. 若关于x 的方程()0f x kx k -+=恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是A ．11[,)143B ．11(,]143C ．1(,2]3D ．1[,2)37．直线1:2320l x my m +-+=和2:640l mx y +-=，若12l l //，则1l 与2l 之间的距离 5 10252108．函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．9．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度 11．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．12．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离.B ．相切.C ．相交.D ．随m 的变化而变化.二、填空题13．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 14．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．15．若()cos 3sin f x x x =在[],a a -上是减函数，则a 的取值范围为______.16．已知角α终边上一点P 的坐标为()2,cos2sin ，则α是第____象限角，sin α=____· 三、解答题17．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）记2(1)n n b n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+L ，*n N ∈ 18．设函数1()sin f x x=． （1）请指出函数()y f x =的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）（2）请以正弦函数sin y x =的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．19．开发商现有四栋楼A ，B ，C ，D 楼D 位于楼BC 间，到楼A ，B ，C 的距离分别为1200m ，600m ，400m ，且从D 楼看楼A ，B 的视角为90o .如图所示，不计楼大小和高度.（1）试求从楼A 看楼B ，C 视角大小；（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M ，P ，N ，形成以楼AMPN 为顶点的矩形开发区域.规划要求楼B ，C 分别位于楼MP 和楼PN 间，如图所示记MAB θ∠=，当θ等于多少时，矩形开发区域面积最大？ 20．已知函数.（1）若，求函数()f x 的值；（2）求函数()f x 的值域. 21．已知函数，（1）写出函数的解析式； （2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围； （3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.22．设函数()24f x ax x b =++.（1）当2b =时，若对于[]1,2x ∈，有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）已知a b >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得20040ax x b ++=成立，求22a b a b+-的最小值. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D B D B C D A AD13．2314． 15．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦16．四 cos2 三、解答题17．（1）证明略，(1)n a n n =+；（2）略18．（1）{}|,x x k k Z π≠∈,2π,奇函数；（2）证明略. 19．（1）4π（2）8πθ=20．（1）；（2）[]1,2.21．(1) (2)(3)22．(1)5a 2≥-(2)422019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－152．在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2（n ∈N *）．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 取得最大值时n 的值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．83．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．1-B ．12-C ．12D ．1 4．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r , P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．0D ．125．已知奇函数()f x 是[0)+∞，上的减函数，2(log 3)a f =-，2(log 3)b f =，3(log 2)c f =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab> B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 7．函数f （x ）=2122x xcosx ---的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．59．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，c=2，则C= A.π12B.π6C.π4D.π310．函数f （x ）＝ln （x 1x-）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．11．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使1DE A C ⊥D ．存在某个位置，使//MB 平面1A DE12．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5B ．8C ．10D ．14二、填空题 13．下列命题中：①若222a b +=，则+a b 的最大值为2； ②当0,0a b >>时，1124ab ab++≥；③41y x x =+-的最小值为5； ④当且仅当,a b 均为正数时，2a bb a +≥恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)14．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___15．下表记录了某公司投入广告费x 与销售额y 的统计结果，由表可得线性回归方程为^^^y b x a =+，据此方程预报当6x =时，y =__.x4 2 35 y49263954附：参考公式：^1122211()()()iii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑，^^^a y b x =-16．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2，则ω＝________. 三、解答题17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos 3sin c A a C +=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =1b =，求ABC ∆的面积.18．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)2πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段DM 的中点. （1）求函数()f x 的解析式及7NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.19．定义符号min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，min{,}=a b b ；当a b <时，min{,}=a b a ．如：min{1,2}=2--，min{4,2}=4---．若函数2()min{2,}F x x x =-.（1）求函数()F x 的解析式及其单调区间； （2）求函数()F x 的值域. 20．若02πα<<，02πβ<<，3sin()35πα-=，25cos()23βπ-=. （1）求sin α的值； （2）求cos()2βα-值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）求证：EF P 平面PAD ；（Ⅱ）若EF PC ⊥，求证：平面PAB ⊥平面PCD . 22．函数sin(),0,0,02y A x A πωϕωϕ=+>>≤≤，在(0,7)x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时，max 3y =；当6x π=时，min 3y =- (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B B D B A B B B CB13．①② 14．6 15．5 16．34三、解答题17．(1) 3A π=(2) S =18．（1）5()2sin(),[,2]44f x x πππ=+（2）3219．（1）2,[2,1]()2,(,2)(1,)x x F x x x ∈-⎧=⎨-∈-∞-⋃+∞⎩，函数()F x 在(,1]-∞上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（2）(,1]-∞20．(Ⅰ)310；(Ⅱ)25. 21．（1）略；（2）略 22．（1）133sin()510y x π=+；（2）[41010]()k k k Z ππππ-++∈，.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（ ） A.3y x =B.y x =C.sin y x =D.21y x =2．若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >3．已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB ，则弦长AB ≤的概率为A ．14B ．34C D ．4．给出以下四个方程：ln 1x x =-①；1xe x=②；22lg x x -=③；cos 1.x x =+④其中有唯一解的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 6．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )22A C A C -+-=，则三角形的面积为（ ）A B C 或D ．7．已知曲线C 1：y=cos x ，C 2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 28．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2y sin x ＝的图象（ ）A．向左平移π6个单位B．向右平移π6个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位9．设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．310．从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x/cm 160 165 170 175 180体重y/kg 63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程ˆy=0.56x+$a,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为( ) A．70.09 kg B．70.12 kgC．70.55 kg D．71.05 kg11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．6B．26C．155D．1012．若复数()()2321a a a i-++-是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．-1二、填空题13．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）__________．14．若不等式(m2－m)2x－(12)x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3α=，则cos()αβ-=___________.16．过点(0,0)O作直线与圆22(45)(8)169x y-+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.三、解答题17．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1}x x x b <>或|． （1）求a ，b 的值．（2）当c ∈R 时，解关于x 的不等式()20ax ac b x bc -++<．18．如图，四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形，M 为PC 中点．（1）求证：BA ∥平面PCD ； （2）求证：AP ∥平面MBD ．19．已知函数()()log 1(0xa f x a a =->且1a ≠）.（1）求()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的单调性.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若,E F 分别为,PC BD 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ．21．在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A 在一个销售季度的销量(y 单位：万件)与售价(x 单位：元)之间满足函数关系14,616222,1621x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，A 的单件成本(C 单位：元)与销量y 之间满足函数关系30C y=． ()1当产品A 的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？()2当产品A 的售价为多少时，总利润最大？(注：总利润=销量(⨯售价-单件成本))22．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，103AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域； (2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B B C C D B D B DB13．2821π 14．－2<m<3 15．79- 16．932三、解答题 17．（1）1{2a b == （2）略 18．（1）略（2）略19．（1）当1a >时， 定义域是()0,∞+；当01a <<时，定义域是(),0-∞；（2）当1a >时，()()log 1x a f x a =-在（0，+∞）上是增函数，当01a <<时，()()log 1x a f x a =-在（-∞，0）上也是增函数.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 21．（1）617x ≤≤（2）14元 22．（1）sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)2031米．.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图所示，AB 是半圆O 的直径，VA 垂直于半圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，,M N 分别为,VA VC 的中点，则下列结论正确的是( )A.//MN ABB.平面VAC ⊥平面VBCC.MN 与BC 所成的角为45°D.OC ⊥平面VAC 2．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）A.B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，2BC =，点P 满足1CP =u u u r ，记a AB AP =⋅u u u r u u u r，b AC AP =⋅u u u r u u u r ，c AD AP =⋅u u u r u u u r，则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若//αγ，//βγ，则//αβ；③若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ） A.①③B.①④C.②③D.②④5．用区间[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.81=，[]1.32-=-，设{}[]x x x =-，若方程{}x kx 10+-=有且只有3个实数根，则正实数k 的取值范围为() A ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,43⎛⎤⎥⎝⎦6．已知定义在R 上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足0AB AC +=u u u r u u u r r ，则OC u u u r=( )A.2OA OB -u u u r u u u rB.2OA OB u u u r u u u r -+C.2133OA OB -u u u r u u u rD.1133OA OB -+u u ur u u u r8．如果把Rt ΔABC 的三边a ，b ，c 的长度都增加(0)m m >，则得到的新三角形的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定9．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．5618-B ．55-C ．65D ．2510．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y v =-，若a b ⊥r r，则a b +r r 等于（ ）A ．5B ．6C ．2D ．1011．函数lg(2sin 1)y x =-的定义域为（ ） A.5{|,}66ππx k πx k πk Z +<<+? B.2{|,}33ππx k πx k πk Z +<<+? C.5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈ D.2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+? 12．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =________．14．如果直线()()25240a x a y ++-+=与直线()()2310-++-=a x a y 互相垂直，则实数a =__________．15．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》。
高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)
高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ， 又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠， 故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
浙江省省丽水市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
浙江省省丽水市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线310x y ++=在y 轴上的截距是（ ） A. 3- B. 3C. 13-D.13【答案】C 【解析】 【分析】求直线与y 轴的交点即可得出结果. 【详解】直线方程为310x y ++= 令0x = ，得13y =-所以直线在y 轴上的截距是13-. 故选C.【点睛】本题考查直线的的基本性质，属于基础题.2.已知向量()()1,2,2,a b x ==，若a 与b 垂直，则实数x 的值是（ ） A. 4 B. 4-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系求解.【详解】因为()()1,2,2,a b x ==，a 与b 垂直， 所以0a b =，即1220x ⨯+⋅=， 解得1x =-. 故选D.【点睛】本题考查向量垂直.3.经过点(1,2)A -且与直线:210l x y +-=平行的直线方程是（ ） A. 230x y ++= B. 230x y +-= C. 210x y -+= D. 240x y --=【答案】A 【解析】 【分析】假设所求直线方程为 2 0x y c ++=求解.【详解】设经过点A 且与直线l 平行的直线方程是 2 0x y c ++= ， 所以1 2 (2)0c +⨯-+=，解得3c =， 所以直线方程为 2 30x y ++=， 故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系.4.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（ ）A. sin αB. sin 5α=C. cos 5α= D. tan 2α【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解.【详解】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P 根据三角函数定义得到：525sin ,cos 55a α====-，1tan 2α=-； 故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义.5.为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数cos 2y x =的图像（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位 【答案】B 【解析】试题分析：根据诱导公式，，所以为了得到sin 2y x =的图象,只需将cos 2y x=的图象沿x 轴向右平移个单位长度，故选B.考点：三角函数的图像变换【方法点睛】对于三角函数的图像变换：如果变换前后两个函数是同名三角函数，只需考虑变换，“左＋右－”是相对于自变量来说，如果变换之前是，向左或向右平移个单位，注意要提出，即变换为，如果是横向伸缩，如果是伸长或缩短到原来的倍，那要变为，如果是纵向变换，就是“上＋下－”，向上或向下平移个单位，变换为，纵向伸长或缩短到原来的倍，就变换为，如果前后两个函数不同名，就要先根据诱导公式化为同名三角函数，再变换.6.已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A. cos x B. sin xC. cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D. sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】分别代入化简.【详解】当()cos g x x =时，12()cos cos cos 24244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin g x x =时，12()cos sin 24244sin f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭时，11()cos cos sin 24422f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭时， 11()sin cos sin 2cos 244222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()f x 是偶函数，周期为π. 故选D.【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质.7.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）A. 2132AP AB AD =+ B. 1223AP AB AD =+ C. 32AD AP AB =-D. 23AD AP AB =-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解.【详解】因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-， 221333BP BC AD AB ==-， 所以2122++3333AP AB BP AB AD AB AB AD =-=+=，所以32AD AP AB =-.故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知10a ≠，517S S =，则（ ）A. 110da >B. 120da >C. 1120a a >D. 1110a a <【答案】B 【解析】 【分析】用等差数列的前n 项和公式代入分类讨论. 【详解】由15170,a S S ≠=得1154171651722a d a d ⨯⨯+=+ 化简：12210a d +=，即11120a a +=， 又因为10a ≠，所以0d ≠， 所以1112,a a 符号相反.若0d >，则11120,0a a <>，10a <，所以110da <，120da >，1120a a <，1110a a >； 若0d <，则11120,0a a ><，10a >，所以110da <，120da >，1120a a <，1110a a >. 综上，故选B.【点睛】本题考查等差数列的综合应用.9.如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A. 12S S ，12l l >B. 12S S ，12l l <C. 12S S >，12l l =D. 12S S <，12l l =【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式l r α=⋅和扇形面积212S r α=⋅扇形求解. 【详解】AOB ∆ 为顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形，30,16A B OD π︒∴====，方案一中扇形的周长1222463l ππ++⨯=+= ，方案二中扇形的周长222111233l ππ=++⨯=+， 方案一中扇形的面积1122263S ππ⨯⨯⨯==， 方案二中扇形的面积22121233S ππ⨯⨯==， 所以12S S ，12l l >.故选A.【点睛】本题考查弧长公式，扇形面积公式.10.若,x y R ∈,以下选项能推出x y >的是（ ） A. 22x y >B. 2223x yx y +=+>D. 11x y x y+>+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】函数2y x 在(],0-∞上递减，在()0,∞+上递增，所以22x yx y >>，故A 错误；当0x y ==时，2223x yx y +=+，故B 错误；函数y =R 上单调递增，x y >⇒>，故C 正确；函数1y x x=+在(),1-∞-和()1,+∞上递增， 在[)1,0-和(]0,1上递减，所以1x x xy +>，故D 错误. 故选C.【点睛】本题考查函数的单调性.11.对于无穷数列{}n a ，给出下列命题：①若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足2019n a ≤，则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足2019n a ≤，则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12019n a ≤≤，则数列{}n a 是常数列. 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】按公差、公比的值分类讨论.【详解】既是等差数列也是等比数列的数列是非零常数列，所以①正确； 设等差数列{}n a 的公差为d ，若0d >，当n 无限大时，则()11n a a n d +-=无限大，2019n a >； 若0d <，当n 无限大时，则()11n a a n d +-=无限小，2019n a >； 所以0d =，只需12019a ≤即有2019n a ≤②正确若等比数列{}n a 的公比为1-，11a =，也满足2019n a ≤，所以③错误. 设各项为正数的等比数列{}n a 公比为q ，若12019n a ≤≤， 当1q >，当n 无限大时，则11n n a a q-⋅=无限大，不满足； 若01q <<，当n 增大时，则11n n a a q-⋅=趋于零，不满足；综上得11,12019,q a =≤≤，所以④正确. 故选C.【点睛】本题考查等差等比数列的性质和函数单调性.12.若关于x 的不等式2664ax x ax ++--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. (],1-∞ B. []1,1-C. [)1,-+∞D. (][),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当x ≥或x ≤时，260x ax --≥，不等式2664ax x ax ++--≥为24x ≥， 若不等式2664ax x ax ++--≥恒成立，必需212122a a a a ⎧≥⎪≥-⎧⎪⇒⎨⎨≤⎩⎪≤-⎪⎩所以11a -≤≤；（2）当22a a x <<时，260x ax --<， 不等式为26(6)4ax x ax +---≥即2280x ax --≤， （ⅰ）当0x =时，不等式2280x ax --≤对任意a 恒成立，（ⅱ）当02a x +<<时，不等式2280x ax --≤恒成立即42x a x≥-恒成立，所以4a a ≥，解得1a ≥-，（ⅲ）当02a x <<时，不等式2280x ax --≤恒成立即42x a x≤-恒成立，所以4a a ≤1a ≤ 综上，实数a 的取值范围是[]1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分. 13.已知等比数列{}n a 的公比为q ，若21a =，527a =，则1a =_____；q =____．【答案】 (1). 13(2). 3 【解析】 【分析】用通项公式代入解方程组.【详解】因为21a =，527a =，所以，141127a q a q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ ，解得11,33a q ==. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式.14.已知sin 2cos 0αα+=，则tan α=_____；22sin 2cos αα-=_____． 【答案】 (1). -2 (2). 25【解析】 【分析】利用22sin cos 1αα+=求解. 【详解】由sin 2cos 0αα+=得sin 2cos αα=-即tan 2α；2222222222sin 2cos sin 2cos tan 22sin 2cos 1sin cos tan 15αααααααααα----====++. 【点睛】本题考查三角函数求值.15.设正数,a b 满足22144a b ab ++=，则a =_____；b =_____． 【答案】 (1). 1 (2). 12【解析】 【分析】根据基本不等式求解. 【详解】()222114244a b a b ab ab ab ++=-++≥=当且仅当20a b -=且21ab =即11,2a b ==时，“=”成立. 所以11,2a b ==. 【点睛】本题考查基本不等式.16.如图，在ABC ∆中，已知1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=___.【答案】4【解析】【分析】用,AB AC 表示,AD BC 代入即可.【详解】因为D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又BC AC AB =-，1AB =，3AC =，所以，()()()()2222111314222AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-=. 【点睛】本题考查向量的数量积和加减运算.17.已知平面向量a ，b 满足||1,3a a b =⋅=，则| |+| |a b a b +-的最小值是_____. 【答案】6 【解析】 【分析】 利用公式()()222,a a a a ==转化求最值. 【详解】设向量a ，b 的夹角为θ，因为33cos 3cos a a b b b θθ⋅=⇒⋅⋅=⇒=，()()22| |+| |=a b a b a b a b +-++- 222222a a b b a a b b =+⋅++-⋅+ 225b b =+-+=当cos 1θ=±时，| |+| |a b a b +-最小6=. 【点睛】本题考查向量的模和数量积运算.18.已知直线:0l ax by c ++=，若,,a b c 成等差数列，则当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，直线l 的斜率是____.【答案】13-【解析】【分析】由已知得直线l 过定点，根据点到直线距离定义求解.【详解】根据题意得2b a c =+即2c b a =-，直线l 的方程为20ax by b a ++-=，可化为()()21b y a x +=--，所以直线l 过点()1,2Q -，若点(2,1)P 到直线l 的距离最大，则直线l PQ ⊥ ，所以1l PQ k k ⋅=-，解得13l k =-.【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系.19.设0a <，若关于x 的不等式2(4)(2)0x a x b ++≥对任意的(,)x a b ∈恒成立，则b a -的最大值为_____. 【答案】14【解析】【分析】若不等式2(4)(2)0x a x b ++≥对任意的(,)x a b ∈恒成立，则不等式的解集必须包含(,)a b .【详解】不等式2(4)(2)0x a x b ++≥等价于： ①24020x a x b ⎧+≥⎨+≥⎩或②24020x a x b ⎧+≤⎨+≤⎩若不等式2(4)(2)0x a x b ++≥对任意的(,)x a b ∈恒成立，则不等式的解集必须包含(,)a b .①24022202x a x x x b x b ⎧⎧+≥≥≤-⎪⇒⎨⎨+≥⎩⎪≥-⎩当0b >时，①的解不包含0，而(,)a b 中有0，与题意不符；当0b ≤时，①的解为2x ≥且2x b ≥-，不包含(,)a b ，与题意不符.②24022202x a x x b x b ⎧⎧+≤-≤≤⎪⇒⎨⎨+≤⎩⎪≤-⎩若不等式的解集包含(,)a b ，必须2a b b b ⎧≤⎪≥⎪-≥⎪⎪⎪⎩即140a b ⎧≥-⎪⎨⎪≤⎩ 所以，当1,04a b =-=时，b a -有最大值14. 【点睛】本题考查不等式的解法，集合的包含关系..三、解答题：本大题共4小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。