中国人民大学理学院物理系硕士研究生量子力学复习指南
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
上海市考研物理学复习资料量子力学重要公式速查手册
上海市考研物理学复习资料量子力学重要公式速查手册量子力学是物理学中一门重要的学科，研究微观世界的规律和性质。
而在考研物理学的复习过程中，重要的公式是必不可少的。
本文为上海市考研物理学复习资料，将为大家提供一个量子力学重要公式速查手册。
一、波函数与概率密度1. 波函数的一般形式：Ψ(x, t) = Aei(kx-ωt)2. 波函数归一化条件：∫|Ψ(x, t)|²dx = 1二、力学量与算符1. 力学量算符：Â2. 力学量的平均值：<A> = ∫Ψ*(x, t)ÂΨ(x, t)dx三、定态薛定谔方程1. 薛定谔方程：ĤΨ(x, t) = iℏ(∂/∂t)Ψ(x, t)2. 定态薛定谔方程：ĤΨ_n(x) = E_nΨ_n(x)四、不确定度原理1. 动量与位置的不确定度原理：ΔpΔx ≥ ℏ/22. 能量与时间的不确定度原理：ΔEΔt ≥ ℏ/2五、算符性质1. 正则算符的对易关系：[â, ↠] = 12. 和平方算符的对易关系：[x, p] = iℏ六、定态束缚态1. 一维薛定谔方程的解：Ψ(x) = Aei(kx)+Bei(-kx)2. 边界条件：Ψ(0) = Ψ(L) = 0七、氢原子1. 氢原子径向定态波函数：R_nl(r) = (2/n^2)(1/nr)^lL_n-l-1^2[(2l+1)r/na_0]e^(-r/na_0)2. 氢原子角向定态波函数：Y_lm(θ, φ) = (-1)^m√((2l+1)/4π)(l-m)!(l+m)!P_l^m(cosθ)e^(imφ)总结：本手册罗列了上海市考研物理学复习所需的量子力学重要公式，涵盖了波函数与概率密度、力学量与算符、定态薛定谔方程、不确定度原理、算符性质、定态束缚态和氢原子等方面。
通过使用这个速查手册，考生可以更便捷地回顾与复习重要公式，以提高复习效率和备考质量。
（注：本手册所列公式仅作速查参考之用，具体使用时请结合教材和实际情况。
中国人民大学《617量子力学》考研真题详解
中国人民大学《617量子力学》考研真题详解2021年中国人民大学理学院物理系《617量子力学》考研全套目录•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。
2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】•曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
•试看部分内容2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）[浙江大学2014研]【解题思路】①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即所以因为所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。
因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
2015中国人民大学理论物理(理学院物理系)考研参考书、历年真题、报录比、研究生招生专业目录、复试分数线
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（3）、“强军计划”、“少数民族骨干计划”、“单考班”： 复试基本分数线根据教育部相关政策另行确定。考生可向相关院系或研招办查询。
二、录取和调剂： 1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学院（系、 所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
物理学既是自然科学发展的核心，也是新技术诞生的基础。在我国，无论是当年研制两弹一 星，还是80年代初李政道先生倡导的CUSPEA，都与物理学界的优秀人才储备和物理学科方面的实 际水平有着密切关系。在基础性研究领域，我国物理学（尤其是理论物理）的前沿研究现状距离 国际高水平相对较为接近。物理学界的基础性研究是向国家提供人才战略储备的一个客观要求， 高水平的高等物理学教育和人才培养是促进物理学及其交叉学科的发展、最大程度上满足国家人 才战略需求的一个最根本的前提条件。近年来，由于扩大招生、知识结构、课程设置、行业竞争、 教学与科研氛围以及质量评估等方面问题已经导致物理本科毕业生水平严重下降，物理人才培养 水平难以提高。但是，在目前深化改革过程中，物理学界在努力缩减规模与国际接轨的同时，还 必须不断引进物理学及其相关交叉学科的高层次人才，这不仅已成为一对现实矛盾，还将在今后 一段时期内存在。从全国范围来看，尽管真正达到公认一流水准的物理本科或者研究生数毕业生 比例不高，但物理系（物理毕业生）的数目已经足够大甚至过饱和。因此，无论从人民大学要创 建世界一流名校的角度，提高所培养人才的综合素质与竞争力，还是从培养合格物理本科生与研 究生和促进学科发展的角度来看，需要创建一个有特色、高水平1
考研物理学量子力学基础知识总结
考研物理学量子力学基础知识总结量子力学是现代物理学中的一门基础学科，它研究微观领域中物质和能量的行为。
考研中的物理学科通常包括量子力学的基础知识，下面是对考研物理学量子力学基础知识的总结。
一、波粒二象性量子力学中最基本的概念之一是波粒二象性。
它表明微观粒子既可以表现为粒子，有时又可以表现为波动。
根据不同实验条件下的观测结果，物理学家引入了波函数来描述粒子的行为。
二、波函数和薛定谔方程波函数是用来描述量子体系的数学函数，它可以通过薛定谔方程来求解。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，它描述了量子体系中粒子的运动和演化。
三、量子力学的不确定性原理量子力学的不确定性原理是由海森堡提出的。
它指出，在量子体系中，不能同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
这意味着在微观尺度下，对粒子的测量是具有一定的不确定性的。
四、量子力学的态和算符在量子力学中，态是用来描述物理体系的状态的概念。
态矢量可以用来表示具体的态。
算符则是量子力学中非常重要的概念，它用来描述物理量的操作和测量。
五、量子力学中的量子数和量子态量子力学中的量子数是用来描述量子体系性质和状态的数字。
电子的自旋、原子的能级等都可以用量子数来描述。
量子态是由一系列量子数确定的。
六、量子力学的叠加态和纠缠态量子力学中的叠加态是多个量子态的线性组合，这意味着量子体系可以同时处于多种状态之间。
纠缠态则是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
七、量子力学的量子力学动力学量子力学动力学用来描述量子体系的时间演化。
在量子力学动力学中，态矢量的演化是由薛定谔方程和哈密顿算符确定的。
八、量子力学中的定态和本征态在量子力学中，定态是永不改变的态，本征态是表示具有确定取值的物理量的态。
本征态对应的物理量取值就是相应的本征值。
九、量子力学中的量子隧穿和量子纠缠量子隧穿是指粒子在能量低于势垒的情况下仍然能够穿过势垒。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
物理学专业河南省考研复习资料量子力学重要概念解读
物理学专业河南省考研复习资料量子力学重要概念解读量子力学是物理学中的一门重要学科，它以描述微观粒子的行为为主要研究对象。
在物理学专业的考研备考中，对于量子力学的理解和掌握是至关重要的。
本文将对量子力学的一些重要概念进行解读，以帮助考生更好地复习和理解这门学科。
1. 波粒二象性波粒二象性是量子力学的基本概念之一，它指出微观粒子既可以表现出粒子性，又可以表现出波动性。
这一概念的提出消除了传统物理学中对粒子和波动的严格界定，使我们可以同时讨论粒子和波动的特性。
2. 波函数和概率波在量子力学中，粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的平方模的形式给出了该粒子出现在不同位置概率的大小。
概率波是波函数的平方模，它在空间中表示了粒子可能出现的位置和其对应的概率。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要原理，它由海森堡提出。
该原理指出，在有些物理量的测量中，我们无法同时准确地确定其位置和动量的值，即位置和动量的精确度存在着一个不可逾越的限制。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学系统演化的基本方程，也被称为量子力学的基本方程。
它描述了波函数随时间变化的规律，通过求解薛定谔方程，可以得到量子系统的波函数和相应的能量等物理量。
5. 能级和量子态在量子力学中，能级是指粒子在一个势场中的能量分布。
量子态则描述了系统的状态, 通过一个或多个量子数来确定。
由于量子力学的离散特性，量子态的能级也是离散的，与经典物理中的连续能带不同。
6. 算符和观测量在量子力学中，算符是对波函数进行操作的数学对象。
观测量是物理量的实际测量结果，它对应于一个算符。
观测量的结果只能是算符的本征值，而不同本征值对应的本征态则表示了不同结果出现的概率。
7. 哈密顿算符和能量本征态哈密顿算符描述了系统的总能量，它是量子力学中的一个重要算符。
通过解哈密顿算符的本征值问题，可以得到系统的能量本征态，即能量的量子态。
8. 量子力学中的叠加原理量子力学中的叠加原理指出，量子系统可以同时处于多个本征态的叠加态。
物理学专业福建省考研复习资料量子力学重要概念解析
物理学专业福建省考研复习资料量子力学重要概念解析物理学专业福建省考研复习资料：量子力学重要概念解析量子力学是20世纪最重要的科学之一，也是物理学专业考研必备的重点内容。
在福建省考研中，量子力学常常成为很多学生的难点。
为了帮助考生更好地掌握量子力学中的重要概念，本文将对一些关键概念进行解析，希望能够给考生提供有效的复习资料。
一、波粒二象性量子力学最基本的概念之一是波粒二象性。
在经典物理学中，质点被视为粒子，具有确定的质量和位置。
然而，在微观世界中，物质表现出波动性和粒子性。
根据德布罗意的假设，所有物质都具有波动性，其波长与物质的动量相关。
这一观点通过实验得到了验证，如电子衍射实验和康普顿散射实验。
因此，波粒二象性是量子力学的基石之一。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
根据海森堡提出的不确定性原理，无法同时确定一个粒子的位置和动量的精确值。
这意味着我们无法确定一个微观粒子的运动状态，只能通过概率分布来描述。
这一概念的引入颠覆了经典物理学的确定性思想，强调了量子世界的随机性和概率性。
三、量子态与波函数量子力学中，物体的状态由波函数描述。
波函数是一个复数函数，它可以通过薛定谔方程求解得到。
波函数的平方模的积分可以得到粒子在空间中存在的概率密度。
波函数的不同形式描述了不同的量子态，如定态和叠加态。
定态是能量本征态，对应于确定的能量值，例如原子的简并态。
而叠加态是不确定的态，对应于多个定态的叠加，如双缝干涉实验中的波包。
四、量子力学算符算符是量子力学中的重要工具，用于描述物理量的测量和变换。
在量子力学中，物理量的值通过算符的作用得到。
例如，位置算符和动量算符分别描述了位置和动量的测量。
算符也可以用于变换，如时间演化算符描述了系统随时间的演化。
通过使用算符，我们可以计算系统在不同态之间的转换概率以及测量得到的物理量的期望值。
五、量子力学中的测量与纠缠在量子力学中，测量是获取系统信息的重要过程。
江苏省考研物理学专业复习资料量子力学基本原理解析
江苏省考研物理学专业复习资料量子力学基本原理解析量子力学是现代物理学中的重要分支，研究微观世界的基本规律。
它的出现极大地推动了科学的发展和人类对于自然的认识。
在江苏省考研物理学专业的复习过程中，对于量子力学的基本原理的准确理解和掌握是至关重要的。
本文将从基本原理的解析入手，为考生提供清晰的复习资料。
1. 波粒二象性量子力学的基础概念之一就是波粒二象性，它指出微观物质既可以表现出粒子的性质（如位置、质量等），又可以表现出波动的性质（如波长、频率等）。
这一概念由普朗克和爱因斯坦等人提出，并在德布罗意的波动假设中得到了实验验证。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心原理之一，它由海森堡在1927年提出。
该原理指出，在测量一个粒子的位置和动量时，无法同时得到精确的结果。
也就是说，我们无法同时确定一个粒子的位置和速度，只能得到它们的概率分布。
这一原理深刻地揭示了微观粒子行为的本质。
3. 波函数与薛定谔方程在量子力学中，波函数是研究微观粒子的基本工具，它描述了粒子的性质和行为。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程是线性的，可用于求解各种粒子的波函数。
4. 单粒子运动与波动性质在量子力学中，单粒子的运动既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。
粒子的位置可以用波函数的模方描述，而粒子的动量则与波函数的相位有关。
对于自由粒子，其波函数为平面波，而对于受限于势场的粒子，其波函数则是站立波。
5. 角动量与自旋角动量是量子力学中的重要概念，它与旋转对称性有密切关系。
在考研物理学专业的复习中，需要重点理解总角动量和轨道角动量的描述和性质，并能够应用其守恒定律解决相关问题。
此外，还需要对自旋角动量有所了解，它是描述电子等基本粒子旋转性质的重要概念。
6. 量子力学的测量与观测量子力学中的测量过程与经典物理学不同，由于不确定性原理的存在，测量结果总是带有随机性的。
观测过程常常引发波函数塌缩的现象，即波函数从一个确定状态变为一个确定值。
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中国人民大学理学院物理系 2014 硕士研究生量子力学复习指南
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级分立性的相互关系。掌握一维方势阱和 势阱散射的反射和透射系数的计算。掌握一维谐振 子能量本征值分布规律和本征态的物理性质。 例题 7：证明一维谐振子的基态是满足不确定关系的最小不确定态。 例题 8：检验一维无限深方势阱中能量定态上的不确定关系。 例题 9：给出一维有限深方势阱出现第一个奇宇称束缚态的最小势阱深度。 例题 10：证明一维散射问题中反射系数与透射系数之和为 1. 例题 11：设一个宽度为 a 的无限深方势阱中被一个不可穿透的隔板分为左右两个等宽度的势 阱，一个粒子在初始时刻处于左半阱的基态，如果将隔板移除，讨论粒子的中心位置如何随时 间演化。
第五章：量子力学中的对称性与守恒量 要求掌握量子力学中物理量平均值的时间演化方程和能量定态的时间演化特点。掌握量
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第六章：中心力场与氢原子的解的性质 要求掌握中心力场中粒子运动的能量定态的一般特征及其物理原因。 能正确写出径向方程和径 向波函数的边界条件。 掌握实验室坐标系到质心坐标系到变换关系。掌握深球方势阱 s 态的求 解，了解非 s 态求解的一般过程。了解氢原子能量定态的求解的一般过程，掌握求解过程中边 界条件的作用， 掌握氢原子的能级的结构以及圆轨道定态波函数的形式。掌握氢原子能量定态 的一般物理性质（例如电子分布特征，旋转对称性质，磁矩） ，了解维里定理以及 Hellmann-Feymann 定理在计算氢原子能量定态物理性质时的作用。 例 21：确定一个有限深球方势阱中出现首个 s- 波束缚态的条件 例 22：检验氢原子基态中的不确定关系。 例 23：确定三维各向同性谐振子的能级和本征态波函数。
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参考书目：曾谨言《量子力学》 （卷 I，第四版）科学出版社
第一章：量子力学基本概念及其物理起源 要求了解经典物理在解释黑体辐射、光电效应、原子光谱、固体比热等现象时面临的困 难， 了解量子假设在解决这些困难时所起到的作用。了解光量子论的具体内容及其实验验证过 程。掌握氢原子玻尔理论，了解导致电子能级量子化的关键假设。了解德布罗意波的意义，熟 练掌握德布罗意关系。 例题 1：我们是否可以采用中子测量一个晶体的晶格常数？如果可以，请给出测量方案。如果 设被测晶体的晶格常数为 1 个埃的量级，应选用什么能量范围的中子？ 例题 2：请列举三种测量普朗克常数的实验方法。
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注：1、各学院可根据生源情况上调复试基本要求。差额复试比例 120%以上。 2、不符合教育部复试基本要求者不予录取。 3、向外校调剂工作待教育部公布全国硕士研究生复试分数线后进行。 4、“援藏计划”、“少数民族高层次骨干人才计划”、“单独考试”考生复试基本 要求根据教育部相关政策另行确定，考生可向相关院系或研招办咨询。
第十章：带电粒子在电磁场中的量子运动
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掌握带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程。 了解规范对称性和波函数相位的物理意义。 了解规范变换的物理意义。掌握均匀静磁场中带电粒子的本征态和本征能级的求解过程。 例 34：求氢原子基态的磁化率 例 35：讨论氢原子塞曼效应
第二章：波函数的统计诠释与薛定谔方程 要求掌握波粒二象性的物理意义以及德布罗意波的统计诠释。熟练掌握态的线性叠加原 理和不确定关系。 能根据体系的物理条件正确写出哈密顿量和波函数的形式以及相应的薛定谔 方程。 掌握量子力学时间演化的幺正性和几率守恒定律的证明以及几率流密度的计算。掌握能 量本征态的意义及其物理特征。 例题 3: 请论述波粒二象性与不确定关系两者的关系。 例题 4：请利用不确定关系估计一维谐振子的基态能量。 例题 5：请写出氦原子的薛定谔方程。 例题 6：证明一个实的波函数对应的量子态中不存在粒子流。
第九章：量子跃迁与散射 掌握量子跃迁的物理意义以及费米黄金规则，并可将其应用到典型的可解量子力学体系 （范围同微扰论要求） 。了解跃迁选择定则的物理来源和分析方法，掌握电偶极跃迁的选择定 则。了解跃迁几率与能级宽度间的关系。掌握散射截面、散射波幅的物理意义和计算公式，掌 握一阶玻恩近似下散射截面的计算方法， 了解分波法计算散射截面的物理原理和散射相移的物 理意义，能够根据实际情况估计所需分波的数目，判断散射相移的正负。 例 32：计算氢原子 2p 态的寿命。 例 33：利用玻恩近似计算处于基态的氢原子对于电子的弹性散射截面。
x y z i
exp(i A) cos A i A A sin A
例 26：证明
例 27：写出两个 1/2 自旋耦合的 C-G 系数 例 28：讨论两个 1/2 自旋耦合的量子体系的一般时间演化。 例 29：计算
00 1 a 2 b 00
第七章：自旋与角动量的性质 掌握电子自旋的物理性质和数学描述，掌握基本的自旋代数运算，能够证明相应的自旋 恒等式。掌握自旋轨道耦合的物理起源和数学描述，掌握总角动量本征态的求解方法。了解角 动量算符的一般代数性质以及角动量耦合的基本规则，掌握 C-G 系数的物理意义。掌握两个 1/2 自旋耦合的总自旋本征态的求解过程， 能够求解包含两个相互耦合的 1/2 自旋的量子体系 的能量本征态和时间演化问题。 例 27：求自旋沿任意一个空间方向的分量的本征值和相应的本征态。
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中国人民大学 2014 年硕士研究生复试基本要求
学术学位： 学科门类 01 02 03 04 05 06 07 08 哲学 经济学 法学 教育学 文学 历史学 理学 工学 政治、外语、专一（数学）、专二、总分 50 55 50 50 55 50 45 45 50 55 50 50 55 50 45 45 90 90 90 180 90 180 90 90
第三章：一维定态问题的求解 要求掌握一维能量定态的一般性质，例如束缚态和散射态在波函数、边界条件、能级分 布上的差异。 了解波函数连接条件的种类和物理起源。掌握一维有限深和无限深方势阱的能量 定态的求解和解的物理性质。 了解在求解过程中空间反演对称性起到的作用。了解束缚态和能
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为两个 1/2 自旋形成的自旋单态。
第八章：定态微扰理论 掌握定态微扰理论的基本计算公式，能够将其应用到典型的可解量子力学体系（例如两 能级体系、方势阱体系、谐振子体系、氢原子体系） 。掌握反常塞曼效应和斯塔克效应的微扰 计算方法。掌握空间旋转对称性和空间反演对称性在微扰矩阵元计算中的应用方法。 例 30：讨论氢原子 n=2 的能级的斯塔克效应，不考虑自旋效应。 例 31：将电子间的库伦作用当做微扰，利用微扰理论求解氦原子的基态能量。
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前面试 同教育部 A 类分数线 115 1252 公共管理 同教育部 A 类分数线 50 180 村官通过 提前面试 225 全日 制 非全日 制 通过提前 面试
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例 24：证明 ( A)( B ) A B i ( A B ) 例 25：证明
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