第5讲-三阶Jordan标准型计算
第 5 讲 线性变换 (2)
称 ������(������ሻ =
������21(������ሻ ⋮
������22(������ሻ ⋮
⋯ ⋱
������2������(������ሻ ⋮
为 ������ 的多项式矩阵，
������������1(������ሻ ������������2(������ሻ ⋯ ������������������(������ሻ
CQU 注：行变对应于左乘、列变对应于右乘一个矩阵。
8
Jordan 标准型
定义(P47) 若多项式矩阵������(������ሻ通过有限次初等变换变为
������(������ሻ，称������(������ሻ与������(������ሻ等价，记为A(������ሻ ≅ ������(������ሻ。
阶子式为。
������ − 2 0 1 1
−1 0 0 1 ������ − 4 −1
1 0
= − ������ − 4 2
0
0 0 ������ − 4
这两个子式的公因式为1，故������4(������ሻ = 1, ⇒ ������1(������ሻ =
������2(������ሻ = ������3(������ሻ = 1。
0 −1 1 0 0 ������ − 3
第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为。
������ − 2 −1 1 0
−1 ������ − 2
1 1
1 0 −1 ������ − 3
1
1 0
= (������ − 2ሻ(3������ − 4ሻ
−1
CQU
18பைடு நூலகம்
Jordan 标准型
矩阵论系列课件05 对角化与Jordan标准形
u3
H H u2 u2 u2 un un H H un u2 un un
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A1 ，其特征值为 2 , , n ，与 上相同，可得一个酉矩阵 U1 ，使得
2 0 H U1 AU 1 1 0
u1H u1H u1 u1H u2 H H u u u uH u H 2 U 0 U 0 u1 u2 un 2 1 2 2 H H H un un u1 un u2 对 A 进行酉相似变换： u1H H u H U 0 AU 0 2 A u1 u2 un uiH Au j nn H un
T T
复矩阵 A ，若满足 A A AA ，则 A 为复正规矩阵。
H H
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 相同的特征值、迹、行列式。
det( I P 1 AP ) det[ P 1 ( I A) P ] det( P 1 ) det( I A) det( P ) det( P 1 ) det( P ) det( I A) det( I A)
tij 0
0 1 2 H U AU 0 n 0 1 2 H ，要证 A 为正 必要性：已知存在酉矩阵 U 使 U AU 0 n
规矩阵。
H U H AAHU H H H U A AU
A2 ( n2)( n2)
依次类推，分别可找到酉矩阵 U 2 ,U 3, ,U n 2 使
Jordan标准型
要点：
矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。 g（ A ）= 0 的决定因素。 存在性问题。
Cayley-Hamilton 定理（P.52， 定理、2 . 7）： AFn×n，f ( )= det( I–A)，则f ( A )= 0。 Cayley 定理的应用举例： 使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。 f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
例题1 (p44，例题5)
例题2 (p45，例题6)
例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。
3 4 0 1 1 0 A 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0
例题4 (p46，例题7)
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J 2 ( 2 ) JA J s ( s )
AP Pi J i ( i ) i
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有
( A i I ( A i I ( A i I ( A i I
2 Jordan 矩阵
Jordan矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是Jordan 矩阵
3
Jordan 标准形
定理2 . 5 (p41)
含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。
A相似于BJA相似于JB
二、方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。 求法与步骤： ks k1 k2 f ( ) I A ( 1 ) ( 2 ) ( s )
Jordan标准形
i
0 0
其中 i 可以是实数，也可以是复数。
2 1 0 2
0 1 i 1 0 1 i 1 0 0 1 i
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
矩阵理论第3讲 - 6
性质: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
矩阵理论第3讲 - 2
－1
内容回顾
对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P 1 AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
1 2 相似， A 若矩阵 nn 与对角阵 n 则 1 , 2 ,, n 是 A 的 n 个特征值。
1 p1 1 2
0 p3 1 0
矩阵理论第3讲 - 19
Jordan标准形
考察增广矩阵
2 0 1 1 I (3( 1 )) 2 I (1( 1 ) 3) ( I A , p1 ) 1 1 0 1 4 0 2 2
矩阵理论第3讲 - 18
Jordan标准形 举例（1）：
1 0 1 A 1 2 0 4 0 3
1 1 J 1 2
p2 p3 ) 可得 AP PJ 设相似变换矩阵 P ( p1 ，由
Ap1 p1 Ap2 p1 p2 Ap 2 p 3 3 ( I A) p1 0 ( I A) p2 p1 (2 I A) p 0 3
2
2 1
比较：
1
1 1 ( 3)(2 5) 2 1 1 ( 1) 3
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。
它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。
一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。
那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。
具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。
05 对角化与Jordan标准形
第五讲 对角化与Jordan 标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵A T A A = 厄米矩阵：复矩阵A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A T T A A AA I == （1T A A -=） 酉矩阵：复矩阵A H H A A AA I == （1H A A -=） 3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。
4. 正规矩阵实矩阵A ，若满足T T A A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足H H A A AA =，则A 为复正规矩阵。
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。
11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)--=λ-=λ-=λ-（det(AB)det(A)det(B)=）二、酉对角化1. Schur 引理：设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使121n U AU 0-λ*⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x =λ，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u L H ij 0i ju u 1i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u =L，0U 为酉矩阵[]HH H H 111121n H H H H H221222n 0012n n H H H Hn n 1n 2n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LM M M O M L对A 进行酉相似变换：[]()H 1H HH 20012n i jn nH n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM第一列：H H H i1i111i11i 1u Au u u u u i 1≠⎧=λ=λ=⎨λ=⎩()1H001(n1)(n1)U AUA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M()[]HH H2222nH3123n(n1)(n1)H Hn2n nHnuu u u uuA A u u uu u u uu-⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦LL M O MML相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A，其特征值为2n,,λλL，与上相同，可得一个酉矩阵1U，使得()2H1112(n2)(n2)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M依次类推，分别可找到酉矩阵23n2U,U,,U-L使()3H2223(n3)(n3)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Mn1Hn2n2n2nU A U----λ*⎡⎤=⎢⎥λ⎣⎦令2n212n210I0I0U U0U0U0U--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LU是酉矩阵，HU U I=HU AU?=n 2n 2H H 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0U 0U 0U 0U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L 1H 001U AU 0A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1112H H 1111112**10100*0U 0A 0U 0U A U 0A λ⎡⎤λ*λ*⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12H n *U AU 0λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( ) | E A | ( 1 )( 2 )( 3 )
1 2 (1). 若 i 互不相同则 A 相似于对角阵. J
(2)若 i中有两个相同,可设1 2 3.
. 3
1 1 (2-1)当 r (1E A) 1时, J . 3 1 1 1 (2-2)当 r (1E A) 2 时, J . 3
三阶矩阵Jordan标准型计算
(3) 若 i 全相同,
1 1 (3-1) 当 r (1E A) 0 时, J . 1 1 1 1 (3-2)当 r (1E A) 1时, J . 3 1 1 1 1 (3-3)当 r (1E A) 2 时, J . 3
三阶矩阵Jordan标准型计算
作业
1. 对于4阶矩阵，上述Jordan标准型计算方 法如何？ 2. p357. 6(1,2,4,11,13(11,13为4阶矩阵））
三阶矩阵Jordan标准型计算 NhomakorabeaP AP J .
1
三阶矩阵Jordan标准型计算
解：
4
| E A | 4 3 2 10 7 ( 2)3 . 7
3
1
r (2 E A) 2.
2 1 A~ J 2 1 . 2
三阶矩阵Jordan标准型计算
一般地: 设A为三阶方阵
三阶矩阵Jordan标准型计算
三阶矩阵的Jordan标准型可以很简洁的计算出来。
声明: 本节中,Jordan标准型中非对角线上的数字1 写在对角线上方.
三阶矩阵Jordan标准型计算
例1.
4 2 10 A 4 3 7 3 1 7
求A的Jordan标准型J,并求P,使得: