初二几何动点问题(供参考)

一、本节课重难点

二、本节课主要内容（包括知识点、例题、练习、小结等内容）

1、动点构成特殊图形，求动点位置、动点坐标、线段长度、运动速度、运动时间等

2、动点求最值

动点问题

一、动点构成特殊图形

例1如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多

少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与

点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

例2、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过

点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．

（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，

此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，

此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

例3、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，

求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由. A Q D B

O E C

D A l O C A

（备用图） A

D E

F A D E F P N A D E F P N

例4、（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，

且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

例5、如图，在Rt △ABC 中，∠B

C =30°.点

D 从点C 出发沿CA 方向

以每秒2个单位长的速度向点A 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单

位长的速度向点B 匀速运动，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF . （1）求证：AE =DF ；

（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.

（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.

小结：1、首先看清题目，哪些是变量，哪些是不变量。不变量是此类题目证明求值的关键；

2、要考虑所有可能的情况，先把不可能的情况排除，再把可能的情况一 一列举。

二、动点求最值

两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l 的同侧有两个定点A 、B,在直线l 上有一动点）

以正方形为载体

例6、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形内，在对角线AC 上有一动点P ，使PD+PE 的值最小，则其最小值是

例7、以直角梯形为载体

如图，在直角梯形中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，当PA+PD 取得最小值时，△APD 中AP 边上的高为

一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）

例8、以三角形为载体

如图，在锐角△ABC 中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是

例9、以正方形、圆、角为载体

正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上的一动点.连接BP ，EP ，则PB+PE 的最小值是

例10、如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠AOC=60°，P 是OB 上的一动点，则PA+PC 的最小值是

例11、如图，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值是 .

三、学校寄语

A D F C G E

B 图1 图2 A D F

C G E B 图3