弹性力学(文克勒地基板)
3.4文克勒地基上梁的计算
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0exco xs sin x
2kb
+V 符号规定
wF 0exco xs sin x
2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
w F 2 k 0A x b ， F k 02B b x,M 4 F 0C x,V F 2 0D x
如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
kp p/ s,
p为平均反力， s为刚性荷载板沉降值
对粘性土地基 ：
承压板边长
k (bp /b)kp
30cm
太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板
砂土
考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。
w e x C 3 cx o C 4 s sx i n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C cx o ss x i n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
M V b d d p / 2 q x x d d / 2 d M x x d x 0 M dM V dx
q d ( V d x ) V b p 0d x dV bpq
dx
EI
d2w dx2
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
Ed d I4w 4xdd2M 2xd dV xb pq 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
dd4xw4
2-2 文克尔地基模型
二、线性弹性地基模型线性弹性地基模型：荷载作用下，地基土应力-应变的关系为直线关系，可用广义虎克定律表示。
{}[]{}εσe D ＝{}{ }Tx y z xy yz zx σσσστττ＝{}{ }Tx y z xy yz zx εεεεγγγ＝为弹性刚度矩阵。
[]e D 用矩阵表示：[]()()()()1 1 1 12 0 0 0 211212 0 0 0 0 2 0 0 0 0 e E D νννννννννν----=+--12 0 2ν⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对称弹性体的应力-应变关系服从虎克定律：适用条件：实际基础刚度介于柔性基础和绝对刚性基础之间，基础底面的地基反力分布复杂。
当建筑物荷载较小，而地基承载力较大时，地基土应力应变关系可近似采用线弹性地基模型分析。
❑常用的三种线性弹性地基模型：（1）文克勒（Winkler）地基模型（2）弹性半空间地基模型（3）分层地基模型1. 文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）模型描述：假定地基由许多互不影响的独立弹簧组成，即假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形s成正比，而p不影响该点以外的变形。
其表达式为：p ksk─地基基床系数,表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3；p─地基上任一点所受的压力强度，kPa；s─荷载p作用点位置上的地基变形，m。
适用条件：地基土越软弱，土的抗剪强度越低，该模型越接近实际情况。
优点：计算简便，如果k选择得当，则可获得比较满意的结果。
存在问题：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模型计算，地基变形只能发生在基底范围内，而基底范围以外没有地基变形，这与实际情况不符，使用不当会造成不良的后果。
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场道工程设计理论-弹性地基板理论3
一般解
(2) 无限大板作用集中荷载
(1)圆形荷载作用于无限大板上
威斯特卡德(H.M.S Westergaard)解
(2)半圆形荷载作用于无限大板边 (3)圆形荷载作用于板角
一般解
(1) 无限大板作用着轴对称圆形均布荷载
D22 w r, q r, p r,
Winkler地基
M x M xy Qx 0 x y
根据对x轴的力矩平衡条件
M xy x
M y y
Qy 0
将Qx、Qy用Mx、My及Mxy表示，代入
2w M x D 2 x 2w M y D 2 y M xy 2w y 2 2 w x 2 2w D 1 xy
Ec z 2 w 2 w 2 2 1 2 x x y E z c 2 2 w 1 x
2 拉普拉斯算子
yz z
2
Ec z 2 w 1 2 y
边界条件： 板的上下板面无切向应力
积分
Ec z 2 w 1 x, y xz 2 2 1 x 2 E z 2 c w 2 x, y yz 2 1 2 y
Qx Qy q 0 x y
其中：
4w 4w 4w q 2 2 2 4 4 x x y y D
弹性小挠度薄板挠曲微分方程
地基上小挠度薄板
地基反力为：p x, y
4 4 4w w w D 4 2 2 2 4 q p x y y x
p r , k w r
2R q
D22 w r q k w r
文克勒地基上梁的计算优质课件专业知识讲座
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
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适用范围： 1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
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（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
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一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
M V b d p d x / 2 d x q d x d / 2 x M x d 0 MdM V dx
qd (V x d)V V bp0 d x
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
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解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k qD w wD D∇+=此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即（2）将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w wD D∇+=中，即得002242224sin sin()a bmnm x n yq dxdyab a bAm nD ka bπππ=++⎰⎰（3）当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于Fdxdy以外，在其余各处都等于零。
22421122sin sin4sin sin()m nm nF m x n ya bwm nab a bD ka bπξπηπππ∞∞===++∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示00114sin sin sin sina bm nm x n y m x n yq q dxdyab a b a bππππ∞∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰解得max 3.092e w =-方法2——差分法2.1网格（4*4）差分法用4*4网格求解4a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
路面工程第16章
第十六章水泥混凝土路面设计§16-1 概述水泥混凝土路面板具有较高的力学强度，在车轮荷载作用下变形小，同时按照现行的设计理论，混凝土板工作在弹性阶段，也就是在计算汽车荷载作用下，板内产生的最大应力不超过水泥混凝土的比例极限应力。
当水泥混凝土板工作在弹性阶段时，基层和土基所承受的荷载单位压力及产生的变形也微小，它们也都工作于弹性阶段，因此从力学体系上看，水泥混凝土路面结构也属于弹性层状体系。
然而，作为刚性路面的水泥混凝土路面，同柔性路面相比，有其自己的特性。
首先，混凝土路面板的弹性模量及力学强度大大高于基层和土基的相应模量和强度；其次，混凝土的抗弯拉强度远小于抗压强度，约为其1/6～1/7，因此决定水泥混凝土板尺寸的强度指标是抗弯拉应力；同时，由于混凝土板与基层或土基之间的摩阻力一般不大，所以在力学图式上可把水泥混凝土路面结构看作是弹性地基板，用弹性地基板理论进行分析计算。
由于混凝土的抗弯拉强度比抗压强度低得多，在车轮荷载作用下当弯拉应力超过混凝土的极限抗弯拉强度时，混凝土板便产生断裂破坏。
且在车轮荷载的重复作用下，混凝土板会在低于其极限抗弯拉强度时出现破坏。
此外，由于板顶面和底面的温差会使板产生温度翘曲应力，板的平面尺寸越大，翘曲应力也越大。
另外，水泥混凝土又是一种脆性材料，它在断裂时的相对拉伸变形很小。
因此，在荷载作用下土基和基层的变形情况对混凝土板的影响很大，不均匀的基础变形会使混凝土板与基层脱空，在车轮荷载作用下板产生过大的弯拉应力而遭破坏。
基于上述，为使路面能够经受车轮荷载的多次重复作用、抵抗温度翘曲应力、并对地基变形有较强的适应能力，混凝土板必须具有足够的抗弯拉强度和厚度。
水泥混凝土路面在行车荷载和环境因素的作用下可能出现的破坏类型主要有：1）断裂；2）唧泥；3）错台；4）拱起；5）接缝挤碎等。
从水泥混凝土路面的几个主要破坏类型可以看出，影响混凝土路面的使用性能的因素是多方面的，如轮载、温度、水分、基层、接缝构造、材料以及施工和养护情况等。
(整理)文克勒地基模型及地基系数分布规律
目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中 K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。
第一章 地基模型
1
3
a
1 b1
1 3
a、b ──均为试验参数。对于确定
Ei
1
的周围应力3=常数
a 1 Ei
b
1
1
3
ult
Ei──初始切线模量
p e
1
1 -3)ult ──偏应力的极限值，即当1→∞时的偏应力值。
切线模量和切线泊桑比
，
Et
1
1
(1
E0
2 0
)
B
Eh，I——分别为基础的弹性模量和惯性矩。
第五节 非线性弹性地基模型
室内三轴试验测得的正常固结粘土和中密砂的应力应变 关系曲线通常为：
1 3
塑性应变 弹性应变
1 O
土体非线性变形特性
邓肯（Duncan）和张（Chang）等人1970提出的非线性弹性模型：
(1 -3)ult
一、Winkler地基模型
p
s
表达式
s p
k
k ─地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度（kN/m3）
p ─地基上任一点所受的压力强度（kPa）；
s ─作用点位置上的地基变形（m）。
柔性基础
刚性基础
二、弹性半空间地基模型
s(r,0) P
表达式 s P 1 2 Er
s ─距离作用点距离r位置(M点)上的地基变形(m)
3
Ei
1
Rf 1 sin 1 3
2c cos 2 3 sin
2
通过三轴试验，测5个试验参数 K、n，，Rf，c
、 ，
Ei
Kp
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F0 ，而在其他结 h2
点处，荷载集度均为零。 对于简支边外一行虚结点处的挠度， 就等于边 界内一行相对结点处的挠度，而符号相反。
即
wa w3 , wb w2 , wc w3
把挠度 w 的表达式取为如下的重三角级数：
Y
w Amn sin
m 1 n 1
m x n y sin （1） a b
其中的 m 和 n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（1）代 入弹性曲面的微分方程 D4 w q 中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时， 弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。在文克勒地基中，地 基对薄板所施反力的集度 P， 是和薄板的挠度 w 成正比而方向相反， 即 p kw ， 这样，薄板所受横向分布力的总集度将为 p q ，因此薄板弹性曲面的微分方程
1
须改变成为 D 4 w
k q w D D
此时，将荷载 q 也展为同一形式的级数，即
4 a b m x n y m x n y （2） q q sin sin dxdy sin sin ab m1 n1 0 0 a b a b
将式（1）和式（2）代入微分方程 D 4 w
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 8 20 2.6e 8 8 24 2.6e 8 16 2 16 20 2.6e 8
w1 4.161589e-2 w 0 2 = 0 w3
sin
由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中பைடு நூலகம்处 0.8, 0.8 的挠度最大，将坐标点
0.8, 0.8 代入式（4）,结果如下图所示
2
解得 wmax 3.09e 2 方法 2——差分法 2.1 网格（4*4）差分法
a 用 4*4 网格求解 h 。 由于对称， 只有 3 个独立的未知值， 即 w1 , w2 , w3 ， 4
4 ab m x n y sin dxdy a b （3） m2 n2 2 4 D( 2 2 ) k a b
b 0
k q 中，即得 w D D
Amn
0
a
q sin
当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以得到 当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以用微分面积 dxdy 上的均布荷载
由此可得最大结点挠度为：
wmax w1 3.29e 2
方法 3——有限元解法（利用 Abaqus 工程软件） 3.1 创建一个三维实体，边长均为 1.6 m ，厚度为 0.08m （1）建模分网
（2）创建边界条件
8
（3）求解并查看结果（单位 mm）
最大挠度 wmax 3.004e 2m 三种方法的结果比较如下： 纳维解法： 代入计算，解得挠曲线为重三角级数时中心点处最大挠度为 差分法： 4*4 网格： 最大挠度 wmax w1 3.64e 2m 8*8 网格：最大挠度 wmax w1 3.29e 2m 差分法中， 8*8 网格的解答更靠近理论解，较为精确 有限元法： 三维薄板：正方形板中心处挠度最大，最大挠度为 wmax 3.004e 2 （ F 1.0e7 N , 0.08m ）
由此得到该 3 个结点处的挠度为:
w1 3.64e 2
， w2 2.08e 2
， w3 1.30e 2
4
最大挠度为 wmax w1 3.64e 2 2.2 网格（8*8）差分法 a 1 用 8*8 的网格求解 h 。由于对称，取 薄板为研究对象，建立如下坐标系， 8 4 并标注结点如图所示 取坐标如下所示
据此，为 1,2,3 结点建立差分方程如下：
3
20 20 20
kh 4 D kh 4 D kh 4 D
4 q0 , w1 8 4 w2 2(4 w3 ) h D w2 8 w1 2 w3 2 2 w2 0, w3 8(2 w2 ) 2 w1 0
板壳理论课程设计
第一部分
学习心得
第二部分文克勒地基上的基础板解题法
题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法 设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为 a=1.6m,厚度 0.08m ， 如图所示， 四边均为简支边， 在薄板的中心受有集中力的作用， F0 1.0e7 N 。 取薄板弹性模量 E =205 GPa ，泊松比 0.3 ， k 1 ，取坐标轴如图所示， 方法 1——纳维解法
wmax 3.09e 2m
纳维解法 条件
差分法
有限元法
重三角级数 （4*4）网格
（8*8）网格 三维薄板
wmax m
误差
3.09e 2
13.64e 2
15.1%
3.29e 2 6.07%
3.004e 2 2.78%
0
9
w1 w 2 w3 w4 w5 w6 w 7 w8 w 9 w10
1.040397e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 4 8 0 0 0 0 0 0 20+1.6e-9 25+1.6e-9 8 16 6 0 1 0 0 0 8 1 8 20 1.6e-9 4 16 2 8 4 0 0 2 16 4 22+1.6e-9 16 2 0 2 0 0 3 8 8 23+1.6e-9 8 2 8 0 3 0 0 0 2 2 16 20+1.6e-9 0 4 2 16 0 1 8 0 4 0 20+1.6e-9 16 0 2 0 2 1 8 2 8 21+1.6e-9 1 8 0 0 0 0 0 2 0 2 20+1.6e-9 16 0 0 0 0 0 3 8 1 8 8 22+1.6e-9
o
X
当并无支座沉陷时，其边界条件为
( w) x 0 0, ( ( w) x a ( w) y 0 ( w) y b
2w ) x 0 0, x 2 2w 0, ( ) x a 0, x 2 2w 0, ( ) y 0 0, y 2 2w 0, ( ) y b 0. y 2
边 界 外 虚 结 点
a, b, c, d , e 的 挠
度分别为：
wa w7 , wb w8 , wc w10 , wd w9 , we w14
建立差分方程如下所示：
5
kh 4 a q ) w1 8(4 w2 ) 2(4 w4 ) 4 w3 ( ) 4 0 , D 8 D 4 kh (20 ) w2 8( w4 w3 w4 w1 ) 2( w2 w5 w5 w2 ) 2w5 w2 w7 0, D kh 4 (20 ) w3 8( w2 2 w5 w7 ) 2(2 w4 2 w8 ) 2 w6 w11 w1 0, D kh 4 (20 ) w4 8(2 w5 2 w2 ) 2( w1 2 w3 w6 ) 2 w4 2 w8 0, D kh 4 (20 ) w5 8( w3 w6 w4 w8 ) 2( w2 w7 w10 w5 ) w2 w12 w10 w15 0, D kh 4 (20 ) w6 8(2 w5 2 w10 ) 2( w4 w8 w8 w9 ) 2w3 2w13 0, D kh 4 (20 ) w7 8(2 w8 w3 w11 ) 2(2 w5 2 w2 ) w2 2 w10 w7 0, D kh 4 (20 ) w8 8( w5 w7 w10 ) 2( w3 w6 ) w4 w8 w8 w9 0, D kh 4 (20 ) w9 8( w10 w10 ) 2( w6 ) 2 w8 2 w9 0, D kh 4 (20 ) w10 8( w8 w6 w9 ) 2( w5 w10 ) w5 w10 w7 0. D (20
F dxdy
来代替分布荷载 q ，于是除了在 , 处的微分面积上等于 F 以外，在
dxdy
其余各处都等于零。
m n sin 4F m x n y a b w sin sin 2 2 n 2 ab m 1 n 1 4 m a b （4） D( 2 2 ) k a b
k q 4w 4w 4w k q w ， 在结点 1 处 4 2 2 2 4 w1 0 D D D x 1 x y 1 y 1 D
另外，前面提到过，文克勒地基板上的基础板导出弹性曲面的微分方程如下：
D 4 w
6
7
由此得到 10 个结点挠度如下： w1 3.29e 2
w2 2.78e 2 w3 1.95e 2 w4 2.44e 2 w5 1.75e 2
w6 1.28e 2 w7 1.00e 2 w8 0.90e 2 w9 0.35e 2 w10 0.67e 2