高三数学教案:第四节函数的连续性及极限的
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第四节 函数的连续性及极限的应用
1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义,
lim x x →f (x )存在,且
lim x x →f (x )=f (x 0),那么函数f (x )在点x =x 0处连续.
2..函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义;
(2)0
lim x x →f (x )存在;
(3)0
lim x x →f (x )=f (x 0),即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.
如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3.函数连续性的运算:
①若f(x),g(x)都在点x 0处连续,则f(x)±g(x),f(x)•g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在
点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续,且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ,b )内连续的定义:
如果函数f (x )在某一开区间(a ,b )内每一点处连续,就说函数f (x )在开区间(a ,b )内连续,或f (x )是开区间(a ,b )内的连续函数.
f (x )在开区间(a ,b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续,现在函数f (x )的定义域是[a ,b ],若在a 点连续,则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a ),即在a 点的左、右极限都存在,且都等于f (a ), f (x )在(a ,b )内的每一点处连续,在a 点处右极限存在等于f (a ),在b 点处左极限存在等于f (b ).
5.函数f (x )在[a ,b ]上连续的定义:
如果f (x )在开区间(a ,b )内连续,在左端点x =a 处有
+
→a x lim
f (x )=f (a ),在右端点x =b
处有
-
→b x lim
f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,或f (x )是闭区间[a ,b ]上
的连续函数.
6. 最大值最小值定理
如果f (x )是闭区间[a ,b ]上的连续函数,那么f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值和最小值
7.特别注意:函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限,有极限未必连续。” 二、问题讨论 ●点击双基
1.f (x )在x =x 0处连续是f (x )在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
解析:f (x )在x =x 0处有定义不一定连续. 答案:A
2.f (x )=
x
x πcos
π
cos
的不连续点为 A.x =0
B.x =
1
22
+k (k =0,±1,±2,…) C.x =0和x =2k π(k =0,±1,±2,…)
D.x =0和x =122
+k (k =0,±1,±2,…)
解析:由cos x π=0,得x π=k π+2π(k ∈Z ),∴x =)(1
22
Z ∈+k k .
又x =0也不是连续点,故选D 答案:D
3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是
x
y
①
②
A.①
B.①④③④
答案:A
4.四个函数:①f (x )=
x
1;②g (x )=sin x ;③f (x )=|x |;④f (x )=ax 3+bx 2
+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.(把你认为正确的代号都填上)
答案:②③④
例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠+-=)
0(1)0(11)()1(1
1
x x e e x f x x ,点x=0;
⎩⎨
⎧->+-≤+=)
1(4
)
1(2
)()2(2x x x x x f ,点x=-1。
解:(1)当x →0-
时,
-∞→x
1
,0lim 10=-→x
x e ,因此-→0lim x 1
11
1+-x x
e e =-1, 而+
→0
lim
x 1
1
11+-x
x
e e =+
→0
lim
x )1
21(1+-
x
e =1,∵)(lim )(lim 0
x f x f x x +-→→≠,
∴)(x f 在x=0处极限不存在,因此)(x f 在x=0处不连续。
(2)∵3)2(lim )(lim 2
1
1
=+=---→-→x x f x x ,=+-→)(lim 1x f x 3)4(lim 1
=++-→x x ,3)1(=-f ,
∴)1(3)(lim 1
-==-→f x f x ,因此函数)(x f 在x=-1处连续。
【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续(闭区间的端点例外)。
[]2.(2081)
(1),00,3P x ⎧⎪
=⎨⎪⎩例优化例 1 (x>0)
讨论函数f(x)=0 (x=0)在点处的连续性
-1 (x<0)x
(2)讨论函数f(x)=在区间上的连续性
x-3
剖析:(1)需判断-→0
lim x f (x )=+→0
lim x f (x )=f (0).
(2)需判断f (x )在(0,3)上的连续性及在x =0处右连续,在x =3处左连续. 解:(1)∵-→0
lim x f (x )=-1, +→0
lim x f (x )=1,
-
→0lim x f (x )≠+→0
lim x f (x ),
∴0
lim →x f (x )不存在.∴f (x )在x =0处不连续. (2)∵f (x )在x =3处无定义,
∴f (x )在x =3处不连续. ∴f (x )在区间[0,3]上不连续.
练习:讨论函数2
4
)(2--=x x x f 的连续性;适当定义某点的函数值,使)(x f 在区间(-3,3)
内连续。
解:显然函数的定义域为),2()2,(+∞⋃-∞,当2≠x 时,2)(+=x x f ,