多项式除以单项式典型例题

《多项式除以单项式》典型例题

例1 计算：

（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭

⎫ ⎝⎛--．

例2 计算：

（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；

（2）()()()[]()[]

334532b a a b a b a b a +÷--++-+．

例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3

235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．

（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．

例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：

（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；

（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．

例6 化简：

（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；

（2）)4

1()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-

例7 计算)].(3

1[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+

参考答案

例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．

解：（1）原式()2223249993

4936x x x x x x ++÷+÷-= 127

442++

-=x x （2）原式 ()()()

2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 3

1213++-= 2

1313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．

例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．

解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a a

a a a 3232-+=

a a a 3223-+=

（2）原式=()()()[]()[]

334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()2

1232

-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532

356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()

457956757562821y x y x y x y x -÷+-=

343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为

()

()()8212342+++-+a a a a

8234682223++-++-+=a a a a a a

59223++=a a

说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。根据是“被除式=除式×商式+余式”．

例4 分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算．

解：原式()()246323222521125225b a b b a a a b a ÷⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⋅-⋅= ()

2475252512525b a b a b a ÷-= 55ab a -=

例5 分析：此三题均是多项式除以单项式，应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果．

解：（1）原式x x x x x x 444841634÷-÷÷÷=

12423--=x x

（2）原式=)4(7)4(12)4()4(2232223a b a a b a a a -÷--÷+-÷- =.4

732ab b a +- （3）原式=112114124844--+-+÷-÷+÷m m m m m m a a a a a a

=a a a a a a 32322332-+=-+.

说明：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，要注意各项的符号． 例6 分析：题（1）不能先用x 2去除各项，应先对括号内进行化简；题（2）则体现了对知识的综合运用．

解：（1）原式=x x xy y y xy x 2)8444(222÷---++

=.42282)84(2-=÷-÷-x x x x x x

（2）原式=)4

1()41(4)12)(124(33362x x x x x x x -÷-÷+++- =5841618333+-=+-+x x x ．

例7 分析：把q p +当成单项式，运用多项式除以单项式的法则．

解：原式=)(3

1)(32)(31)(2)(31)(23q p q p q p q p q p q p +÷+-+÷+-+÷+ .

266363266)2(32

)(6)(322222---++=---++=-+-+=q p q pq p q p q pq p q p q p

说明：经题表面看来是多项式除以多项式，但观察后发现每个在底数均为)(q p +，所以可把q p +当作单项式，再进行计算，这种换元的思想希望同学们掌握．