八年级数学沪科版课件：15.4角的平分线(1)
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折,再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
现已有一个条件 BD=DF( 斜边相等 ), 还需要 我
们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
课堂小结：
你学习了哪些知识？ 1：画一个已知角的角平分线； (注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线； 2：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的性质的应用
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
(3)验证猜想
活 动 5
(4)得到角平分线的性质：
角平分线上任意一点到角的两边的 距离相等。
A
用几何语言表述：
D
O
1 2
C ∵ ∠1= ∠2, P PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角两 E B 边的距离相等）
A E
C
D
B
A
3 。 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分 线， DE⊥AB 于 E ， F 在 AC 上， BD=DF； 求证：CF=EB
F C D
E B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在
的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
B C E
2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） D DC=BC（已知） CA=CA（公共边） C ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 E 对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C
O
M
如何用尺规作角的平分线？
作法： A １．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． Ｃ
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2 半径作弧．两弧在∠AOB
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC． ２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｍ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣห้องสมุดไป่ตู้为所求．
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 证明： ∵OC平分∠ AOB （已知） 求证 : PD=PE A
D O
1 2
P
C
E
B
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
合作探究：
活 动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A C
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
O
B
角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线.
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1 、如图，是一个角平分仪，其 中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下 ,沿AC画一条 射线AE,AE就是角平分线，你能 说明它的道理吗?
15.4角平分线的
性质（1）
D
B C E
A B C
D
学习目标：
1. 掌握角的平分线的性质定理． 2. 能运用角的平分线性质定理解决简单 的几何问题.
自学提纲：
自学课本141—142页内容，解决下列问题： 1、角是轴对称图形吗？如果是，你能找出它 的对称轴吗？ 2、什么是角的平分线？给你一个角你能作出 这个角的角平分线吗？ 3、如何用尺规作一个角的角平分线？按照书 中介绍的方法试一试。 4、角的平分线上的点到这个角两边距离相等 吗？如何证明？
巩固练习：
1.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
2.如图,在△ABC中， AC⊥BC，AD为∠BAC的平 分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求BE的长。
作业布置：
课堂作业： 必做题：课本第143页练习第2题、 习题15.4第1题 选做题：习题15.4第2题 家庭作业：基训训练15.4（一）
再 见
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折,再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
现已有一个条件 BD=DF( 斜边相等 ), 还需要 我
们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
课堂小结：
你学习了哪些知识？ 1：画一个已知角的角平分线； (注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线； 2：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的性质的应用
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
(3)验证猜想
活 动 5
(4)得到角平分线的性质：
角平分线上任意一点到角的两边的 距离相等。
A
用几何语言表述：
D
O
1 2
C ∵ ∠1= ∠2, P PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角两 E B 边的距离相等）
A E
C
D
B
A
3 。 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分 线， DE⊥AB 于 E ， F 在 AC 上， BD=DF； 求证：CF=EB
F C D
E B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在
的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
B C E
2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） D DC=BC（已知） CA=CA（公共边） C ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 E 对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C
O
M
如何用尺规作角的平分线？
作法： A １．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． Ｃ
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2 半径作弧．两弧在∠AOB
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC． ２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｍ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣห้องสมุดไป่ตู้为所求．
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 证明： ∵OC平分∠ AOB （已知） 求证 : PD=PE A
D O
1 2
P
C
E
B
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
合作探究：
活 动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A C
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
O
B
角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线.
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1 、如图，是一个角平分仪，其 中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下 ,沿AC画一条 射线AE,AE就是角平分线，你能 说明它的道理吗?
15.4角平分线的
性质（1）
D
B C E
A B C
D
学习目标：
1. 掌握角的平分线的性质定理． 2. 能运用角的平分线性质定理解决简单 的几何问题.
自学提纲：
自学课本141—142页内容，解决下列问题： 1、角是轴对称图形吗？如果是，你能找出它 的对称轴吗？ 2、什么是角的平分线？给你一个角你能作出 这个角的角平分线吗？ 3、如何用尺规作一个角的角平分线？按照书 中介绍的方法试一试。 4、角的平分线上的点到这个角两边距离相等 吗？如何证明？
巩固练习：
1.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
2.如图,在△ABC中， AC⊥BC，AD为∠BAC的平 分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求BE的长。
作业布置：
课堂作业： 必做题：课本第143页练习第2题、 习题15.4第1题 选做题：习题15.4第2题 家庭作业：基训训练15.4（一）
再 见
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【沪科版】八上数学：15.4.1-角平分线的尺规作
八年级数学上（沪科版） 教学课件
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过 一点作已知直线的垂线;（重点）
2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理; （难点）
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作 能力与探索精神．
这一步的目的是什么？
①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
C
②分别以A，B 为圆心 以大于12 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，
A
P·
Bl
则直线CP为所求作的直线.
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段
导入新课
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还 能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下, 沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的 道理吗?
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
B
N
O
3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
Hale Waihona Puke mAC解：
A
N D
B P
M
C
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过 一点作已知直线的垂线;（重点）
2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理; （难点）
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作 能力与探索精神．
这一步的目的是什么？
①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
C
②分别以A，B 为圆心 以大于12 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，
A
P·
Bl
则直线CP为所求作的直线.
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段
导入新课
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还 能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下, 沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的 道理吗?
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
B
N
O
3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
Hale Waihona Puke mAC解：
A
N D
B P
M
C
沪科版数学八年级上册15.4.2角的平分线的判定课件(共26张PPT)
例题示范
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
解:(1)
∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知）∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
(2)
归纳小结
知识点1 角平分线的判定定理
定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC， BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即AD 是△ABC 的角平分线．
Q
M
N
新知引入
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线15.4.2 角的平分线的判定
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
解:(1)
∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知）∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
(2)
归纳小结
知识点1 角平分线的判定定理
定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC， BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即AD 是△ABC 的角平分线．
Q
M
N
新知引入
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线15.4.2 角的平分线的判定
沪科版八年级数学上册《15.4.2角的平分线》课件1ppt
A D
P C
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上，
B
可以先作出过点P的射线OC，然后证明
∠AOC=∠BOC.
二.角平分线性质定理的逆
定理 逆定理: 到一个角的两边距离相等的
点，在这个角的平分线上.
用符E ∴点P在∠AOB的平分线上
A D
P
O
C
E B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一.
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.
3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离
相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等
角平分线的性质定理及 其逆定理
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 已知：OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PC ⊥OA ，PD ⊥OB，垂足分别是C、D. A
求证：PC=PD.
C
3P
O
12
4
B
D
一.角平分线的性 质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
小结 拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
二.逆定理 在一个角的内部，且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题，可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理
（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E 求证：点P在∠MNO的平分线上
沪科版八年级数学上册15.4.1 角平分线的画法(课件)【新版】
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第4节 角的平分线 第1课时 角平分线的画法
1 课堂讲解
角平分线的画法 过一点作已知直线的垂线
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 角平分线的画法
问题：怎样作出角的平分线？
知1－导
知1－讲
角的平分线的画法1： 通知过识折点纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上
两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠AOC的平分线OM.
∠AOM即为所求(如图所示)．
总结
知1－讲
作法中“适当长为半径画弧”的目的是为方便作
图，不能太大或太小；“大于1 EF的长为半径画弧”
是因为若以小于或等于 1
2
EF的长为半径画弧时，画出
2
的两弧不能相交．
知1－练
2.分别以点M,N为圆心，以大于 MN长为半径(为什么？）在角 的内部画弧交于点P,如图（2）.
3.作射线OP,则OP为所要求作的 ∠AOB的平分线，如图（3）.
知1－讲
思考：
知1－讲
1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是∠AOB的平
分线吗？
2.当∠AOB的两边成一直线时（即∠AOB= 180°），
的判定方法：“SSS”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四
等分线．
2.易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射
线”时，不能简单射线而不是线段．
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线
第4节 角的平分线 第1课时 角平分线的画法
1 课堂讲解
角平分线的画法 过一点作已知直线的垂线
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 角平分线的画法
问题：怎样作出角的平分线？
知1－导
知1－讲
角的平分线的画法1： 通知过识折点纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上
两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠AOC的平分线OM.
∠AOM即为所求(如图所示)．
总结
知1－讲
作法中“适当长为半径画弧”的目的是为方便作
图，不能太大或太小；“大于1 EF的长为半径画弧”
是因为若以小于或等于 1
2
EF的长为半径画弧时，画出
2
的两弧不能相交．
知1－练
2.分别以点M,N为圆心，以大于 MN长为半径(为什么？）在角 的内部画弧交于点P,如图（2）.
3.作射线OP,则OP为所要求作的 ∠AOB的平分线，如图（3）.
知1－讲
思考：
知1－讲
1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是∠AOB的平
分线吗？
2.当∠AOB的两边成一直线时（即∠AOB= 180°），
的判定方法：“SSS”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四
等分线．
2.易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射
线”时，不能简单射线而不是线段．
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线
1角的平分线第1课时尺规作图课件沪科版八年级上册数学
预习导学
把一块纸片对折，使一个角的两边叠合在一起，把纸片展 开后，用量角器量一量由折痕为边的两个角的度数.
预习导学
角平分线的作法 阅读教材本课时相关内容，回答下列问题. 角是轴对称图形吗？如果是，指出其对称轴. 是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线.
预习导学
过一点作已知直线的垂线 揭示概念:过一点作已知直线的垂线其实质就是作平角的 角平分线 或作线段的 垂直平分线 .
合作探究
已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个 角的一边长，求作三角形.
已知:∠α，以及线段b、c(b＜c).求作:△ABC，使得∠BAC ＝∠α，AB＝c，∠BAC的平分线AD＝b.
合作探究
解:作法:(1)作∠MAN＝∠α. (2)作∠MAN的平分线AE. (3)在AM上截取AB＝c，在AE上截取AD＝b. (4)连接BD，并延长交AN于点C. △ABC就是所求作的三角形.(如图)
合作探究
作角平分线和垂直平分线 3. 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留 作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空. (1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D； (2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E， 交BC于点F，线段EF与线段BD的关系为 .
合作探究
解:(1)、(2)题作图如下:由作图可知线段EF与线段BD的关 系为互相垂直平分.
第15章 轴对称图形与等 腰三角形
15.4 角的平分线 第1课时 尺规作图
素养目标
1.知道角是轴对称图形，掌握角平分线的尺规作法并会证明 它的正确性.
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法. 3.增强动手画图的能力，进一步理解尺规作图的准确性. ◎重点:角平分线及垂线的尺规作法. 的语句正确的是( C ) A.作∠AOB的平分线AC B.以O为圆心作弧 C.以A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作直线AB的垂直平分线CD
沪科版八年级数学上册《15.4.1角的平分线》课件1ppt
2.当C在直线AB外时.
作法：
1)任意取一点K，使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和C在AB的两旁；
2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
3)分别以点D和点E为圆心，大于 作弧，两弧交于点F；
4)作直线CF.
的1 长为半径 DE
2
C
直线CF是所求的垂线.
经过已知直线外一点 作这条直线的垂线.
AD K
B E F
大显身手
∠AOB内一点_P___； Ｏ
Ｂ N
P
MA
3、作射线__O_P__； __O__P_就是所求作∠AOB的平分线.
想一想
为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP（SSSＯ） ∴∠MOP=∠NOP 即：OP平分∠AOB
15.4.1 角的平分线
温故知新
温故知新
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
1、折纸法
B
2、度量法
3、尺规作图
O
A
尺规作图
作法：1、以点_O___为圆心， _任__意___长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于M、
大2_作N于_、两_弧适_分_，当点_别12_两_以M；_条N__M圆_的、_弧_长N_交为为于半圆径心，
任作两条长度不等的线段a，b（b>a）， 你能用尺规作图的方法作出以a为直角边，以b 为斜边的直角三角形吗？
a
C
b
G
b
E A Fa B
总结收获
1、角平分线的三种作法. 2、两个尺规作图. 3、一个问题意识.
沪科版八年级数学上册教学课件《角的平分线》ppt
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3 .
三 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这个 结论吗？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC 于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
FG⊥AE， FHA ⊥AD，
E G
C
M
F
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，
的两边分别交于M、N两点； 2.分别以 _M__、__N为圆心，
_大__于___12__M__N的长为半径作弧，两条
B
N P
圆弧交于
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
M
A
3.作射线__O__P_； __O__P_就是所求作∠AOB的平分线.
想一想：为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到 木板、钢板的角平分线吗？
15.4 角的平分线 第1课时角的平分线的作法 课件 2024-2025学年沪科版数学八年级上册
画法二 可以用量角器来画一个角的平分线.
方法三 下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.
(1)以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图(1).
1 (2)分别以点M,N为圆心，以大于 2 MN长为半径在角的内部画弧交于点
P，如图(2).
(3)作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图(3).
2.当∠AOB的两边成一直线时， 这个角的平分线就是直线AB的垂线,即这时角平分线与直线AB垂直.
二 过一点作已知直线的垂线
通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗?
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分为两种情况∶ 经过已知直线上的一点作这条折线的垂线. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
B P
M
C
课堂小结
作角的 平分线
角平分线的 作法与性质
过一点作 已知直线 的垂线
经过已知直线上的一点作这条折线的垂线. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
经过对折后，发现是轴对称图形. 2. 你能作出∠AOB 的对称轴吗？为什么？
B
对称轴是角 平分线吗？
l O
A
新知学习
问题 怎样作出角的平分线?
画法一 通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画一个角, 请你用折叠的方法,找出角的平分线,如图.
B
B
D
D
A
C
A
C（B） A
C
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线： 已知：直线AB和AB上一点C， 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： 作平角ACB的平分线CF； 直线CF就是所要求作的垂线．
沪科数学八年级上册《15.4 角的平分线(一)》课件
15.4 角的平分线（一）
教学目标：
• 1、知识与技能 • 探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它
们的作图方法。 • 2、过程与方法 • 经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这
两个定理的作用，发展几何空间意识。 • 3、情感、态度与价值观 • 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实
生活中的应用价值。
PQ⊥AB，垂足分别为M、N、Q。 • ∵BE是∠B的平分线，点P在BE上。 • ∴PQ=PM • 同理可证：PN=PM • ∴PN= PQ • ∴AP平分∠BAC
总结提升
• 本节课学习了哪些内容？你有何收 获？
作业布置
• 课堂作业：习题15.4第2题.
• 家庭作业：1、基础训练15.4（1）
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
合作探究(一)
• 怎样做一个已知角的平分线，要求学生与 教师同步操作，在完成图形后，提出思考 问题。
• 问题思索： 1、为什么所做的OP，就是∠AOB的平
分线呢？
合作探究(二)
• 2.OP是∠AOB的平分，P是OP上的任一点， 过点P分别作P C⊥OA， PD⊥OB，C、 D是垂足，根据你学过的知识，图只你们得 到哪些结论？写出这个问题的已知，求证， 并给出证明。
得出结论
• 师生共识：角平分线上的任意一点 • 到角的两边的距离相等。
当堂训练
• 已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 足为D、E，PD=PE。
• 求证：点P在∠AOB的平分线上。
A
D P
O
E
B
定理归纳：
• 在一个角内部，到角的两边的距离相等的 • 点在这个角的平分线上。
教学目标：
• 1、知识与技能 • 探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它
们的作图方法。 • 2、过程与方法 • 经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这
两个定理的作用，发展几何空间意识。 • 3、情感、态度与价值观 • 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实
生活中的应用价值。
PQ⊥AB，垂足分别为M、N、Q。 • ∵BE是∠B的平分线，点P在BE上。 • ∴PQ=PM • 同理可证：PN=PM • ∴PN= PQ • ∴AP平分∠BAC
总结提升
• 本节课学习了哪些内容？你有何收 获？
作业布置
• 课堂作业：习题15.4第2题.
• 家庭作业：1、基础训练15.4（1）
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
合作探究(一)
• 怎样做一个已知角的平分线，要求学生与 教师同步操作，在完成图形后，提出思考 问题。
• 问题思索： 1、为什么所做的OP，就是∠AOB的平
分线呢？
合作探究(二)
• 2.OP是∠AOB的平分，P是OP上的任一点， 过点P分别作P C⊥OA， PD⊥OB，C、 D是垂足，根据你学过的知识，图只你们得 到哪些结论？写出这个问题的已知，求证， 并给出证明。
得出结论
• 师生共识：角平分线上的任意一点 • 到角的两边的距离相等。
当堂训练
• 已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 足为D、E，PD=PE。
• 求证：点P在∠AOB的平分线上。
A
D P
O
E
B
定理归纳：
• 在一个角内部，到角的两边的距离相等的 • 点在这个角的平分线上。
沪科版八年级数学上册(课件)：15.4角的平分线(第1课时
角的平分线（一）
新课引入 复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线.
A
1
C
o
2
B
新课引入 复习提问
从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离.
P
线段的长度
A
O
B
新课讲解
尺规作图：
已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
A C
作法：1、以_点__O_为圆心， E _适__当___长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于C、
D两点；
2、分别以_C_、__D_为圆心， B D
O
超_过__C__D_一__半__的长为半径
作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点__E__；
3、作射线_O_E___； _O__E__就是所求作的射线.
新课讲解
想一想：
为什么OC是角平分线
呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
新课讲解
折一 角平分线的性质 折A
A
D PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的 距离,这两个距离相等.
新课引入 复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线.
A
1
C
o
2
B
新课引入 复习提问
从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离.
P
线段的长度
A
O
B
新课讲解
尺规作图：
已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
A C
作法：1、以_点__O_为圆心， E _适__当___长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于C、
D两点；
2、分别以_C_、__D_为圆心， B D
O
超_过__C__D_一__半__的长为半径
作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点__E__；
3、作射线_O_E___； _O__E__就是所求作的射线.
新课讲解
想一想：
为什么OC是角平分线
呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
新课讲解
折一 角平分线的性质 折A
A
D PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的 距离,这两个距离相等.