直线的投影ppt课件
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《直线的投影》课件
垂直线投影
当直线与投影面垂直时，其投影长度变为零，但角度保持不 变。
直线投影的相交与交叉
相交线投影
当两条直线相交时，它们的投影在投 影面上也相交，且交点与原直线上的 交点对齐。
交叉线投影
当两条直线在空间交叉但不相交时， 它们的投影在投影面上可能相交或平 行。
03
直线投影的应用
建筑图纸的绘制
建筑图纸是建筑设计和施工的基础，而直线的投影在建筑图 纸的绘制中起着至关重要的作用。通过正确的直线投影，建 筑师可以准确地表达建筑物的形状和结构，为施工提供准确 的指导。
斜投影是指光线与投影面不垂 直的投影方式，此时投影线与 投影面形成一定的角度。
02
直线投影的性质
直线投影的长度与角度
直线投影的长度
在投影面上，直线的投影长度等 于直线本身长度，保持不变。
直线投影的角度
直线的投影角度等于直线本身与 投影面的夹角，保持不变。
直线投影的平行与垂直
平行线投影
当直线与投影面平行时，其投影长度和角度都不变，形状也 不变。
利用作图法解题
作图法是一种直观的解题方法，通过 作图可以清晰地表达出问题中的几何 关系。在解决直线投影问题时，可以 利用作图法来帮助解题。
例如，在求解两条直线在投影面上的 夹角时，可以通过作图来表达两条直 线在空间中的位置关系和夹角，从而 推导出投影面上的夹角。
利用几何意义解题
直线的投影在几何上表示直线与投影面的交点形成的图形。利用这个几何意义，可以解决一些与直线 投影相关的问题。
使用直线连接投影点， 得到直线的投影。
判断可见性
根据直线与投影面的关 系，判断直线的投影在 可见性上是否存在变化
。
直线的截取与延长
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影PPT课件
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
线的投影优质获奖课件
直线旳三面投影特征与鉴别措施
三、直线与点旳相对位置
鉴别措施：
若点在直线上, 则点旳 V
d b
投影必在直线旳同面投影上
c
B
。即具有隶属性。
a CD
若点在直线上，则点将 线段旳同面投影分割成与空 间直线相同旳百分比。即具
A c
a
b d
H
有定比性：
AC/CB=ac/cb= a’c’ / c’b’
若点旳投影有一种不在直 线旳同名投影上C点， 则该在点必直线AB上
用其可帮助判断两直线 旳空间位置。
结论：AB与CD两直线不相交
三、直线上旳点
直线上旳点具有 隶属性 和 定比性 两种性质。
四、两直线旳相对位置关系
两直线有 平行 、 相交 和 交叉 三种 位置关系。
a
c b
练习2：已知直线AB旳投影，AB上一点C 分AB为1:3，求点C旳投影。
b’
a’
a
b
练习3：已知直线EF上点G到V面旳距离为 15mm，求G点旳投影。
f'
g ‘
e'
e
15mm
g f
四、两直线旳相对位置
空间两直线旳相对位置分为：平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
b′
d′
a′ c′
X
O
b
a
d
d b
，空间直线不一定平行。若
c
用两个投影判断，其中应涉
b
及反应实长旳投影。
d a
怎样判断
结论:AB与CD不平行
求出侧面投影
2.两直线相交
交点是两直线旳共 有点
V c
a
X
A
a
b k
三、直线与点旳相对位置
鉴别措施：
若点在直线上, 则点旳 V
d b
投影必在直线旳同面投影上
c
B
。即具有隶属性。
a CD
若点在直线上，则点将 线段旳同面投影分割成与空 间直线相同旳百分比。即具
A c
a
b d
H
有定比性：
AC/CB=ac/cb= a’c’ / c’b’
若点旳投影有一种不在直 线旳同名投影上C点， 则该在点必直线AB上
用其可帮助判断两直线 旳空间位置。
结论：AB与CD两直线不相交
三、直线上旳点
直线上旳点具有 隶属性 和 定比性 两种性质。
四、两直线旳相对位置关系
两直线有 平行 、 相交 和 交叉 三种 位置关系。
a
c b
练习2：已知直线AB旳投影，AB上一点C 分AB为1:3，求点C旳投影。
b’
a’
a
b
练习3：已知直线EF上点G到V面旳距离为 15mm，求G点旳投影。
f'
g ‘
e'
e
15mm
g f
四、两直线旳相对位置
空间两直线旳相对位置分为：平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
b′
d′
a′ c′
X
O
b
a
d
d b
，空间直线不一定平行。若
c
用两个投影判断，其中应涉
b
及反应实长旳投影。
d a
怎样判断
结论:AB与CD不平行
求出侧面投影
2.两直线相交
交点是两直线旳共 有点
V c
a
X
A
a
b k
直线的投影2课件(共21张PPT)《土木工程制图与识图》
c
n
m
【例】 点K在侧平线AB上,已知点K的正面投影k′,求k。
a′
作法一 a′
作法二 a′
a″
k′
k′
k′
b′
b′
b′
X
OX
OX
O
a
a
平行 a
k
任意角度k
b
b
b
k″ b″
作法一：根据定比性 ak/kb=a′k′/k′b′, 在H面投影上用 定比法作出;
作法二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定 点的方法求出。
k
b
Y
Z
b″
k″
a″
O
YW
YH
[例] 已知线段AB的投影图，试将C点把AB分成3:2两段，求C点的
投影。
1.过AB 的任一投影的任一
端点如a, 作一条辅助直线，
c'
并在其上从a起量取3个单
位的长度得n点,再量取2个
单位的长度得m点。
2. 连接bn，过m点作bn 的平行线，交ab于点c。
3.过点c做垂直于OX轴的 投影连线，交a′b′于点c′。
d′
a d
d
c
b
c
b
垂直相交
相交(不垂直)
垂直相交
[例] 求点A到水平线BC的垂线
分析：由于BC是水平线。作BC 的垂线将在H面上反映直 角实形。
d'
步骤：（1）过点a作直线垂直 于bc，交bc于点d。
（2）根据长对正的规律， 在b′c′上求出d′ 。
（3）连接a′d′。
d
[例] 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
直于CD，根据直角投影定理，
直线的投影公开课 ppt课件
●B
α A●
a ●●
●● b
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab<AB（收缩性）
Page 5
｛ 直线倾斜于投影面，投影变短线。 直线平行于投影面，投影实长现。 直线垂直于投影面，投影聚一点。
Page 6
二、直线在三投影面体系中的投影特性
在三投影面体系中，直线相对于投影面 的位置可分为以下三类：
（1）投影面平行线 （2）投影面垂直线
情感目标： 培养学生从基础开始的脚踏实地的良好习惯。
学习重点：直线的空间位置及其投影规律。
学习难点：用投影图来区分直线的不同的空间位置。
Page 4
一、 直线对投影面的三种位置及投影特性
B
●
A●
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB（真实性）
A●
B●
●
a (b)
直线垂直于投影面 投影重合为一点 （积聚性）
B
b’’
a’
a’’
A
X a’’
O
Y
X
O
a
b
Y
a
b
Y
投影特性： 1、ab // OX ; a’’b’’// OZ 2、a’b’ = AB
Page 10
（3）侧平线— 平行于侧投影面（W面）的直线
Z
a’
A
a’’
a’
Z a’’
b’
b’’
b’
X
O
X
O
Y
a
a
b’’
B
b
Y
b
Y
投影特性： 1、a’b’// OZ ; ab // OY
X
点直线平面的投影课件
３．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处 于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾 斜，且投影线段的长小于空间线段的 实长。从投影图上也不能直接反映出 空间直线和投影平面的夹角。
企业案例
分析管子有几段组成，各段对投影面的位置
企业案例
分析管子有几段组成，各段对投影面的位置
企业案例
分析管子有几段组成，各段对投影面的位置
分析板的尺寸及各 面对投影面的位置
企业案例
分析管子有几段组成，各段对投影面的位置
三、平面的投影
１．投影面平行面
空间平面对投影 面有三种位置关系： 平行、垂直和一般位 置。若空间平面平行 于一个投影面，则必 垂直于其他两个投影 面，这样的平面称之 为投影面平行，对平 行于V、H、W面的 平面分别称之为正平 面、水平面和侧平面。 投影面平行面在其平 行的投影面上的投影 反映实形，其他两个 投影面上投影积聚成 一条直线。
２．投影面垂直面
若空间平面垂直 于一个投影面，而倾 斜于其他两个投影面， 这样的平面称之为投 影面垂直面，按垂直 于V、H、W面的平面分 别称之为正垂面、铅 垂面和侧垂面。投影 面垂直面在其垂直的 投影面上的投影积聚 成一条直线，该直线 和投影轴的夹角反映 了空间平面和其他两 个投影面所成的二面 角，其他两个投影面 上的投影为类似形。
空间直线对投 影面有三种位置关 系：平行、垂直和 倾斜。若空间直线 垂直于一个投影面， 则必平行于其他两 个投影面，这的 直线称之为投影面 垂直线，对于垂直 于V、H、W面的直 线分别称之为正垂 线、铅垂线和侧垂 线。投影面垂直线 在其垂直的投影面 上的投影积聚为一 个点。
二、直线的投影
１．投影面垂直线
若空间直线平 行于一个投影面， 倾斜于其他两个投 影面，这样的直线 称之为投影面平行 线，按其平行于V、 H、W面分别称之为 正平线、水平线和 侧平线。投影面平 行线在其平行的投 影面上的投影反映 实长，其他两个投 影面上投影平行 （或垂直）于投影 轴，且投影线段的 长小于空间线段的 实长。
直线的三面投影精品PPT课件
9
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
W
投影规律： 在 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 长 ；
在所垂直的投影面上的投影则为重影点。
正垂线
(a’)b’ a” AB b”
a AB
b
铅垂线
a’
a”
AB
AB
b’
b”
侧垂线
AB a’ b’
a”(b”)
a(b)
请点击鼠标左键显示后面内容
AB
a
b
3.投影面倾斜线 —— 一般位置直线
定 义： 与 三 投 影 面 均 倾 斜 的 直 线 ；
倾 角：
H
直线与 V 面的夹角称为 ( 三倾角不为0和90);
W
投影规律： 三 投 影 均 小 于 实 长 ， 三 倾 角 均 不 是 真 实 大 小 。
V
Z
b’
z
b´ b"
B
b”
W
a´
a’
x
a"
0
Yw
X A
0
b
a”
a
b
a
Y
H
请点击鼠标左键显示后面内容 Y
立体上直线的投影 PROJECTION OF LINES
非机类
一、直线的三面投影 二、直线的投影特性 三、直线的相对位置 四、练习题
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
W
投影规律： 在 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 长 ；
在所垂直的投影面上的投影则为重影点。
正垂线
(a’)b’ a” AB b”
a AB
b
铅垂线
a’
a”
AB
AB
b’
b”
侧垂线
AB a’ b’
a”(b”)
a(b)
请点击鼠标左键显示后面内容
AB
a
b
3.投影面倾斜线 —— 一般位置直线
定 义： 与 三 投 影 面 均 倾 斜 的 直 线 ；
倾 角：
H
直线与 V 面的夹角称为 ( 三倾角不为0和90);
W
投影规律： 三 投 影 均 小 于 实 长 ， 三 倾 角 均 不 是 真 实 大 小 。
V
Z
b’
z
b´ b"
B
b”
W
a´
a’
x
a"
0
Yw
X A
0
b
a”
a
b
a
Y
H
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立体上直线的投影 PROJECTION OF LINES
非机类
一、直线的三面投影 二、直线的投影特性 三、直线的相对位置 四、练习题
教学课件PPT 点、直线、平面的投影
其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Z b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
二、直线与点的相对位置
a
a
三个投影都类似。
b
a
c
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面 投影。
c
c
a
a
b ● 45°
b
a
c b
思考：此题有几个解？
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
位于平面上的直线应满足的条件：
若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。
度量性较差。
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Z b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
二、直线与点的相对位置
a
a
三个投影都类似。
b
a
c
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面 投影。
c
c
a
a
b ● 45°
b
a
c b
思考：此题有几个解？
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
位于平面上的直线应满足的条件：
若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。
度量性较差。
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法
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2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z
b
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、角的真实大小
b YH
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a
Z
a
a
A
a
b
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
b b
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
线的共有点
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
b YH
投影面垂直线
a'
实长
b'
垂直某一个投影面的直线
a"
实长
b"
是铅什垂么线线？ 为垂什直么H面？
积聚性
a(b)
P
V W
投影特性
H
在所垂直的投影面内的投影积聚成一点 另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长
二、一般位置直线
Z
b
a
b
B b
a
b
a
X
O
Y
b
b A
a
a
a
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 Y 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 、 实角
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂线
H 铅垂线
W
直线某一投影面
投影面垂直线
W 侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
Z
a
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹 角并不反映空间线段与三个投影面夹角的 大小。三个投影的长度均比空间线段短， 即都不反映空间线段的实长。
直线与点
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。 2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线 平行某一个投影面的直线
b'
实长
b"
//OZ轴
是正什平么线线？ 平为行什V么面？
a'
a"
P
//OX轴
a
b
投影特性
V
W
H
在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外 二投影面倾角
另外二投影分别平行于相应的投影轴
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投 影c、c 。
c
c
[例题] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc ca
c
c
两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉 四、判断两交叉直线重影点的可见性
两直线的相对位置
2.直线垂直于一个投影 面
(1)铅垂线 (2)正垂线 (3)侧垂线
二、一般位置直线
V
H V
H
V
W
W
H
// V 正平线
// H 水平线
W
直线//某一投影面
投影面平行线
// W 侧平线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b
a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
第一节 直线的投影
直线对投影面的相对位置 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角
属于直线上的点 两直线的相对位置
直线的投影
a b c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线
1.直线平行于一个投 影面
(1)水平线 (2)正平线 (3)侧平线 3.从属于投影面的直线
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。
⒈ 两直线平行
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
c
b d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d
a c
c a
b d
AB与CD平行。
即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a c●
在
不在
b
a
c
●
③ a
c ● b
a c●
b
ac
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
应用定比定理
b
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
ab
A
a
ab
z a
b
B
b
X
O
YW
a a
b
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
c′
O
a′ AC
d
a
c
c
b
两直不线相相交交！吗？
交为点什么不？符合一个
点的投影规律！
b′ d′
B D
d bH
V c′ a′
3(′4 ′)1● ′
●
2
●
′Ⅳ
●
b′ d′
Ⅰ
●
B
A C D ●Ⅲ●Ⅱ
a
●4
d
●●
c 3 1(2) b H
投影特性：
1′ b′
c
′
3(′4 ′)
●
● ●
2′
d′
a′
X
O
a
●4
d
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
相交吗？ 不相交！
a′ d′
a
d
b c
为什么？
交点不符 合空间一个点 的投影特性。
判断方法？ ⒈ 应用定比定理
⒉ 利用侧面投影
⒊ 两直线交叉
b′
c′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a′ X
a
V
d′
● ●
c 3 1(2) b
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。
★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用 其
可帮助判断两直线的空间位置。
判断交叉两直线重影点投影的可见性
1 (3)4 2
13 2
4
3 4
1(2)
判断两直线的相对位置
z
c
b
d
a
o
YW
YH
判断两直线的相对位置
1
1
1d c 1
判断两直线重影点的可见性
1 3(4) 2
4 3 1(2)
第二节 平面的投影
物体是由各种不同形状的表面围成的，点、 线、面是构成物体的基本几何元素。
• 平面的投影仍然是以点的投影为基础，只 要作出平面上的点的投影，即可求得平面 的投影。
3．反映、 角的真实大小
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z
b
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、角的真实大小
b YH
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a
Z
a
a
A
a
b
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
b b
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
线的共有点
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
b YH
投影面垂直线
a'
实长
b'
垂直某一个投影面的直线
a"
实长
b"
是铅什垂么线线？ 为垂什直么H面？
积聚性
a(b)
P
V W
投影特性
H
在所垂直的投影面内的投影积聚成一点 另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长
二、一般位置直线
Z
b
a
b
B b
a
b
a
X
O
Y
b
b A
a
a
a
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 Y 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 、 实角
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂线
H 铅垂线
W
直线某一投影面
投影面垂直线
W 侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
Z
a
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹 角并不反映空间线段与三个投影面夹角的 大小。三个投影的长度均比空间线段短， 即都不反映空间线段的实长。
直线与点
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。 2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线 平行某一个投影面的直线
b'
实长
b"
//OZ轴
是正什平么线线？ 平为行什V么面？
a'
a"
P
//OX轴
a
b
投影特性
V
W
H
在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外 二投影面倾角
另外二投影分别平行于相应的投影轴
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投 影c、c 。
c
c
[例题] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc ca
c
c
两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉 四、判断两交叉直线重影点的可见性
两直线的相对位置
2.直线垂直于一个投影 面
(1)铅垂线 (2)正垂线 (3)侧垂线
二、一般位置直线
V
H V
H
V
W
W
H
// V 正平线
// H 水平线
W
直线//某一投影面
投影面平行线
// W 侧平线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b
a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
第一节 直线的投影
直线对投影面的相对位置 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角
属于直线上的点 两直线的相对位置
直线的投影
a b c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线
1.直线平行于一个投 影面
(1)水平线 (2)正平线 (3)侧平线 3.从属于投影面的直线
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。
⒈ 两直线平行
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
c
b d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d
a c
c a
b d
AB与CD平行。
即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a c●
在
不在
b
a
c
●
③ a
c ● b
a c●
b
ac
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
应用定比定理
b
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
ab
A
a
ab
z a
b
B
b
X
O
YW
a a
b
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
c′
O
a′ AC
d
a
c
c
b
两直不线相相交交！吗？
交为点什么不？符合一个
点的投影规律！
b′ d′
B D
d bH
V c′ a′
3(′4 ′)1● ′
●
2
●
′Ⅳ
●
b′ d′
Ⅰ
●
B
A C D ●Ⅲ●Ⅱ
a
●4
d
●●
c 3 1(2) b H
投影特性：
1′ b′
c
′
3(′4 ′)
●
● ●
2′
d′
a′
X
O
a
●4
d
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
相交吗？ 不相交！
a′ d′
a
d
b c
为什么？
交点不符 合空间一个点 的投影特性。
判断方法？ ⒈ 应用定比定理
⒉ 利用侧面投影
⒊ 两直线交叉
b′
c′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a′ X
a
V
d′
● ●
c 3 1(2) b
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。
★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用 其
可帮助判断两直线的空间位置。
判断交叉两直线重影点投影的可见性
1 (3)4 2
13 2
4
3 4
1(2)
判断两直线的相对位置
z
c
b
d
a
o
YW
YH
判断两直线的相对位置
1
1
1d c 1
判断两直线重影点的可见性
1 3(4) 2
4 3 1(2)
第二节 平面的投影
物体是由各种不同形状的表面围成的，点、 线、面是构成物体的基本几何元素。
• 平面的投影仍然是以点的投影为基础，只 要作出平面上的点的投影，即可求得平面 的投影。