一类不定方程的解集判别171228103314
不定方程的四种基本解法
不定方程的四种基本解法哎，说起不定方程啊，可能不少小伙伴儿一听这个词儿，脑瓜子就开始嗡嗡的。
但其实呢，不定方程这东西，虽然看上去复杂了点儿，但咱们只要掌握了四种基本解法，就能跟它说拜拜，从此不再头疼啦！第一种解法，咱们叫它“试探法”，也叫“瞎猫碰上死耗子法”。
为啥这么说呢？因为这种方法就是靠咱们的感觉和运气，去猜一个可能的解。
听起来有点儿不靠谱是吧？但其实，有时候咱们还真能歪打正着，找到答案呢！比如说，给定一个不定方程，咱们可以先试着代入几个数，看看符不符合条件。
如果不行，就再换几个试试。
这种方法虽然有点笨，但有时候还真能解决问题。
毕竟，谁说运气不是实力的一部分呢？第二种解法，咱们得叫它“枚举法”，听着就挺高大上的吧？其实说白了，就是“一一列举法”。
这种方法适用于那些可能的解不太多的情况。
咱们可以把所有可能的解都列出来，然后一个个地检查，看哪个是符合条件的。
这种方法虽然有点儿费时费力，但胜在稳妥。
毕竟，咱们只要耐心点儿，总能找到正确答案的。
这就跟咱们平时找东西一样，虽然过程可能有点儿曲折，但总能找到的，对吧？第三种解法，咱们叫它“公式法”。
这种方法比较厉害，它是根据不定方程的特点，推导出一种公式，然后用这个公式去求解。
这种方法的好处是，只要咱们掌握了公式，就能很快地找到答案。
不过呢，这种方法也有个缺点，就是公式有时候挺难记的。
不过，这难不倒咱们，咱们可以多练习几次，就能把公式牢牢地记在脑子里了。
毕竟，熟能生巧嘛！第四种解法，咱们叫它“图像法”。
这种方法比较直观，它是用图形来表示不定方程的解。
咱们可以在坐标轴上画出不定方程的图像，然后通过观察图像，来找到符合条件的解。
这种方法的好处是，能让咱们更直观地理解不定方程的解，而且有时候还能发现一些隐藏的规律呢！不过呢，这种方法也有个缺点，就是得有点儿想象力。
毕竟，咱们得把抽象的不定方程想象成具体的图形，这可得费点儿劲儿。
不过，只要咱们肯动脑筋，就一定能做到的！其实啊，不定方程的解法还有很多，但上面这四种是最常用的。
原题: 不等式的判别式
原题: 不等式的判别式不等式的判别式不等式是数学中常见的一种表达形式，它描述了数值之间的大小关系。
在解决不等式问题时，我们常常需要确定不等式的判别式，以确定不等式的解集。
不等式的判别式取决于不等式的形式。
以下是常见的不等式形式及其判别式：1. 一元一次不等式：一元一次不等式可以写成形如 ax + b > 0的形式，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ =b^2 - 4ac，其中 c = 0。
如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中 x是不等式的实根。
如果Δ < 0，则不等式无实根，解集为空集。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式可以写成形如 ax^2 + bx +c > 0 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
同样地，如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中x 是不等式的实根。
如果Δ < 0，则不等式无实根，解集为空集。
3. 绝对值不等式：绝对值不等式可以写成形如 |ax + b| > c 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ =b^2 - 4ac。
同样地，如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中 x 是不等式的实根。
不定方程的解法
不定方程的解法
导读：本文是关于生活中常识的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
首先今天小编给大家解决的是不定方程的解法，希望能帮到大家。
操作方法首先方程都是有步骤的，是奇偶性:如果能判断和与其中一个任意加数的奇偶性，就能知道另一个加数的奇偶性，从而判断出知数的奇偶性。
（奇偶性的认知）看图诠释。
倍数特征:如果等式两边都有一样的因子，那么得出其中一个未知数的就是它的倍数特性，如下图示。
尾数法:任意一个未知数的系数出现数字0或5，就可以得到另一个未知数的尾数为多少，如图所示。
大小关系:可以根据题具体要求判断x y的大小关系，如图所示，根据下图结合文字进行理解
代入排除:当以上方法得出的结果不唯一时，可以将选择中的答案代入排除。
一个不定方程的解法可能不唯一，但是倍数特性的解法快于尾数法，尾数法快于奇偶性，三种方法是最常用的。
特别提示为了方便理解在每张图片上都有文字解释，结合图片和文字一起理解效果更佳，能让求者更好的去理解，希望能帮到大家。
感谢阅读，希望能帮助您！。
如何解二元一次不定方程
如何解二元一次不定方程意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。
对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。
因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。
为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。
解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4=−x +1−3x 4式①因为y 是整数，所以1−3x 4也必须是整数，再另y′=1−3x 4，变形得到4y ′+3x =1，再次变形表达成x =1−4y′3=−y′+1−y′3式②因为x 是整数，所以1−y′3也必须是整数，然而1−y′3是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以y ′=3m +1 式③ 这样1−y′3是整数才能满足。
从式③反推回式②，得到 x =−1−4m再反推回式①得到 y =2+7m至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。
对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =1−7x 4式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +1−3x 4，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据1−3x 4是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c，这时因为a−y′c是整数，假设等于m ，得到a−y′c=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
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函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
第十六讲 一次不定方程
第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。
3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。
（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。
二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。
(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。
（1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。
不定方程的解法
解 方程 体验思路 体验过程
5x
3
y
z 3
100
（x,y,z
均
是正 整
数。）
x y z 100
将 z 作为已知数;解出 x,y.根据 x,y 的正整数特性，将 z 换元，并求出新
元的 范 围。 根 据新 元 的范 围 ，解 出 未知 数 。
5x
3y
z 3
100
x y z 100
“ 超 级 学 习 笔 记 ”
□不定方程 的解法
y 200 7 z =200-7t≥0 3
解得，25≤t ≤ 28 4 7
t=25 时，x=0,y=25,z=75, t=26 时，x=4,y=18, z=78 t=27 时，x=8,y=11,z=81 t=28 时,x=12,y=4,z=84 共有 四 组解 ：
∵17 ｘ＋8 ｙ＝158
∴ y 158 17 x 19 2x 6 x ①
8
8
∵ ｘ、 ｙ 都是 整 数
∴ 6 x 必须是整数 8
令 6 x ＝ｔ，则ｘ＝6－8 ｔ②. 8
把②代入①，得ｙ＝7 ＋17ｔ
x y
6 7
8t 17t
∴（
ｔ
为整 数
）
显然，只有当ｔ＝0 时，ｘ、ｙ是非负整数解.
翁 、鸡母、鸡雏各几何？（注：鸡翁指公鸡，鸡母指母鸡，鸡雏指小鸡）
实践题 1
在长为 158 米的地段铺设水管，用的是长 17 米和长 8 米的两种水管，问两种长度的 水管 各 用多 少 根（ 不 截断 ），正 好 铺足 整 个地 段 ？
实践题 2
旅游团一行 50 人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其 中三人间的每人每天 20 元，二人间的每人每天 30 元，单人间的每天 50 元，如果旅游团共 住满了 20 间客房，问三种客房各住几间？
关于几类不定方程的整数解
关于几类不定方程的整数解
1 关于不定方程的概念
不定方程是数学中最常见的一类方程，它可以定义为一个关于未知量的恒等式，该恒等式中含有未知量的一次或多次幂。
不定方程有一类特殊的整数解，这就是有限定义的整数解。
2 有限定义的整数解
有限定义的整数解是指对某个不定方程而言，它可以满足一定条件，使整数解有限，也就是可以找到有限数量的整数解。
有限定义的整数解也可以被认为是不定方程的特殊解。
3 特殊的方法求解有限定义的解
特殊的方法求解这种有限定义的不定方程的解，一种是采用取模方法，也就是取余数；另一种就是采用贝祖定理求解，即将不定方程转换为定向函数求解。
4 取模方法求解不定方程
取模方法求解不定方程时，首先需要从不定方程中得知有限定义的整数解的取值范围，然后可以根据取值范围将所有的可能的有限定义的整数解列出来，然后将每个可能的整数解代入不定方程，如果满足条件则可以证明该整数解即为方程的有限定义的整数解。
5 贝祖定理求解不定方程
贝祖定理是指将不定方程转换为定向函数求解，即将不定方程改写来形成定向函数和定向变量，然后用贝祖定理将其转换为定向函数求解。
贝祖定理的用法十分容易，使用贝祖定理求解不定方程不仅可以找出有限定义的整数解，也可以获得无限多的解，只要满足参数的条件即可。
6 总结
有限定义的整数解是指某个不定方程的特殊解，这些特殊的整数解可以用取模方法或贝祖定理进行求解，其中取模方法是一种重复性操作的简单方法，而且易于理解；而贝祖定理的用法十分简单，只要满足参数的条件，就可以获得不定方程的解，但不一定是有限定义的整数解。
不等式的解集表示总结
不等式的解集表示总结不等式是数学中的一种重要的关系表达式，它用于描述数的大小关系。
在解不等式时，我们需要找到所有满足不等式条件的数的集合，这个集合就是不等式的解集。
本文将对不等式的解集表示进行总结。
一、不等式的基本概念不等式是包含不等号的数学表达式，用于表示数的大小关系。
常见的不等号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
二、不等式的解集表示形式1. 区间表示法区间表示法是表示解集的一种常用形式，它使用区间的形式来表示各种数的范围。
常见的区间表示法有：开区间、闭区间、半开半闭区间等。
- 开区间：使用小于号或大于号表示不包含边界的区间，如（a，b），表示大于a小于b的数的集合。
- 闭区间：使用小于等于号或大于等于号表示包含边界的区间，如[a，b]，表示大于等于a小于等于b的数的集合。
- 半开半闭区间：左边界使用小于等于号或大于等于号，右边界使用小于号或大于号，如[a，b)，表示大于等于a小于b的数的集合。
2. 集合表示法集合表示法是用大括号{}把解集中的元素一一列举出来的形式，常用于表示有限个解的情况。
例如{1，2，3}表示解集中包含1、2、3这三个数。
3. 图形表示法对于一维不等式，我们可以用数轴来表示解集。
在数轴上，我们可以用实心圆点、空心圆点和箭头表示解集的情况。
- 实心圆点：表示解集中包含该点所在的数。
- 空心圆点：表示解集中不包含该点所在的数。
- 箭头：表示解集中包含该箭头所指的数的范围。
三、示例分析1. 解集表示形式为区间的示例：不等式：2x - 5 > 3解集表示：(4/2，+∞)，即大于2的所有实数。
2. 解集表示形式为集合的示例：不等式：x^2 - 4 < 0解集表示：{-2，2}，即解集包含-2和2这两个实数。
3. 解集表示形式为图形的示例：不等式：x ≤ -3 或 x > 5解集表示：在数轴上，用实心圆点表示x ≤ -3的部分，用箭头表示x > 5的部分。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
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一类不定方程的解集判别171228103314
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类不定方程的解集作出判别。
关键词：方程不定方程解集
定理1：
关于x,y,z的方程x1440-214×5y-5z+1=0不存在正整数解.
定理2：
关于x,y,z的方程x1440-214×7y-7z+1=0不存在正整数解.
定理3：
关于x,y,z的方程x1440-214×11y-11z+1=0不存在正整数解.
定理4：
关于x,y,z的方程x1440-214×13y-13z+1=0不存在正整数解.
定理5：
关于x,y,z的方程x1440-214×17y-17z+1=0不存在正整数解.
定理6：
关于x,y,z的方程x1440-214×19y-19z+1=0不存在正整数解.
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。