初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法

初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法

凯里市大风洞正钰中学曾祥文

摘要：教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，是中学生经常出错和不懂的部分。本文主要探讨几种不定方程和方程组的解题技巧和方法。

关键词：初中数学不定方程方程

教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行为，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学教学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程。

方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多个，不能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程(组)，解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识。本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。

1 非负数的巧用

在初中数学中，经常用的非负数有：①a2 ≥0 ；②｜a｜≥0；③a≥0若干个非负数的和为0，那么每个非负数均为0，

例1：已经x2 + y2-x+2y+5/4= 0 ，求x 、y的值。

评析：方程左边配方可变为非负数之和

解：由x2 + y2-x+ 2y+5/4= 0 得( x—1/2 ) 2+ ( y +1 ) 2= 0

所以( x—1/2 ) 2≥0，( y + 1 )2≥≥0

一般地，几个非负数之和为0，则每个非负数均为0。所以x=1/2, y=1

2 二元一次方程的整数解

一个二元一次方程的解有无数多个，但我们常常只求整数解。甚至只求正整数解，加上这一限制后，解可能唯一确定或只有有限个或无解。求它的整数解时，通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再结合整数的整除性，得到其解。

例2：解方程2 x + 3 y = 8( X 、Y均为整数)

评析：将y表示为x的代数式，并利用整数整除性来求解。

解：原方程变为y = 2/3x+8/3

y = —2/3x+ 2/3+2y =2/3(x-1)+ 2

当x -1 是3的倍数时，x、y都是整数。

设x -1 = 3 k ( k是整数)

那么：x = 3 k +l ，y = -2 k + 2( 其中k是整数)就是原方程的通解。

变式思考：若例2中再添两个条件，其它条件不变，1≤x≤100，l≤y ≤100，求x 、y的值。

解：将x=3k+l ，y =-2k+2，代人1≤x≤100和l≤y ≤100中，求得0≤x≤1/2，∵k 是整数，∴k = 0时，即方程的解为x=1，y=2。

一般地，若x o，y0是方程ax+ by=c，a、b、c均为整数，且(a、b)=l的一组整数解(称特解)，则x=x0+bt，y=y0+at （t为整数）就是方程的通解。

3 解一元二次方程根的“四步法”

一元二次方程是初中数学的一个重要内容，更是联结二次函数和一元二次不等式的重要纽带。而一元二次方程根的分布问题，则是学生进入高中之后接触到的一类问题。很多教师在处理这类问题时，包括很多资料在涉及这类问题时，都是采取分情况讨论的办法。

这样处理，尽管不失全面，但结论过于庞大，而且分类未免过多，导致学生在学习这一内容时容易出现畏难情绪。在处理这类问题时，采用的是―四步法‖。这一方法应用性广，且学生易于掌握。

特整理出来，就教于各位，不足之处，欢迎指正所谓― 四步法‖，就是说处理一元二次方程根的分布问题时，只需要依序考查所给一元二次方程所对应的二次函数的4个方面的情况就可以了。一是开口的方向，二是判别式的正负，三是对称轴的位置，四是特殊点的函数值．试举两例说明：

例3若一元二次方程( m-1 )x2+2( m+1)x-m =0有两个正根，求m的取值范围

解析：先说第一步，抛物线开口方向不能唯一确定，先搁下；第二步，显然应有△≥0，即4 (m+1)2+ 4 m( m-1 )≥0 ；第三步，对称轴显然在y轴右侧，即有-2（m+1）/(m-1)；第四步，先解释一下何为―特殊点‖?一般地，方程的根分布在哪个范围(或区间)，这个范围的边界点或区间端点就是特殊点。比如，本题中涉及正根，那么数字0就是一个特殊点，我们就有必要考查0所对的函数值f( 0 )的正负.。再看上面两个图，可以发现f（0）的正负号不能唯一确定，而是与开口方向的正负同号，从而有( m-1 )·f（0 ）>0，即( m一1 )·(-m)>0。通过上面的分析，我们得到了三个不等式，把这三个不等式写成一个不等式组

4 (m+1 )2+4 m(m-1 )≥0 ，2（m+1）/(m-1)>0，( m一1 )*( -m)>0

解之，得0

解题小结：通过上题可以看到，我们所说的―四步法‖，实际上反映的是一种分析问题的模式。可能有人会说，这种方法不也很平常吗?没看出有什么高明的地方嘛。但笔者想强调的是，正因为这种方法平淡无奇，所以学生也就很容易掌握及运用它了。何况，这种方法的优越之处还在于：几乎可以用于解决所有的一元二次方程的根的分布问题。

例4 若方程x2 +( k +2 )x –k =0的两实根均在区间( -1 ，1 )内，求k的取值范围．

解析：同样通过―四步法‖ 解决：第一步，原方程所对应的二次函数开口已经向上，对开口方向的讨论就完成了；第二步，原方程有两个实根，当然有△≥0 ，即( k+ 2 ) + 4 ≥0 ；第三步，显然对称轴也应落在区间( 一l ，1 )内，因而有

-1<-（k+2）/2<1；第四步，两根落在区间( 一1 ，1 )内，这样两个区间端点都是特殊点，结合图形分析可知f（-1）>0，且 f ( 1 )>0，即1-( k+2 )-k >0

且1+( k+2)-k>0．把上面所得的不等式写成一个不等式组，

如下：( k+2 )2+4 k≥0 ，-1<-(k+2)/2<1 ,1-( k+2 )-k>0 ,1+( k+2)–k >0

解之，得-4+ 2*31/2

解题小结：例3与例4显然不是同一类根的分布问题，但我们仍然按照完全一样的― 四步法‖的步骤，完成了此题的求解。可见，这一方法有着广泛的应用性。

4 分解因式法求二元一次不定方程的整数解

解二元二次不定方程可把等式一边分解为两个一次因式的乘积，另一边变为常数。

例5：已知xy-x + 2y- 5 =0，x、y均为整数，求x、y的值。

评析：将x、y分离在两个一次因式中，即把原等式变为( x + m)(y+ n)=p的形式，其中m、n、P都是常数且为整数，再利用整数的整除性来求其解。

解：xy- x + 2y -5 = 0

x (y-1) + 2(y-1) -3=0 (x+ 2 )( y-1 ) =3

∵x、y均为整数∴ x + 2 ，y - l也是整数

故{x + 2 =l y -l =3 }，{x + 2 = - l y-1=-3}，{x + 2 = 3 y-1=1}，{x+2=-3，y-1=-1}

即x、y的值为{x=-1，y=4}，{x=-3，y=-2}，{x=1，y=2}，{x=-5，y=0}

思考：本题还可变形为y = 1 +3/（x+2），得出x + 2 是3的约数，从而求出x、y值。

5 利用放缩法解不定方程

在解一些涉及到多个变元的问题，如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序，在不影响命题的成立的前提下，给它们假定一个大小顺序，那么就可将问题转化为解不等式( 组) ，通过缩小范围而求解。

例6：求方程1/x+ 1/y +1/z=7/8的正整数解。

分析：这个方程是关于x、y 、z的轮换对称式，易知x、y 、z都大于1，不妨取1 < x ≤y ≤z ，则1/x≥1/y ≥1/z 。将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，缩小x 、y、z的取值范围，求出其结果。

解：不妨设l < x ≤y ≤z ，那么1/x<1/x+1/y+1/z≤3/x

即1/x<8/7≤3/x，所以x=2，3。

①当x= 2时，1/y+1/z=3/8，1/y<1/y+1/z，即1/y<3/8≤2/y，所以y=3，4，5 。此时（x，y，z）共有( 2、3 、2 4，( 2、4、8 )两组。

②当x = 3时，1/y+ 1/z=13/24，且1/y<1/y+1/z≤2/y，所以1/y<13/24≤2/y，所以

y=2，3。此时( x 、y 、z )的值为( 3、2、2 4 ) 。由于x 、y 、z在方程中的地位平等，将上述结果作排列，共有下面 1 2组解，( x 、y 、z )的值

分别是：( 2、3 、2 4 ) ，( 2、2 4、3 ) ，( 3 、2、2 4 )，( 3 、2 4、2 )，( 2 4、2、3 )，( 2 4、3、2 )，( 2 、4、8 )，( 2、8、4 )，( 4、2 、8 )，( 4、

8、2 )，( 87、2、4) ，( 8、4、2) 。

总之，数学教学不仅要让受教育者成为一个有知识的人，而且要成为一个会思考得人，成为一个勇于探索、善于创新的人，为学生得终身可持续发展奠定基础。因此，老师在面对初中学生的数学教学活动中适当介绍一些数学思想、方法和技巧是十分必要的有利于提高学生学习数学的能力。■

参考文献：

[1] 陈荣华．数学课堂教学的创新性[ M] ．科学大众，2007 ．( 1 ) ．

[ 2 ] 韩尚强，周玉强，等．5年中考3年模拟[ M].首都师范大学出版社，2007 ．

[3] 严军．中考金四导[ M] ．吉林教育出版社，2007 ．

[ 4 ] 全国中考试题荟萃[ M] ．2007 ．