定义求极限
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
求极限的若干方法
求极限是数学中的重要概念，它是指在某种情况下，某个函数值的上限或下限。
求极限的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
1、直接法。
直接法是求极限最简单的方法，它将求极限的问题转换成求函数值的问题，即在x趋于某一值时，求函数f(x)的值，这个值就是极限。
2、极限定义法。
极限定义法是一种利用极限的定义来求极限的方法，即求某个函数在某一点的极限，就是用函数在该点附近的值来逼近这个函数在该点的值。
3、分析法。
分析法是指根据函数的性质来求极限的方法，可以分为两种：一种是利用函数的单调性和连续性来求极限；另一种是利用函数的奇偶性、周期性等性质来求极限。
4、技巧法。
技巧法是指利用某些数学技巧来求极限的方法，它可以分为三种：一种是利用分数公式；另一种是利用指数公式；还有一种是利用三角函数公式。
以上就是求极限的几种方法，每种方法都有其特定的适用条件，在求极限时应根据函数的特点选择合适的方法。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii)x f x x →lim)( (iv)（v （vi ）柯西条件是：ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后，就能变成(i)中的形式了。
即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)()(1)(1)(1)()(x g x f x f x g x g x f -=-(iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即ex f x g x g x f )(ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。
3.泰勒公式(含有xe 的时候，含有正余弦的加减的时候）12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；3211253)!32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m mxm x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ4.5.6.0>>>c b a ，n x =a（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n nn解：由n nn n n n n 1111)2(1)1(110222222=+++<++++< ，以及010limlim==∞→∞→nn n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：由nn nn n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及11111limlimlim 2=+=+=∞→∞→∞→nnn n n n n 得，原式=17.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。
定积分的定义法求极限
定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。
定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。
“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
洛必达法则。
此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。
定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。
当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
1.极限运算法则
ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2 取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 x > N时, 恒有 ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
在实际应用中,经常会遇到极限为 的变量 的变量. 在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量. 对于这种变量不仅具有实际意义, 对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有 理论价值, 理论价值,值得我们单独给出定义
1.定义 定义: 定义
定义 1
极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
1 2 1 2 < 2 , 有界, ∴ B( B + β ) > B , 故 有界, B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则: 此定理证明的基本原则:
求函数极限的方法
求函数极限的方法1.1 函数极限的定义定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞．定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．定义3 设函数f 在()00;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限．记作：()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()()()()00f x A x x f x A x x +-→→→→． 1.2 函数极限的性质性质1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．性质2（局部有界性） 若()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．性质3（局部保号性） 若()0lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）．性质4（保不等式性） 设()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内有()()f x g x <，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤．性质5（迫敛性）设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则()0lim x x h x A →=．性质6（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅，当0x x →时极限也存在，且1. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦； 2. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅⎡⎤⎣⎦； 又若()0lim 0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限存在，且有3. ()()()()000lim lim lim x xx x x x f x f x g x g x →→→=．２.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限例１ 证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----，取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ---- 61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1min ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关． 2.2 利用函数的连续性求极限 例2 求()4lim tan x x x ππ→-． 解 ()43lim tan tan 444x x x ππππππ→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ．此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4x π=处连续，所以可把4x π=直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．2.3 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sin lim 1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例3 求极限sin sin limx a x a x a→--．解 cos sin sinsin sin 222cos 222x a x a x a x a x a x a x a x a +----+==⋅---， 于是有sinsin sin 2lim limcos 22x a x a x a x a x a x a x a →→--+=⋅-- sin2limcos lim 22x a x a x a x a x a→→-+=⋅- cos a =．先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim1x xx→=，必须使函数中出现此类型的式子，如当x a →时02x a -→，此时sin2lim12x a x ax a →-=-，再进行求解． 例 4 求极限()10lim 1xx x α→+（α为给定实数）．解 ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦． 在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如()11lim 1lim 1xy x y y e x →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．2.4 利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．例 5 求极限21lim 1n x x x x n x →++⋯⋯+--，n 为正整数．解 21lim 1n x x x x nx →++⋯⋯+--21111lim 111n x x x x x x x →⎡⎤---=++⋯⋯+⎢⎥---⎣⎦()()()2121lim 1111n n x x x x x x x --→⎡⎤=++++++⋯⋯+++⋯⋯++⎣⎦()()()2121111lim1lim 1lim 1lim 1n n x x x x x x x x x x --→→→→=++++++⋯⋯+++⋯⋯+123n =+++⋯⋯+()12n n +=． 本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限lim n →+∞． 解 由放缩法得22123231n n n n +++⋯⋯+++⋯⋯++<<， 化简得1322n n n n++<<， 因为131limlim 222n n n n n n →+∞→+∞++==，由迫敛性定理得1lim2n →+∞=． 在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得22123231n n n n +++⋯⋯+++⋯⋯++<<， 且131limlim 222n n n n n n →+∞→+∞++==，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．2.6 利用归结原则求极限归结原则 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例 7 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.7 利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin limsin x x xx →-．解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=-，而()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()tan ~0x x x →，()sin ~0x x x →，而推出3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→，()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→．2.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00Ux 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例 9 求极限21cos limtan x x xπ→+．解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos limtan x xxπ→+2sin lim 2tan sec x xx xπ→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 例 10 求极限3lim xx e x→+∞．解 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'xxe e=，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得32lim lim 3x xx x e e x x→+∞→+∞=， 由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32lim lim lim lim 366x x x xx x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞． 注 1 如果()()'lim'x x f x g x →仍是00型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim 'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某领域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()0'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()0lim x x f x g x →不存在．注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sin lim1x x x x →∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos lim lim 1x x x x x x →∞→∞++=， 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例 11 求极限2240cos limx x x ex -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++， ()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+． 因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x e x x ο-→→-+-==-． 利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例 12求极限0x →()0,0p q >>．分析 此题是0x →时0型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x = 则x → ()()()()000lim 00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =pq =2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法．例 13 求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 解 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111lim 1nn i n i n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑． 不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()120111d x x =++⎰1011x =-|+ 12=。
求极限的几种方法1
三、 利用左、 右极限求极限
求分段函数的极限, 主要是分段点处函数的极限 . 因为在非分段点处 , 函数的极限的计算方法与非分 段函数没有什么不同 . 分段函数在分段点处的极限存在的充要条件 : 当且仅当函数在分段点处的左、 右极限存在且相等时函 数在该点的极限存在 . 即当 x 0 是分段点时, 应分别求 lim f ( x ) 和 lim f ( x ) , 并判断在该点极限是否相等 . +
七、 利用某些恒等式求极限
1 1 1 1 + + + ,+ ). 1. 3 3. 5 5 . 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 1 1 ( 2 n + 1) - ( 2 n - 1) 1 1 1 解 设 x n= = # = ( ), ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 2n- 1 2 n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 原式= lim [ ( 1- ) + - + - + ,+ ) ] = nlim ( 1)= . ny ] y] 2 3 3 5 5 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1 ) 2 n+ 1 2 1 1 1 1 例 10 求极限 lim ( cos 2 #cos 2 #cos 3 ######cos n ) . ny ] 2 2 2 例 9 求极限 nlim ( y]
1 1
sin x 2+ e x sin x lim ( ) = lim = 2- 1= 1. 4+ 4 - lim | x | x x y0 x y0 x y0 x x 1+ e 1+ e 故原式极限存在 , 且等于 1.
极限的求法
极限的求法1、 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：lim x→x 0f (x )=A 的ε−δ定义是指：∀ε>0,∃δ=δ(0x ,ε)>0,0<|x −0x |<δ |f (x )−A |<ε为了求δ可先对x 0的邻域半径适当限制，如然后适当放大|f (x )−A |≤φ(x )(必然保证φ(x )为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≤|x −0x |+|0x +a|<|0x +a|+δ1或|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≥|0x +a|−|x −0x |>|0x +a|−δ1 从φ(x )<δ2，求出δ2后，取δ=min (δ1,δ2)，当0<|x −0x |<δ时，就有|f (x )−A |<ε。
例：设lim n→∞x n =a 则有limn→∞x 1+x 2+...x nn=a 。
证明：因为lim n→∞x n =a ，对∀ε>0,∃N 1=N 1(ε)，当n >N 1时，|x n −a |<ε2于是当n >N 1时，|x 1+x 2+...+x nn−a|=|x 1+x 2+...+x n −na |n0<ε<1其中A =|x 1−a |+|x 2−a |+|x N 1−α|是一个定数，再由An <ε2，解得n >2A ε，故取N =max {N 1,[2Aε]}当n >N 时，|x 1+x 2+...+x nn−α|<ε2+ε2=ε。
2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法之南宫帮珍创作一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
经常使用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分需要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不成能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不成直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,而且注意导数分母不克不及为0。
洛必达法则分为3种情况： （i ）“00”“∞∞”时候直接用(ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义求极限
极限是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析、数值计算等领域都有广泛的应用。
在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个值的过程。
下面我们来详细了解一下极限的定义及其相关概念。
我们需要了解一下函数的定义域和值域。
函数的定义域是指自变量可以取的值的集合，而函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有值的集合。
例如，函数f(x)=x^2的定义域是实数集，值域是非负实数集。
接下来，我们来看一下极限的定义。
设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就称函数f(x)在x0处的极限为L，记作lim(x→x0)f(x)=L。
上述定义中，ε和δ都是正数，ε表示我们希望函数f(x)在x0处的取值与L的差距不超过ε，δ表示我们希望自变量x在x0处的取值与x0的差距不超过δ。
当然，这里的ε和δ可以是任意小的正数，只要满足上述条件即可。
在极限的定义中，我们还需要注意一些相关概念。
首先是左极限和右极限。
如果函数f(x)在点x0的左侧有定义，那么我们可以定义函数f(x)在x0处的左极限为lim(x→x0-)f(x)，如果函数f(x)在点x0的
右侧有定义，那么我们可以定义函数f(x)在x0处的右极限为lim(x→x0+)f(x)。
如果左极限和右极限都存在且相等，那么我们就称函数f(x)在x0处的极限存在。
我们还需要注意一些常见的极限形式。
例如，当x趋近于无穷大时，我们可以定义函数f(x)的极限为lim(x→∞)f(x)，当x趋近于0时，我们可以定义函数f(x)的极限为lim(x→0)f(x)。
这些极限形式在微积分和数学分析中都有广泛的应用。
极限是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析、数值计算等领域都有广泛的应用。
通过了解极限的定义及其相关概念，我们可以更好地理解和应用这一概念，从而更好地掌握数学知识。