数值积分
数值积分方法
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
积分的数值方法
b b
作为平均高度 f() 的近似值而获得的一种数值 积分方法。
中矩形公式是把 [a,b] 的中点处的函数值： a b f ( ) 2 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。 Simpson公式是以函数 f(x) 在 a, b, (a+b)/2 这三点的 函数值 f(a), f(b),
Pn ( x) f ( xk )lk ( x)
k 0 n
式中 这里
( x) lk ( x ) ( x xk )( xk ) j 0 xk x j
n j k
x xj
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
的近似值，即:
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
b
y=f(x)
图3-1 数值积分 的几何意义
a
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:
因而
b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( n 1) ( ) ( x)dx (n 1)!
其中
a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R ( f ) =0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于 闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以
x4
ex
6.40 6.389
数值积分方法
数值积分方法
数值积分方法是解决数学问题的一种有效的技术。
它与其它数值技术不同，可以求出定义积分的鲁棒解决方案。
积分解决方案可以用来代替无法求解的积分操作，从而使得在积分分析中也能简化求解过程。
数值积分方法有多种，其中最常见的是数值微积分方法，也被称为精确积分法或有界积分法。
这种方法的核心思想是使用数值技术来模拟定义积分的过程，从而进行函数的数值求解。
常见的积分模拟技术有多元积分法、梯形公式法和拉格朗日积分法等，这些技术都可以用计算机实现，可以用来解决各种复杂的积分问题。
数值积分方法在科学研究、工程技术和统计分析等方面都有重要的应用。
其中，科学研究主要是利用数值积分方法进行数值模拟，模拟自然界中的物理、化学过程，从而分析其复杂的时空行为；工程技术则主要利用数值积分方法来解决力学、热力学等方面的计算问题；在统计分析方面，数值积分方法可以用来求解分布函数的统计量和拟合曲线的系数。
此外，在应用数值积分方法时，还应注意几点：首先，在使用数值积分方法前，需要对待求解函数进行适当的数值化处理，以保证得到准确的结果；其次，在求解定义积分时，需注意所用的数值计算方法及精度，以保证可以得到正确而又精确的结果；最后，要根据具体求解问题选择合适的数值积分方法，从而提高求解的效率。
综上所述，数值积分方法是一种有效的数值技术，在科学研究、
工程技术和统计分析等方面具有重要意义。
该技术的应用需要首先对函数进行数值化处理，然后根据具体问题，选择恰当的数值积分方法和计算精度，以确保定义积分的精确求解。
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
数值积分
数值积分§5.0 引言§5.1 机械求积公式 §5.2 Newton-Cotes 公式§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧 §5.4 Gauss 公式0 引 言1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的； (b) 被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；(c) 大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率积分21x e dx -⎰，正弦型积分10sin xdx x ⎰224()IrH x d r x θ=- (回路磁场强度公式)等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
§1 机械求积公式1 数值积分的基本思想区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx ⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即0()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。
因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。
称为机械求积公式。
1.1 简单算例说明 例1 求积分1()x xf x dx⎰此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。
解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，1100001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）推广:1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dxx x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式）（2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--来近似代替()f x ,于是，[]1011101011010011()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰ （为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01xx x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式） 2 代数精确度定义：若积分()ba f x dx ⎰的数值积分公式()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。
数值积分
W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到
0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1
数值积分法在定积分求解中的应用
数值积分法在定积分求解中的应用数值积分法是一种通过近似求解定积分的方法，它在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数值积分法的基本原理和常见的数值积分方法，并探讨其在定积分求解中的应用。
一、数值积分法的基本原理定积分是数学中的重要概念，它表示函数在一定区间上的累积效果。
然而，很多函数的积分无法用解析方法求得，这就需要借助数值积分法进行近似计算。
数值积分法的基本原理是将定积分转化为求和的形式。
通过将积分区间划分成若干小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
二、常见的数值积分方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，将函数在该点的值与小区间的宽度相乘，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择两个代表点，将函数在这两个点的值乘以小区间的宽度的一半，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
3. 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择三个代表点，将函数在这三个点的值乘以小区间宽度的一部分系数，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
三、数值积分法的应用数值积分法在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学在物理学中，很多物理量的计算需要进行积分。
例如，计算物体的质量、电荷、能量等都需要进行定积分的求解。
数值积分法可以帮助物理学家快速准确地得到这些物理量的近似值。
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辛普森公式
m1
m1
Sn
h 3
( f0
f2m
4
f2k 1 2
f2k ),
h ba 2m
k 0
k 1
用自适应辛普森公式计算
quad(@fun,a,b,tol,trace) [I,fn]=quad(…)
tol为绝对误差，缺省时为10-6
n1
Gauss-Lobatto公式 Gn A1 f (a) Ak f (xk ) An f (b) k 2
代数精度为3 节点加密时，原计算信息无法利用
改进的高斯公式
思路：将积分区间分小，在小区间上用n不太 大 的 Gn 。而在节点加密一倍时能够利用原节点的函 数值，可以把区间的端点作为固定节点。
Gauss-Lobatto求积公式
n 1
Gn A1 f (a) Ak f (xk ) An f (b) k 2
h3 12
f (k )
xk
xk
I Tn
b
a
f ( x)dx Tn
h3 n1 12 k 0
f (k )
I Tn
h2
1 b 12 a
f '' ( x)dx 1 ( f ' (b) 12
f '(a))
梯形公式
的误差
|
R(
f
,Tn ) |
数值积分实例 人造卫星轨道长度
L 4 2 a2 sin2 t b2 cos2 t dt 0
用梯形公式和辛普森公式计算
Jifen2.m
轨道长度 L=4.8707104千米
只将区间5等分，梯形公式就给出很好的结果
2）辛普森公式和Gauss-Lobatto公式 精确、方便
无法计算用数值给出的函数的积分
精确值为 2
Jifen1a.m Jifen1b.m
数值积分的应用
y
s2
s1
实例
人造卫星轨道长度
r o
轨道长度
x 近地点s1=439km,远地点s2= 2384km 地球半径r=6371km a ~ 长半轴
x a cost, y b sint b ~ 短半轴
y
y=f(x) a x0 x1 xk xn b,
h ba, n
fk f (xk )
n 1
fk
Ln h
fk
(1)
o
a
xk-1 xk xk+1 b x
k 0 n
Rn h
fk
(2)
Rn 平均，得到
k 1
n1
梯形公式
Tn h
fk
h 2
(0 t 2 )
由s1, s2 , r决定
L 4 2 x2 y2 dt 4 2 a2 sin2 t b2 cos2 tdt
0
0
需要作数值积分
数值积分实例 人造卫星轨道长度
y
s2
r o
s1
L 4 2 a2 sin2 t b2 cos2 t dt 0
quadl(@fun,a,b,tol,trace) 用自适应Gauss-Lobatto公式计算
[I,fn]=quadl(…)
tol为绝对误差，缺省时为10-6
注意：fun.m中应以自变量为矩阵的形式输入(点运算)
广义积分、二重和三重积分
广义积分： 通过分析和控制误差，转换成普通积分
向量值积分： quadv(@fun,a,b,tol,trace) 矩形域上计算二重积分的命令： dblquad(@fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)
k=1
T1
h[ 2
f
(a)
f
(b)]
(b a)(a b) 2
f(x)=x
I
b
xdx
b2
a2
a
2
T1 I
k=2 f(x)=x2
T1
(b a)(a2 2
b2)
I
b
x2dx
b3
a3
a
3
T1 I
梯形公式的代数精度为1 辛普森公式的代数精度为3
数值积分的基本思路
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分，
使得既能保证一定精度，计算量又小。 （计算功效：算得准，算得快）
数值积分 1.从矩形公式到梯形公式
(
f0
fn)
(3)
k 1
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
端点的三个函数值
f2k
f2k+
f2k+2
1
区间数必须为偶数 n 2m
o
a x2k x2k+1 x2k+2 b x (x2k , f2k ), (x2k1, f2k1), (x2k2, f2k2 )
x a ~ 长半轴, b ~ 短半轴,由s1, s2, r决定
b
y a
s1=439km, s2= 2384km, r=6371km
2a 2r s2 s1
a r s2 s1 7782.5 2
oc
x 焦距c a r s1 c s2 s1
2
s2
r
s1
b a2 c2 7721.5
长方体上计算三重积分的命令： triplequad(@fun,xmin,xmax,ymin,ymax, zmin,zmax,tol) 注：fun是被积函数，本身可以有自己的参数
用MATLAB 作数值积分
例. 计算 4
1
dx
0 1 sin x
1）矩形公式和梯形公式 将(0, /4)100等分
高斯公式的思路
取消对节点的限制，按照代数精度最大
的原则，同时确定节点xk和系数Ak
1
对于 I f ( x)dx 1
构造求积公式
G2 A1 f (x1) A2 f (x2) 使G2的代数精度为3
1
f (x) 1, x, x2, x3 f (x)dx A1 f (x1) A2 f (x2 ) 1
数学建模讲座(三)
数值积分
胡支军 贵州大学数学系 贵州赛区组委会
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
• 许多函数“积不出来”,只能用数值方法，如
b x2 e 2 dx , a
bsin x dx
ax
• 对于用离散数据或者图形表示的函数， 计算积分只有求助于数值方法。
m1
m1
Sm
h 3
(
f0
f2m
4
f2k 1 2
f2k ),
h ba 2m
(4)
k 0
k 1
梯形公式
的误差估计
n1
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
复杂的非线性方程组，实用价值不大。
常用的高斯公式
将(a,b)分小，把小区间变换为(-1，1), 再用G2
b
m
f (x)dx h 2
[ f (zk(1) ) f (zk(2) )]
a
k 1
zk(1)
xk
xk 1 2
h 23
,
zk(2)
xk
xk 1 2
h 23
h (b a) / m, xk a kh, k 0,1, m
Ak f (xk ) (7) Newton
k 1
Ak是与f无关的常数
-Cotes 方法
代数 精度
b
设 f (x) xk , 用(7)计算 I f ( x)dx, a
若对于 k 0,1, m 都有 In I,
而当 k m 1, In I, 则称In的代数精度为m.
梯形公式的代数精度（考察T1）
确定 x1, x2, A1, A2
将f(x)代入计算得
A1 A2 2 A1x1 A2 x2 0 A1x12 A2 x22 2 / 3 A1x13 A2 x23 0
x1 1/ 3, x2 1/ 3, A1 A2 1
G2 f (1/ 3) f (1/ 3) 用n个节点，Gn的代数精度可达2n-1, 但是需解
h3 12
n 1 k 0
f (k )
估计
| R( f
M2 max f (x) , x (a,b)
,Tn )
|
h2 12
M 2 (b
a)
(5)
因为n b a h