2017导数的四则运算法则教案2.doc
2导数的四则运算法则教学设计
2导数的四则运算法则教学设计在高中数学中，导数是一个非常重要的概念和工具。
它是微积分的一个重要分支，是求解函数性质和变化率的基础。
导数的四则运算法则是导数的基本操作之一，在高中数学学习中是一个必须要掌握的技能。
本文将结合我的教学实践，分享一些导数的四则运算法则教学设计的经验。
一、教学目标学生能够掌握导数的加法、减法、乘法、除法四则运算法则，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1.导数的基本概念回顾在导数的四则运算法则教学前，我们需要先复习导数的基本概念，包括导数的定义、求导公式和一些常见函数的导数。
这样可以帮助学生更好地理解和掌握导数的四则运算法则。
2、导数的加法法则导数的加法法则是指两个函数的导数之和等于这两个函数的和的导数。
在这一部分的教学中，我采用了课堂讨论和精讲相结合的方式，引导学生通过讨论和实例推导出导数的加法法则。
最后，我让学生完成一些练习题。
这些练习题既可以巩固所学知识，同时也可以帮助学生发现加法法则在实际问题中的应用。
3、导数的减法法则导数的减法法则是指两个函数的导数之差等于这两个函数的差的导数。
在教学中，我也采用了讨论和实例推导的方式，以便学生更好地理解导数的减法法则。
最后，我让学生完成一些练习题，以巩固所学知识。
4、导数的乘法法则导数的乘法法则是指两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第二个函数的导数乘上第一个函数。
在教学中，我采取了揭示法则特点和实例分析相结合的方式，引导学生掌握乘法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。
5、导数的除法法则导数的除法法则是指两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数减去第二个函数的导数乘上第一个函数，再除以第二个函数平方。
在教学中，我采取了分析讨论和实例演示相结合的方式，引导学生掌握除法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。
6、导数的四则运算综合练习为了让学生巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题，我给学生布置了一些导数的四则运算综合练习作业。
导数的四则运算法则教案
《导数的四则运算法则》教案导数的概念及其几何意义一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ）A.4 x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()limh f x h f x h的值（ ）x 0，h 有关 x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ）A.2B.1C.08.设函数f (x )=，则()()limx af x f a xa 等于( ) A.1aB.2aC.21aD.21a9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 ΔsΔt 为( )A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( ) A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值 B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率21.已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3 C．6 D．1223.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－324.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B.12C．－12D．－125．已知曲线y＝x24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为()A．1 B．2 C．3 D．426．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0 B．－at0 C.12at0 D．2at0二、填空题27. 在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为____．28. 若质点M按规律s＝2t2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt]内，相应的平均速度_．29.已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__．30．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度是33．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是___．34.函数f(x)=3x2-4x在x=-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(3)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2 s时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y＝1x在点⎝⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．40.(2012·榆林调研)已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83。
教学设计2：3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3 导数的四则运算法则教学目标（一）三维目标（1）知识与技能1）了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导；2）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；3）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数.（2）过程与方法利用学生已经掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想、尝试、探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解.（3）情感、态度与价值观通过学生的主动参入，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.（二）教学重点掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（三）教学难点学生对积和商的求导法则的理解和运用（四）教学建议本节课在教学时可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行.教学过程一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二导数的运算法则 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =.复合函数的导数 复合函数的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1：求下列各函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝x 2sin x. 解：(1)∵y ＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)化简得y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－12x ＋12x -，∴y ′＝－1212x -－1232x -＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－12(sin x )′ ＝1－12cos x . (4)y ′＝（x 2）′sin x －x 2·（sin x ）′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 例2：求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．解法二：y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例3：曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．解：y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离， 故所求距离为2|1271431|++-＝22716．。
导数的四则运算教学设计
《导数的四则运算法则》教学设计一、复习导入1. 复习导数的定义及求导方法：/y =xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0/2. 基本求导公式：【设计意图】：通过让学生回顾导数的相关知识以及基本函数的求导公式，不仅巩固导数的概念及求法，同时也为下面探究导数的运算法则打下基础，有利于本节课的顺利进行。
二、探究新知（一）探究函数和（差）的求导法则1)(,2)()()()(1)()(.122='='='='''==x x g x x x f x g x f x x g x x f 生：和）求（。
，已知y )()(2''+=义求师引导学生用导数的定，求）令（y x g x f y12)12lim )()()(lim )()(lim lim 022000+=++∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+=∆∆='→∆→∆→∆→∆x x x xx x x x x x x x f x x f x y y x x x x （ ，12)(])()([2+='+'='+='x x x x g x f y 得到？并证明的导数之间有什么关系、与猜想)()(])()([.2x g x f x g x f '+ )()(])()([x g x f x g x f '+'='+生： )()(x g x f y +=证明：设[]xx g x f x x g x x f x y y x x ∆+-∆++∆+=∆∆='→∆→∆）（)()()()(lim lim00 []xx g x x g x x f x x f x ∆-∆++∆-∆+=→∆)()()()(lim 0=0lim x →()()f x x f x x+-+0lim x →()()g x x g x x +-=()()f x g x ''+)()(])()([x g x f x g x f '+'='+∴【设计意图】：提出问题引导学生去猜想证明，培养学生思考探索的精神，并且通过证明使学生明白法则的由来，有助于学生在理解的基础上掌握法则。
教学能力大赛导数的四则运算教案
教学能力大赛导数的四则运算教案下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1. 导数的定义及意义。
《导数的四则运算法则》教学设计
《导数的四则运算法则》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能
(1)掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.
(2)能正确利用法则求函数的导数，解决相关的问题.
2.过程与方法
利用学生已掌握的导数定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题引入新课，通过学生的猜想，探究和、差、积、商的求导法则，并加以应用，加深学生对法则的理解.
3.情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，自我探索，互相交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索和创新精神.
二、教材分析
1.地位、作用
导数运算法则的给出是前几节课的继续，它将求导数问题、求曲线切线问题、求瞬时速度问题由理论化转为公式化，使较复杂的过程简单化，也为下节课研究函数的单调性与极值问题提供了方便，在连接教材内容方面起到了一个纽带的作用.
2.教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则及应用.
3.教学难点：积、商的求导法则的理解和综合运用.
三、教学方法
通过设疑、引导、启发等形式，采用启发式与发现法相结合的教学方法，引导学生学会自主观察、类比、分析、归纳等学习方法.
四、教学过程。
计算导数导数四则运算教案
§3 计算导数教学目标：1. 知识与技能：能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y =f (x )在x 0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。
2. 过程与方法：经历计算函数f (t)=2t 2,f (x )=x +2x在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。
3. 情感态度价值观：获得计算一般函数的导数的步骤；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。
教学重点：计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。
教学难点：导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。
教学过程： 一、 导学探究 【知识回顾】1.平均变化率:设函数)(x f y =，当自变量x 从0x 变到1x 时，函数值从0()f x 变到1()f x ，函数值y 关于x 的平均变化率为y x ∆=∆1010()()f x f x x x --=00()()f x x f x x+∆-∆ 2.导数的定义：当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作0()f x '=101010()()limx x f x f x x x →--=000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆【探究新知】阅读教材P64-67回答下列问题1导(函)数定义：一般地，如果一个函数)(x f y =在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '，()f x '=()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。
教学设计3：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． 教学知识梳理知识点一 导数的四则运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求G (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．并说出G ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系．答案 G ′(x )＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x 2.∴G ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )，H ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )． 思考3 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )正确吗？那么⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )(g (x )≠0且g ′(x )≠0)是否正确？答案 [f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ). 梳理 导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则：⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 特别提醒：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．知识点二 复合函数y ＝f (u (x ))的导数．y ＝f (u (x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(u (x ))＝d y d u ·d ud x ＝f ′(u )·u ′(x )．题型探究类型一 利用导数的四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.解 (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.反思与感悟 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________.【答案】0【解析】∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c(a －c )(b －c )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数．①y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ； ②y ＝x 2＋1x 2＋3；③y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； ④y ＝x sin x －2cos x .解 ①313122223y x x x x --－∵＝－＋＋，1352222333.22y x x x x ---'+--∴＝②方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. ③方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3) ＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5) ＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15， ∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′ ＝3x 2＋18x ＋23.④y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.类型二 简单复合函数求导 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x. 解 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x . (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(3)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π6，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2cos u ×3＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (4)设y ＝u12-，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(12u-)′·(1－2x )′＝－1232u -×(－2)＝(1－2x )32-.反思与感悟 求复合函数导数的步骤(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )．(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′.(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． 【答案】10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10.(2)求下列函数的导数．①y ＝3－x ；②y ＝12ln(x 2＋1)；③y ＝a 1－2x (a >0，a ≠1)．解 ①设y ＝u ，u ＝3－x ， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u·(－1)＝－123－x.②设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝xx 2＋1.③令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝a u ·ln a ·(－2) ＝a 1－2xln a ·(－2)＝－2a 1－2xln a .类型三 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例3 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )s in x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝________.【答案】－1【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例4 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 【答案】(e ，e)【解析】设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. ①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. ②由①可得g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练4 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】1【解析】∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin 2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x ， 即y ′|x ＝0＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，所以c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0. 达标检测1．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )【答案】D【解析】y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2 D ．－e3 【答案】A【解析】∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ， 得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 5．在曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________． 【答案】3x －y －11＝0【解析】∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，此时切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.。
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§4 导数的四则运算法则
第二课时 导数的乘法与除法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y =，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，
如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为
)(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆2）求平均变化率
x
x y ∆=
∆∆
（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y x ∆∆→∆0lim
5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x
6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
)()(])()([)
()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+
（二）、探究新课
设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。
我们来求
)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。
[]
)
()()()()()()()]()([)()()()(02
020002002
020002002
020x f x
x x x x x f x x f x x x
x f x x x x f x x f x x x
x f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆
令0→∆x ，由于 2
0200
)(lim x x x x =∆+→∆
)()
()(lim
0000
x f x
x f x x f x '=∆-∆+→∆
02
02002)(lim x x
x x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(0002
x f x x f x +'。
因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。
一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有
)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'=
'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
+'=' 特别地，当k x g =)(时，有
)(])([x f k x kf '='
例1：求下列函数的导数：
（1）x e x y 2=； （2）x x y sin =； （3）x x y ln =。
解：（1）x x x x x x e x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；
（2）x x x
x x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+=
'+'='='；
（3）1ln 1
ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x x
x x x x x x x x y 。
例2：求下列函数的导数：
（1）x
x y sin =； （2）x x y ln 2=。
解：（1）2
22sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛
='； （2）x
x x x
x x x x x x x x x x x y 22222
22
ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅
-⋅='
⋅-⋅='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='。
（三）、练习：课本46P 练习1.
（四）、课堂小结：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
4、法则：一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和
)(x g '，我们有
)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'=
'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
+'=' 特别地，当k x g =)(时，有
)(])([x f k x kf '='
（五）、作业：课本48P 习题2-4：A 组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5 五、教后反思：
v1.0 可编辑可修改。