八年级数学下册18.1.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质
基本图形：
几何语言：
A B
O
D ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD．
C
例题讲解
如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA
的长，以及ABCD的面积．
解： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
A
8
8
D
∴ BC=AD=8, CD=AB=10． ∵ AC⊥BC，
10
10
6
O
10
∴ △ABC是直角三角形. 根据勾股定理，得
B
8
C
AC= AB2－BC2 = 102－82 =6.
又∵ OA=OC，∴ OA= 1 AC = 3. 思考：怎样求BD呢？
2
∴ S□ABCD = BC× AC =8×6 = 48.
当堂测试
1．如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的
证明：
A
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ,
∴ AB∥DC，OA=OC．
∴ ∠BAC=∠DCA，
∠AEO=∠CFO．
∴ △AEO≌△CFO（AAS），
∴ OE=OF．
D
E
●
O
F
B C
拓展探究
变一变：若将直线EF绕பைடு நூலகம்O点旋转，OE=OF还成立吗?
△AEO≌△CFO
OE=OF
归纳： 过平行四边形对角线交点的任何一条直线都会平分平行四边 形的面积.
A
思路点拨：通过三角形全等证明线段相等.
1 1
1
B
3
3
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD,
O
4
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
44
22
∴ △AOB≌△COD（ASA）, D
C
∴ OA=OC，OB=OD.
平行四边形
三角形
归纳总结
平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分.
练习提升
有一块土地，形状如下图所示，AF∥ED∥BC，AB∥EF∥CD， 请用一条直线将它分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）
我的收获
1、这节课我学到了什么？
边 平行四边形的对边平行且相等
平行四边形 的性质
角 平行四边形的对角相等
对角线 平行四边形对角线互相平分
2、我学到了什么思想方法？ 3、完成《长江全能学案》P39-40习题.
老大
老二
△ADO与△ABO等底同高， 面积相等．
O
老三
老四
D
C
= = = S S S S △ADO △ODC △BCO △AOB
归纳： 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形.
拓展探究
如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O．过点O作直线EF，分别交
AB,CD于点E，F．求证：OE=OF．
A
B
3.5cm 2.7cm
o
2.7cm
3.5cm
D
C
（1）
A
B
1.9cm 2.4cm
●
o 2.4cm 1.9cm ●
D
C
（2）
我的发现：OA = OC，OB = OD．
我的猜想：平行四边形的对角线 互相平分 ．
证明猜想
已知：如图, ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：OA=OC，OB=OD.
周长为15，AB=6，则对角线AC，BD的长度的和是（ B ）
D
C
A．9 B．18
C．27 D．36
O
6
2．在 ABCD中，AC＝10，BD＝8，AB＝m,
A 则m的取值范围是
B
( C)
A．8<m<11 C．1<m<9
B．2<m<18 D．4<m<7
5 m
4
请你当法官：老人的分法合理吗？
A
B
可以结合三角 形全等证明哟！
谢谢聆听，敬请指导！
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质
创设情境
一位老人经过一辈子的辛勤劳动，终于拥有了一块平行四 边形的土地，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他是 这样分的：
老二
老大 老四
老三
同学们，老人的分法蕴含了什么数学道理呢？
自主探究 ●
请同学们分别连接下面两个平行四边形的对角线，相交于点O，测量 OA，OB，OC，OD的长度，并记录下来．
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形的对角线性质课件
第十八章
18.1.2 平行四边形的对角线性质
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关 问题.
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一 起来学习关于平行四边形的对角线性 质的相关知识。
平行四边形的对角线性质
合作探究
因为AC＝8，BD＝14，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， 【中考·泸州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．
平行四边形的对角线互相平分
2在一平条行直四线边上形，的求对∴证角：线AA性E质B＝C＋F. BC＝30，AB－BC＝8.
又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，
的结论吗？ 性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．
在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD.
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
我们猜想，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD.
由此我们又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的对角线互相平分
C．20 cm2
D．16 cm2
【点拨】易知 S▱ABCD＝2S△ABC，在△ABC 中作 BE⊥AC 于 E 点， 由∠CAB＝30°可得 BE＝12AB＝3 cm，则 S△ABC 可求出．
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
BD，并设它们相交于点O, OA与OC， 行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边
△DBC的周长－△ABC的周长＝24＋AB－(18＋AB)
18-1-2 平行四边形的性质定理课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册
F
A
B
∴∠FDO=∠EBO
又∵∠DOF=∠EOB
∴△DFO≌△BEO.
∴BE∥DF
∴OE=OF
3. 如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交 于点E、F，AB=4，AD=3，OF=1.3.求四边形BCFE的周长.
解：在▱ABCD中 易证得：△BEO≌△DFO ∴OE=OF，EB=DF， ∴lEB+lBC+lCF=lBC+lCD=4+3=7
B
C
因为对角线互相平分，所以有AO=CO，
OD=BO.
2.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC
，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF. 分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在
D
C
OE
的两个三角形全等即可.
证明：在▱ABCD中 有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∵BE⊥AC，DF⊥AC
课堂小结
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
平行四边形 性质
根据平行四边形性质求面积与周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
∴2(AB+BC)=16
即AB+2=BC
即4AB+4=16
又∵▱ABCD的周长等于16
∴AB=3，BC=5
例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E， 且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.
解：设AD，和BC之间的距离为x，则▱ABCD的
A
D
O
∴ AO +BO=15-6=9
B
人教版初中数学八年级下册18.1.1《平行四边形的对边相等、对角相等》教案
第二课时平行四边形的对角线互相平分教学目标：1、知识技能目标：理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质，能综合运用平行四边形的性质。
2、过程方法目标：通过观察图形，发现平行四边形的性质并证明。
3、情感态度与价值观：通过探究、观察、分析、比较，实现知识的迁移与转化，通过师生之间的合作、交流，培养学生的合作精神。
教学重点：理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质。
学习难点：综合运用平行四边形的性质解决问题。
学情分析：对平行四边形的性质，学生自学讲学稿应该能初步形成知识技能目标，通过学生自主探究，可以增强学生的求知欲望，培养学生勇于探究的精神和严谨的科学态度，提高学习效率。
教学方法：类比法、归纳法、合作交流。
课型：新授课教学流程：1、学前准备，要求学生课前完成，达到为本节课做准备，检查学生的预习效果，为新课的学习做好铺垫。
2、独立思考，教师与学生公同完成学习过程，是获取新知识，总结本节课的知识和解决问题的方法，达到知识交流化。
3、师生合作探究，达到巩固发展的目的，把知识转化为学有余力的学生提供提高的机会。
4，小结，及时了解学生教学内容掌握的情况，以便提高。
5、目标检测6、作业设计教学过程一、学前准备1.什么是平行四边形？2.上节课我们掌握了平行四边形的哪些性质？二、探究活动请同学们阅读课本43页至44页，并划出你认为重要的内容。
（一）展示动画课件（二）独立思考，解决问题已知：如图：ABCD的对角线AC、BD，相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.归纳：平行四边形的对角线互相平分。
符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC OB=OD（三）师生交流例1、如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC•、OA的长以及ABCD的面积．合作探究如图（1），▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O 且与AD，BC分别相交于点E，F，则OE＝OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图2和图3)，OE与OF还相等吗？若相等，请说明你的理由．图（1）图（2）图（3）三、解决问题一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？四、目标检测1.选择：平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（）A、不稳定性B、对角线互相平分C、内角的为360度D、外角和为360度2. 若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( )Ａ. １２和２Ｂ. ３和４Ｃ. ４和６Ｄ. ４和８3. 如图，若ABCD的周长为22cm，相交于点O, △AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD＝___,AB ＝___。
人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
18.1.1平行四边形的性质(对角线的特征)-2022-2023学年人教版八年级数学下册教案(含详解
18.1.1 平行四边形的性质（对角线的特征）教案概述本教案是针对2022-2023学年人教版八年级数学下册中的18.1.1节的内容编写的。
本节课主要介绍了平行四边形对角线的性质，包括对角线的长度和角度之间的关系。
教学目标•理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质；•掌握平行四边形的对角线长度相等的特征；•掌握平行四边形对角线之间角度关系的特征；•能够应用所学知识解决与平行四边形相关的问题。
教学步骤步骤一：导入新知•引导学生回顾平行四边形的定义，让学生讲解平行四边形的性质。
步骤二：对角线的特征1.第一性质：平行四边形的对角线长度相等。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线长度相等–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线长度相等。
2.第二性质：平行四边形的对角线互相平分。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相平分–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相平分。
3.第三性质：平行四边形的对角线互相垂直。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相垂直–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度和对角线夹角，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相垂直。
步骤三：应用训练•给学生提供一些平行四边形的例题，让他们应用所学知识解决问题。
步骤四：拓展延伸•引入更复杂的平行四边形相关问题，让学生思考和解决。
步骤五：课堂小结•总结本节课的重点内容，强调平行四边形对角线的特征。
课堂练习1.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：AC=BD。
练习12.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：对角线AC与对角线BD互相平分。
练习2总结通过本节课的学习，我们了解了平行四边形对角线的性质。
对角线长度相等、互相平分、互相垂直是平行四边形对角线的重要特征。
掌握了这些性质后，我们能够更好地解决与平行四边形相关的问题。
人教版八年级数学下册_2021春《第2课时_平行四边形的性质》教学设计
人教版八下18.1.1平行四边形的性质(第2课时)教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本节课是在前一节课研究平行四边形边、角性质的基础上，进一步从平行四边形对角线的角度来探究平行四边形的性质．对角线互相平分是平行四边形的重要性质，在“旋转”一章，学习中心对称及中心对称图形时，会有进一步的体会．平行四边形的学习综合了平行线与三角形的相关知识，突出演绎推理，是训练学生思维的良好平台，而平行四边形的性质又是猜想平行四边形判定的起点，是后续学习矩形、菱形、正方形的基础，所以它在教材中处于非常重要的位置．概念解析平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．即在□ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，则OA=OC，OB=OD．平行四边形对角线的性质揭示了平行四边形对角线特殊的位置关系，揭示了对角线交点是平行四边形的对称中心．在具体几何证明应用中，此性质提供了证明线段相等的一种方法，也为已知一条对角线时添加另一条对角线作为辅助线提供了依据．思想方法平行四边形性质的研究从上一课时的边、角分析，再到本节课对对角线关系的分析，展示了研究几何图形性质的一般思路．平行四边形性质3的证明，要转化为三角形全等进行解决，渗透着转化的数学思想．知识类型平行四边形的性质属于原理和规则的知识．在性质的获得与理解层面，需要学生经历“观察、猜想、证明”的过程，在性质的运用层面，需要经过知识由简单到综合，思维由浅入深的层次训练，使学生形成条件化、策略化的知识．基于以上分析，本课的教学重点是：平行四边形性质3的探究与应用．教学目标解析教学目标1．探索并证明平行四边形的性质3.2．会利用平行四边形的性质进行简单的计算和推理.目标解析目标1的具体要求是：明确图形性质的探究就是从构成图形的边、角、对角线等基本要素着手，猜想它们之间的关系，并从定义出发结合已有定理进行逻辑证明. 在证明“平行四边形对角线互相平分”这一性质时，能利用“三角形全等是证明线段相等的重要方法”这个经验想到证明思路并完成证明；目标2的具体要求是：能分清性质3的条件与结论，在题目中涉及平行四边形的对角线时能主动联想到对角线互相平分，进行简单的计算和推理.教学问题诊断分析具备的基础学生在八上已经学习了全等三角形，对利用全等证明线段相等有了比较丰富的经验.在第1课时又已学了平行四边形性质：对边平行且相等，这些是为平行四边形性质3的证明提供了知识基础. 同时，通过前面的学习也初步体会几何图形性质研究的一般思路，这为本节继续研究平行四边形的性质提供了思路与方法．与本课目标的差距分析由于八年级学生处在形象思维与抽象思维的过渡时期，而这个过渡的过程中需要在不断丰富经验和反思体会中顺利跨越，很多学生容易通过观察直接猜想得出平行四边形对角线互相平分，而忽略对此猜想的证明．存在的问题在证“平行四边形对角线互相平分”时，要结合图形写出已知，求证，再进行证明，从文字表述到几何证明是学生感到困难的；同时，随着平行四边形性质的进一步学习，应用性质进行推理计算的要求越来越高，知识综合与复杂程度的提升也会造成学习的困难．应对策略在学生原有的经验中，已经具备利用三角形全等证明线段或角相等的方法，在证明平行四边形性质时，教师应通过目标（证线段相等）分析和方法（证全等三角形）引导，让学生自然合理地想到利用全等三角形证明线段相等的方法.在习题训练中，坚持顺序渐进的原则逐步巩固知识，发展能力.基于以上分析，本课的教学难点是：构建平行四边形性质的研究路径，发现平行四边形的性质3．教学支持条件分析可用ppt自定义动画等技术显示图片动画，体验平行四边形对角线的性质，可用实物投影或西沃授课助手等软件展示学生思考和讨论的成果；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学支持条件分析教学过程设计课前检测1．在□ABCD中∠A=50 o，则∠B=_______，∠C=_______，∠D=_______.2．在□ABCD中，AB=5，BC=3，则它的周长是_______．3．在□ABCD中，AB=4cm，BC=5cm，∠B=30o，则□ABCD的面积为_______．设计意图：检查学生对平行四边形边、角性质及平行线之间的距离的掌握程度，如果学生对于前两个问题回答不好，则需要在课前增加平行四边形性质的复习.新课学习1.创设情境引出课题情境：一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，分法如图.问题1：如何判断如图的三角形面积是否相等？师生活动设计：先请一位同学回答，如有不足，其他同学补充.预设有两种可能答案：1.可通过证明相对的两对三角形全等，（说明不了相邻两三角形面积相等）；2.三角形在等高的情况下，可通过判断底边是否相等即可.设计意图：1.由身边事物来创设情景，虽普通，但蕴含数学来源于生活的道理，容易让学生较快进入所需的数学状态；2.回顾平行四边形边、角两个基本要素的性质，带出对角线这一研究对象；3.引出教师追问.追问：平行四边形除了边、角这两个基本要素的性质外，对角线有什么关系？设计意图：引导学生深入探究平行四边形的性质，明确新课核心内容.2．方法类比提出猜想问题2：如图1，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB 与OD有什么关系？师生活动设计：先引导学生合作探究，可用几何图形性质探究的常用方法：度量法或叠合法来猜想对角线具有什么关系.猜想：平行四边形对角线互相平分.设计意图：经历数学猜想的过程，体验图形性质探究的方法.3．演绎推理形成定理问题3：你能证明上述猜想吗？师生活动设计：对于猜想，要求经历完整的证明过程.教师引导学生画出图形，写出已知，求证．本环节注重化四边形为三角形的思想.如图2，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，求证：OA=OC，OB=OD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△COD ≌△AOB.∴OA=OC，OB=OD．小结：通过推理论证正确的猜想可以成为性质定理，这样我们得到了平行四边形关于对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分.设计意图：初步掌握证明猜想的基本步骤：画图，写出已知，求证，证明.经历命题的证明过程，体验化四边形为三角形的思想.问题4：你能用几何语言表述平行四边形对角线的性质吗？师生活动设计：符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD设计意图：强调几何的几种不同语言的转化，为性质的应用作好准备．目标1检测：回顾刚才的过程，我们是如何探索平行四边形对角线的性质的？设计意图：如果学生能大致正确回答，则表示肯定后进入下面环节的学习；如果学生不能很好组织表达，教师应和学生一起回顾学习过程，进一步明确研究图形性质的一般思路与方法，同时指出将四边形问题转化为三角形问题的证明策略．问题5：结合前一节，平行四边形有哪些性质？师生活动设计：平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.设计意图：学生对平行四边形的性质作总结，学会对所学知识作及时整理．追问：引入情景中的老人分土地分得均匀吗？设计意图：前后呼应，体现学有所用.4．运用定理解决问题例1：如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积.师生活动设计：分析思路，引导学生书写规范格式.同时引导学生用所学新知识来解决问题，以免学生跳不出三角形的圈子.设计意图：1.及时巩固平行四边形的性质；2.引出变式图.目标2检测：如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AC=6，BD=10，AB⊥AC，求AB的长以及□ABCD的面积．设计意图：如果大部分学生能顺利解决，则进入变式的教学，如果个别学生不会，建议进行个别辅导，如果较多学生感到困难，则应对目标2检测题进行详细讲解分析，如果有些学生没有思路，讲解后能领悟也可先进入后续的学习．其中对AB的长应当要求大部分学生能独立解决，□ABCD的面积有多种求法，应给学生表达的时间.变式：在上题中，EF过□ABCD对角线的交点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF.师生活动设计：要求学生口述证明思路，并对不同思路进行点评，突出不同思路的合理成分．设计意图：对例2进行简单变式，使图形有一种动态的感觉，在进一步巩固知识与方法的同时，有利于思维深刻性的训练与培养．追问：图中还有那些相等的量？设计意图：引导学生发散性联想，相等的量可从边、角、面积等角度思考.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）到目前为止，我们知道了平行四边形的性质有哪些？（2）请回顾平行四边形性质3的探究过程，谈谈你的体会.设计意图：通过小结，使学生梳理平行四边形性质的有关内容，形成知识体系，通过对学习过程的回顾，进一步体会几何研究的一般思路，在这里主要是了解学生的认识情况并稍加指导，完整的教学将在下一节中进行．目标检测设计1．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是() A．AO=OD B．AO⊥ODC．AO=OC D．AO⊥AB2．如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=14cm，BD=8cm，则△AOD的周长等于_______．3．如图,在□ABCD中, 对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，则AB的取值范围是_______．4．如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=_______，AB=_______．5．如图，延长□ABCD的边BC至E，DA至F，使CE=AF，EF与BD交于O．求证：EF与BD互相平分．。
18.1.1 平行四边形的性质 人教版八年级数学下册
(1)在平行四边形中,利用对角相等、邻角互补可以求出其他角的度数;
(2)在平行四边形中,如果一条线段平分一个内角,那么这条线段与相
邻两边组成的三角形是等腰三角形.
新知应用
1.(2023潍坊期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则
∠D的度数是( C )
A.130°
B.115°
中错误的是( D )
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点的距离就是线段AB的长度
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
平行四边形对角线的性质
[例 2] 如图所示,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AB⊥AC,AB=1,
BC= .
(1)求对角线 BD 的长;
(2)求平行四边形 ABCD 的面积 S▱ABCD.
形(不包括△ABD)有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.(2023扬州模拟)如图所示,▱ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点
O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为9 cm,则▱ABCD的周长为 18 cm .
4.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OC,OA的中点.
AB=DC,∠A=∠C,
在△ABE 和△CDF 中,
= ,
∠ = ∠,
= ,
∴△ABE≌△CDF.
6.(2023南充)如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:
(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
4.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作
_18.1.1平行四边行四边形的对角线特征作业课件 +2023—2024学年人教版数学八年级下册
当b＞2a时，结论：
当a＜b＜2a时，结论： 当b＜a时，结论：
(1)AB＝BE＝a＝CD＝CF；(1)AB＝BE＝a＝CD＝CF；(1)AB＝BE＝a＝CD＝CF；
(2)EF＝b－2a.
(2)EF＝2a－b.
(2)EF＝2a－b.
1. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，若 AD＝10，AB＝7，则DF的长为 ____3．
14．(教材P51习题T14变式)【探究】如图①，在▱ABCD中，AC，BD交于点O， 过点O的直线交AD于E，交BC于F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等； (3)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份？试说明理由． 【应用】张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示， 张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水 井，请你帮助张大爷把地分开．
7．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴 影部分的面积为 _1_2__．
8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm.求▱ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2DO＝3 cm，CD＝AB＝5 cm， ∵BC＝4 cm，∴BC2＋BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°，即DB⊥BC， ∴S▱ABCD＝BC·BD＝4×3＝12(cm2)
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； (2)求证：AE＝CF.
解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°， ∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
人教版八年级数学下册18.1.1《平行四边形性质对角线互相平分》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形对角线的基本概念。平行四边形的对角线是连接两对相对顶点的线段。这个性质表明，平行四边形的对角线互相平分，即每条对角线都将另一条对角线平分为两等分。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过图形演示和实际测量，展示平行四边形对角线互相平分的性质，并探讨它如何帮助我们解决实际问题。
3.增强学生数学运算和数据分析的核心素养，通过解决实际问题时运用性质，培养准确、快速的运算能力；
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，通过小组讨论和课堂分享，提高几何问题的解决策略。
本章节的核心素养目标立足于新教材要求，注重培养学生的几何直观、逻辑推理、数学运算和数据分析能力，同时兼顾团队协作与交流表达能力的提升，使学生在掌握知识的同时，全面提升学科核心素养。
2.教学难点
（1）理解平行四边形对角线性质的本质：学生需要理解为什么平行四边形的对角线会互相平分，这个性质背后的几何原理是什么。
举例：通过观察平行四边形的性质，如对边平行且相等，引导学生推导出对角线互相平分的结论。
（2）运用性质进行证明：学生需要掌握如何运用已知性质进行严密的证明，这对于培养他们的逻辑推理能力非常重要。
此外，学生在解决实际问题时，对于平行四边形对角线互相平分性质的应用还不够熟练。这说明我在教学中需要更多地关注对学生解题技巧的培养，帮助他们将性质灵活运用到各种题型中。同时，我也将加强对学生的个别辅导，针对他们在学习过程中遇到的问题，提供有针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形对角线互相平分的性质、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这一性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质(第二课时)对角线同步练习题
平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（ ）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（ ）第4题 第5题 第7题 第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（ ）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。