函数的凸性与拐点
二次函数的拐点与凹凸性判断
二次函数的拐点与凹凸性判断二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而拐点和凹凸性是抛物线特征之一。
在本文中，将讨论如何判断二次函数的拐点以及凹凸性。
一、拐点的判断拐点也被称为转折点，是指函数曲线由凸向上转为凸向下，或由凸向下转为凸向上的点。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其拐点可以通过函数的导数来确定。
首先，我们需要求出二次函数的导数。
二次函数的导数是一次函数，其一般表示形式为y' = 2ax + b。
由于二次函数是曲线而非直线，因此存在拐点的情况。
当导数y' = 0时，表示函数的斜率为零，即函数出现了拐点。
那么我们可以通过求导数y' = 0的解来确定二次函数的拐点。
假设y' = 2ax + b = 0，则有x = -b / (2a)。
这样，我们就获得了二次函数的拐点横坐标x值。
将该x值代入原函数中，即可求得拐点的纵坐标y值。
通过上述步骤，我们可以准确地确定二次函数的拐点坐标。
需要提醒的是，在判断二次函数的拐点时，应先求出导数，再求导数为零时的解，最后代入求得拐点坐标。
二、凹凸性的判断凹凸性是指函数图像曲线的凹凸形状，即函数图像的上凸与下凸。
同样地，二次函数的凹凸性可以通过二次函数的导数来判断。
凹凸性与导数的正负相关。
当导数y' > 0时，函数图像为凸向上的抛物线；当导数y' < 0时，函数图像为凸向下的抛物线。
因此，我们只需求出二次函数的导数，并判断导数的正负性即可确定二次函数的凹凸性。
需要注意的是，二次函数的凹凸性在拐点处发生改变。
在拐点左侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性一致；而在拐点右侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性相反。
由于凹凸性与导数的正负有关，若要确定二次函数的凹凸性，可按照以下步骤进行：1. 求出二次函数的导数y'。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
4.2 凸性与拐点
f ''(ξ ) f ( x) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2!
y
其中 ξ 介于 x0 与 x 之间 由于 f ″(ξ) ≥ 0 , 可知 ξ
凸函数
f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )
o
x0
x
(3)
y
凸函数
y 凹函数
o
a
b x
o
a
b
x
凹凸函数的另一重要特征: 凹凸函数的另一重要特征 凸函数的切线斜率 f ′(x) 单调增加 凹函数的切线斜率 f ′(x)单调减少 单调减少 一阶充分条件) 定理 (一阶充分条件 一阶充分条件 上连续, 内可导, 若 f (x)在 [a, b] 上连续 (a , b)内可导 且 f ′(x)在 在 内可导 在 (a , b)内单调增加 或减少 则 f (x) 在[a , b]是凸函数 内单调增加(或减少 内单调增加 或减少), 是凸函数 (凹函数 ) 凹函数
即
f ( x + h) + f ( x − h) − 2 f ( x) > 0
f ( x + h) + f ( x − h) − 2 f ( x) ⇒ 0 ≤ lim h→0 h2
洛
1 f ' ( x + h) − f ' ( x − h) lim 2 h→0 2h
f' ( x + h) − f' ( x) f' ( x − h) − f' ( x) 1 = lim + 2 h→0 h (−h)
函数的凹凸性与拐点的定义与求法
f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
( 定义 设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
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2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
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函数的凹凸性与拐点
图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
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函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。
重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。
教学方法：讲练结合。
考察函数2)(x x f =和x x f =)(的图象．它们不同的特点是：曲线2)(x x f =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲x x f =)(线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数． 一、函数的凸性 1．定义设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称f 为I 的凹函数．如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数． 易证：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数．故只需讨论凸性即可． 2．引理f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点,321x x x <<总有≤--1212)()(x x x f x f 2323)()(x x x f x f --。
证 [必要性] 记.)1(,3121323x x x x x x x λλλ-+=--=则由 f 的凸性知道),()()()1()())1(()(313121132331312x f x x x x x f x x x x x f x f x x f x f --+--=-+≤-+=λλλλ从而有 )()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-， ),()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-整理后即得(3)式·[充分性] 在f 上任取两点1x ，3x （1x <3x )，在[31,x x ]上任取一点)1(12λλ-+=x x 3x ，.),1,0(1323x x x x --=∈λλ即由必要性的推导逆过程，可证得),()1()())1((3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+故f 为I 上的凸函数同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点21x x <<3x ，有.)()()()()()(232313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--3．可导函数凸性的等价命题定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： ο1 f 为I 上凸函数；ο2 'f 为I 上的增函数；ο3 对I 上的任意两点21,x x ，有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥． (5) 证 (οο21⇒) 任取I 上两点21,x x (21x x <)及充分小的正数h ．由于h x x x h x +<<<-2211，根据f 的凸性及引理有.)()()()()()(22121211hx f h x f x x x f x f h h x f x f -+≤--≤--由f 是可导函数，令+→0h 时可得 )()()()(212121x f x x x f x f x f '≤--≤'，所以f '为I 上的递增函数．(οο32⇒) 在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和f '递增，有))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ． 移项后即得(5)式成立，且当21x x >时仍可得到相同结论．(οο13⇒) 设以21,x x 为上任意两点，213)1(x x x λλ-+= 0<λ<1．由ο3，并利用)())(1(12322131x x x x x x x x -=---=-λλ与，).)(()())(()()(),)(()1()())(()()(123332332213331331x x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥-'-+=-'+≥λλ分别用λ和λ-1乘上列两式并相加，便得 ))1(()()1()(2121x x f x f x f λλλλ-+≥-+． 从而f 为I 上的凸函数． 口注:论断ο3几何意义：曲线)(x f y =总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征． 4．二阶可导函数凸性的充要条件定理6．14 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸(凹)函数的充要条件是 I x x f x f ∈≤''≥''),0)((0)(． 例1讨论函数x x f arctan )(=的凸(凹)性区间。
解 由于22)1(2)(x xx f +-=''，因而当0≤x 时，0;0)(≥≥''x x f 时0)(≤''x f ．从而在(0,∞-]上f 为凸函数，在[+∞,0)上f 为凹函数．口例2 若函数f 为定义在开区间(b a ,)内的可导的凸(凹)函数，则a x (0∈,)b 为f 的极小(大)值点的充要条件是0x 为f 的稳定点，即0)(0='x f ．证 下面只证明f 为凸函数的情形． 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性． 由定理6．13，任取(b a ,)内的一点)(0x x ≠，它与0x 一起有).)(()()(000x x x f x f x f -'+≥因0)(0='x f ，故),(b a x ∈∀有)()(0x f x f ≥，即0x 为f 的极小值点(且为最小值点)．例3(詹森(Jensen)不等式) 若f 为],[b a 上凸函数，则对任意a x i [∈，,1),,,2,1(0],1==>∑=ni i i n i b λλΛ有).()(11i ni in i ii x f x f ∑∑==≤λλ （6）证 应用数学归纳法．当2=n 时，命题显然成立．设k n =时命题成立．即对任意],[,,,21b a x x x k ∈Λ及 ,1,,2,1,01==>∑=ni i i a k i a Λ都有 ).()(11i ki iik i i x f ax a f ∑∑==≤现设],[,,,121b a x x x x k k ∈+Λ及1),1,,2,1(011=+=>∑+=k i ii k i λλΛ令1,,,2,1,111==-=∑=+ki i k ii a k i a 则Λλλ．由数学归纳法假设可推得 )(112211++++++k k k k x x x x f λλλλΛ).()()(1)(1)(1)1()()]()()()[1()()()1(1)1(111112121111112211112211111122111i k i i k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k x f x f x f x f x f x f x f a x f a x f a x f x a x a x a f x x x x f ∑+=++++++++++++++++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+--=++++-≤++++-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-=λλλλλλλλλλλλλλλλλλλΛΛΛΛ这就证明了对任何正整数)2(≥n ，凸函数f 总有不等式(8)成立． 例4 证明不等式c b a c b a c b a abc ≤++3)(，其中c b a ,,均为正数证 设.0,ln )(>=x x x x f 由)(x f 的一阶和二阶导数,1ln )(+='x x f xx f 1)(='' 可见，x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数，依詹森不等式有(),)()()(313c f b f a f c b a f ++≤⎪⎭⎫⎝⎛++ 从而),ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ c b a cb ac b a c b a ≤++++)3(。
又因,33cb a abc ++≤所以 .)(3c b a c b a c b a abc ≤++例5 设f 为开区间I 内的凸(凹)函数，证明f 在I 内任一点0x 都存在左、右导数。
证 下面只证凸函数f 在0x 存在右导数.设0<,21h h <则对20100h x h x x +<+<（这里取充分小的2h ，使0x +),2I h ∈由引理中的(4)式有20201010)()()()(h x f h x f h x f h x f -+≤-+令,)()()(00hx f h x f h F -+=故由上式可见F 为增函数，任取I x ∈'且0x x <'则对任何,0>h 只要,0I h x ∈+也有).()()()()(0000h F hx f h x f x x x f x f =-+≤'-'- 因而函数F(h )在h >0上有下界．故极限F(h )存在，即)(0x f +'．存在。
二、函数的拐点定义2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有穿过曲线的切线．且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点． 由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点．例l 中的点(0，0)为y =arctan x 的拐点．正弦曲线y =sin x 有拐点k k ),0,(π为整数．1． 拐点存在的必要条件定理6．15 若f 在0x 二阶可导，则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f 2． 拐点存在的充分条件定理6．16 设f 在0x 可导，在某邻域)(0x U ο内二阶可导．若在)(0x U ο+和)(0x U ο-上)(x f ''的符号相反，则()(,00x f x )为曲线)(x f y =的拐点．注：若()(,00x f x )是曲线)(x f y =的一个拐点， )(x f y =在0x 的未必可导．如：函数y=3x 在x =0的情况．练习：习题2，3 作业：习题1（1），4，5（1）。