高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修

3 定积分的简单应用

[对应学生用书P42]

如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．

问题2：你能求得其面积吗？如何求？

提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝

∫b a f(x)d x，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫b a g(x)d x，则所求阴影部分面积为S1－S2.

平面图形的面积

一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成

的平面图形的面积为S，则

S＝∫b a f(x)d x－∫b a g(x)d x，f(x)≥g(x)．

定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．

[对应学生用书P42]

不分割型图形面积的求解

[例1]求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．

[思路点拨]画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．

[精解详析]由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x 2

－4，

y ＝－x ＋2，

得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－3，y ＝5，

或⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2，y ＝0，

所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2

－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得

S ＝⎠⎛32

(－x ＋2)d x －⎠⎛32

(x 2－4)d x

＝⎝

⎛⎭⎪⎫2x －12x

2 |

2

－3

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝125

6

. [一点通]求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；

⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．

1．由直线x ＝－π3，x ＝π

3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为()

A.1

2 B ．1

C.32

D. 3

解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分

⎠⎜⎛3

π

- 3πcos x d x ＝sin x 3

3

ππ-＝

32－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－32＝ 3. 答案：D

2．(高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3

在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A ．2 2 B ．4 2 C ．2

D.4

解析：由4x ＝x 3

，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，

直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3

在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛0

2

4x －x 3dx ＝⎝

⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20

＝4. 答案：D

3．计算由曲线y 2

＝x ，y ＝x 3

所围成的图形的面积S.

解：作出曲线y 2

＝x ，y ＝x 3

的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y 2

＝x ，y ＝x

3

得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图

形面积为

S ＝∫10xdx －∫10x 3

dx ＝23x

3

2

|1

－14x 4

|10

＝23－14＝5

12

.

分割型图形面积的求解

[例2]求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．

[思路点拨]作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．

[精解详析]

作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．

求交点坐标：由⎩

⎪⎨

⎪⎧

xy ＝1，

y ＝3，

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝13，

y ＝3，

故A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，3；

由⎩⎪⎨

⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩

⎪⎨

⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x ，y ＝3，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，

故所求面积S ＝S 1＋S 2＝

⎠⎛1

3

1

⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113

＋⎝

⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |3

1

＝4－ln 3.

[一点通]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．

4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π

2所围成的平面图形(如下图中的阴

影部分)的面积是()

A ．1 B.π

4

C .

32

2

D.22－2

解析：S ＝⎠⎜⎛0

π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2

πx －cos x )dx ＝(sin x ＋cos

x )⎪⎪⎪⎪

π40

－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪

π2π4

＝(2－1)－(1－2)＝22－2. 答案：D

5．求由曲线y ＝x 2

和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．

解：由⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝x 2

，y ＝x ，得A (1,1)，

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x 2

，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为