(完整版)现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分）

1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×)

2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×)

3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√)

4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×)

5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√)

6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√)

7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√)

8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×)

9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√)

10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√)

二（10分，每小题5分）

（1）简述平衡状态及平衡点的定义。

（2）简述状态方程解的意义。

解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。

（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。

三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

解：

f ma =……………………………….……1分

令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有

122u kx kx mx --=&………………………………2分

于是有

12x x =&………………………………..……………1分

2121k h x x x u m m m

=-

-+&……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有

1y x =…………………………….……….1分

写成状态空间表达式，即矩阵形式，有

11220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

&&………..……………..2分 []1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

……………………..……….……….2分 四、（15分）求以下系统的状态响应

0120()()(),(0),()e 2301t x t x t u t x u t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

& 解： 由012,230A b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

得 123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦

…………….……………………………………2分 121111212()22

2121

21s s s s sI A s s s s -⎡⎤--⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦……………….………2分 22222e e e e e 2e e e 2e t t

t t At t t t t --------⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦

…………….………….………2分 ()0

()e (0)e ()()t At A t s x t x B s u s ds -=+⎰…………….………………2分 21(41)e e

t t x t --=-+…………….………………...…………1分 22(34)e 2e t t x t --=--…………….…………..………………1分

五、（10分）令2I 为二阶单位矩阵。求解Lyapunov 方程20T A P PA I ++=判断以下系统的

稳定性

0111x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

& 解 令a b P b c ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

………….…………..…………………..……………1分 得

21002201b a b c a b c b c ---⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

……………….………………2分 21002210b a b c b c -+=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩

……………….……………………………..………2分 3212121P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

……………….…………………………..…………2分 由 320,540a P =>=>……………….…………..………………2分 可知P 正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分 六、设1∑和2∑是两个能控且能观的系统

[]1

121210431022221111==-=∑=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑C b A C b A ，，：，，： （1）试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； 解：（1）1∑和2∑串联

当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时，331222x x x x =-++&

010*********x x u ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

&，[]001y x = 20141413014M b Ab A b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

12

71)4)(3)(2(2)()(21++=++++=-=-s s s s s s B A sI C s W 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时

11034

100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

&，[]210y x =