混沌理论简介
混沌理论探索复杂系统的奥秘
混沌理论探索复杂系统的奥秘混沌理论起源于1960年代，是研究混沌现象和非线性系统性质的重要理论。
混沌现象是指系统的运动轨迹虽然不断演化，但是并不呈现出规律性的周期性运动。
在混沌系统中，微小的扰动可能会引起巨大的变化，这种敏感依赖于初始条件，也称为“蝴蝶效应”。
混沌系统不仅在物理学领域中广泛应用，同样具有在生物学、经济学、社会科学等领域的重要应用价值。
本文将介绍混沌理论的基本概念和应用，探索复杂系统的奥秘。
一、混沌理论的基本概念混沌理论是研究非线性系统的重要方法，是应用数学在物理、化学、生物等领域中的重要工具。
其基本概念包括混沌现象、吸引子、分岔、周期倍增等。
1.混沌现象混沌现象是一个系统即使在没有外部干扰的情况下，也表现出极其复杂、不可预测、无序的特性。
比如，天气系统、交通运输系统、生态系统等都是混沌系统。
混沌现象是由于系统在微观层面上发生轻微的变化，可能会导致其宏观运动的不同轨迹，因此具有非常高的灵敏性，使得混沌系统极其难以预测。
2.吸引子吸引子是混沌系统的稳定状态。
在混沌系统中，无论初始状态是什么，系统总是向着某一个吸引子运动。
吸引子可以是一个点、一条曲线、一块区域，甚至可以是一些奇怪的、复杂的形态。
3.分岔分岔是指当系统某个参数变化时，系统的运动状态从单一的轨迹向多重轨迹跳变的现象。
分岔在混沌系统中非常重要，因为它导致了复杂系统的一些特征，如周期倍增。
4.周期倍增周期倍增是指当系统参数变化时，系统的周期从1倍开始，进而按照指数规律倍增的现象。
周期倍增是混沌现象的一部分，是混沌系统中时间或空间尺度上重要的规律。
二、混沌理论的应用价值混沌理论在物理、化学、生物等领域中都有广泛的应用。
在生物领域，混沌理论被应用于神经信号处理、心率、癫痫发作等方面；在物理领域，混沌理论被应用于天文学、非线性光学等方面；在经济、社会科学领域，混沌理论被应用于金融市场的波动、民意调查的预测等方面。
混沌理论还在其他领域中展示了其强大的应用价值，如气象科学、交通运输、环境科学、电力系统等。
混沌理论概述
第一章混沌理论概述引言混沌是指确定动力系统长期行为的初始状态,或系统参数异常敏感, 却又不发散, 而且无法精确重复的现象, 它是非线性系统普遍具有的一种复杂的动力学行为。
混沌变量看似杂乱的变化过程, 其实却含有内在的规律性。
利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性可以进行优化搜索, 其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间, 然后利用混沌变量进行搜索。
但是, 该算法在大空间、多变量的优化搜索上, 却存在着计算时间长、不能搜索到最优解的问题。
因此, 可利用一类在有限区域内折叠次数无限的混沌自映射来产生混沌变量,并选取优化变量的搜索空间, 不断提高搜索精度等方法来解决此类难题。
混沌是非线性科学的一个重要分支, 它是非线性动力系统的一种奇异稳态演化行为, 它表征了自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特征。
因此, 混沌科学倡导者Shlesinger和著名物理学家Ford 等一大批混沌学者认为混沌是20 世纪物理学第三次最大的革命, 前两次是量子力学和相对论, 混沌优化是混沌学科面对工程应用领域的一个重要的研究方向。
它的应用特点在于利用混沌运动的特性, 克服传统优化方法的缺陷, 从而使优化结果达到更优。
1.混沌的特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌，而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。
混沌有着如下的特性:（1）内在随机性混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形势复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
第二，混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面，首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。
混沌理论
一、混沌理论简介：混沌理论源于对混沌现象的研究和揭示。
混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生了始料未及的后果，也就是混沌状态。
混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间是相互牵引的，因此，混沌现象尤为多见，如教育的复杂过程。
定义：混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
混沌理论创始人之一的诺曼·帕卡德用三个名称概括了混沌的特征和含义：蝴蝶效应、对初值的敏感依赖以及信息繁殖。
具体而言，混沌理论具有随机性、敏感性、分维性、普适性和标度律等特性。
二、混沌理论与高校学生管理工作高校的学生管理工作的管理对象十分特殊，即在校大学生，他们是社会中最活跃、最具个性的人群。
同时，由于教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。
对于混沌系统而言，初值的差异很小，但是经过长时间的复杂变化，系统的结果就会出现显著的差异。
而蝴蝶效应则是指由于现实所能提供的有限精确度引起的差异因混沌运动对初始条件的敏感而使运动出现不确定性。
在学生管理工作中，教育者的每一次谈话、每一次激励、每一次批评，都会对学生的认知、情绪、信念、心理、行为产生重要的影响，一点细节上的偏差，经过每个环节逐步的放大之后都有可能导致学生整个人生的失败。
教育者对学生的误解会为学生的管理工作带来严重的后果。
这是高校学生管理管理工作中，混沌现象的典型。
二、混沌理论对高校学生管理工作的意义（一)体育教育研究应视体育教育为混沌现象,必须符合混沌规律。
高校学生管理工作作为复杂的现象,既不是决定性现象,也不是随机性现象,而是一种混沌现象。
管理对象大学生,作为健康人的生理、心理活动显然呈混沌形态。
因此，在管理工作中的管理方法也必然受混沌规律的制约，在实际工作中不能“一刀切”，应注重因人而异。
混沌理论详解
混沌理论详解一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare 提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。
气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。
复杂系统中的混沌理论
复杂系统中的混沌理论随着科技的发展和人们对自然现象的深入研究，有些自然现象被发现是具有一定规律性的，但又有不可预测的性质，这就是混沌现象。
混沌现象在许多自然现象中都会出现，如天气、流体力学、生态系统、股市等，今天我们就来深入研究一下复杂系统中的混沌理论。
一、什么是混沌理论？混沌理论，又称为混沌动力学，是一种研究非线性系统的数学理论。
非线性系统是指系统的输出不随着输入的线性变化而发生的系统，也就是说，非线性系统具有输入输出之间的非线性关系。
而混沌现象就是非线性系统中的一种行为。
混沌现象表现为一种看似无规律但又具有一定规律性和重复性的现象。
混沌理论在20世纪60年代末和70年代初才被发现和研究。
研究混沌现象需要使用复杂的数学方法，如微积分、微分方程、拓扑学等。
但它的突破性发现是由美国的三位著名学者洛伦兹、费根鲍姆和曼德勃洛特在研究大气气象方面的问题时引起的。
二、为什么产生混沌现象？产生混沌现象的原因是因为非线性系统中处于初值极其微小的两个相似系统，在演化中会发生巨大的差别，这种微小差异会被系统倍增放大。
这使得系统的行为变得难以预测，因为小的初值误差会在一定时间内呈现指数增长的趋势。
以上是混沌现象的数学解释，但从实际角度来看，混沌现象在很多系统中都出现了，如生态系统、股市、人口增长等等。
这些系统之所以出现混沌现象是因为它们都是非线性系统，从而使得输出变得更加复杂、不可预测。
三、混沌现象的特征？混沌现象的特征是对初始条件极其敏感、指数级敏感度和同时具有理论可再现性。
对初始条件极其敏感，是指在初始条件微小的偏差情况下，后续状态会完全不同。
这意味着对于混沌系统，重复试验可以得到完全不同的结果。
这是非线性系统行为的关键特征之一。
指数级敏感度是混沌现象的第二个特征，即当微小初始条件的偏差受到系统倍增放大时，它的敏感度呈指数级增长。
这也意味着，随着时间的推移，原来微小的初始值差异会变得越来越大。
同时具有理论可再现性，是指混沌现象是可以通过一组数学公式来模拟和复现的。
宇宙起源混沌主要内容
宇宙起源混沌主要内容宇宙起源混沌主要内容宇宙起源的混沌理论揭示了宇宙在诞生之初的复杂性和不确定性。
这一理论融合了大爆炸理论、量子涨落、混沌效应等多个方面，为我们理解宇宙的起源和演化提供了全新的视角。
宇宙起源的混沌理论概述宇宙起源的混沌理论主要基于大爆炸理论，认为宇宙起源于一个极端密集、炽热的状态，即“奇点”。
在这个初始阶段，宇宙的演化过程极为复杂，难以用简单的物理法则来描述。
混沌理论强调宇宙初期的复杂性和不确定性，尤其是在量子涨落、基本力分离和宇宙结构形成过程中。
在大爆炸之后，宇宙经历了快速的膨胀和冷却过程。
在这个过程中，宇宙的基本粒子和力逐渐形成并分化。
混沌理论认为，这一过程中的微小扰动可能会被放大，导致宇宙在不同区域呈现出不同的物理特性。
这种不确定性和复杂性使得宇宙的演化路径充满了多样性和不可预测性。
混沌效应在宇宙起源中的作用量子涨落与混沌效应在宇宙初期，微小的量子涨落是不可避免的。
这些量子涨落会随着宇宙的膨胀被放大，并在更大尺度上影响到星系、星体乃至整个宇宙的结构。
混沌理论的“蝴蝶效应”指出，初始条件的微小变化可能会导致系统的演化路径发生显著不同。
在宇宙起源的背景下，这意味着量子涨落可能通过混沌效应对宇宙的大尺度结构产生深远影响。
量子涨落是指在量子力学框架下，真空中能量的短暂变化。
这种变化虽然微小，但在宇宙膨胀的过程中被极大地放大，成为宇宙结构形成的种子。
混沌效应在这里起到了关键作用，使得这些微小的量子涨落能够影响到宇宙的整体结构和演化。
暴胀时期与基本力分离在宇宙诞生后的极短时间内（约10^-32秒），宇宙经历了一次称为“暴胀”的加速膨胀过程。
在这一时期，四种已知的基本力（重力、电磁力、强核力和弱核力）逐渐分离开来。
暴胀时期和基本力分离过程都表现出混沌的特征，因为它们涉及到复杂的非线性相互作用。
这些相互作用可能导致宇宙在不同区域演化出截然不同的物理状态。
暴胀时期的快速膨胀使得宇宙的大小在极短时间内增加了数十个数量级。
动力学中的混沌理论
动力学中的混沌理论混沌理论是动力学的一个重要分支，是研究复杂系统中的非线性现象、复杂性和不确定性的一种数学理论。
混沌理论的应用范围相当广泛，包括天文学、化学、生物学、经济学等方面，这是因为混沌现象本身在我们的日常生活中无所不在。
简单的说，混沌现象是指那些看似不规律的、无序的、不可预测的系统行为，实际上，混沌现象的本质是一种有序的、确定的、规律性的行为，只是这种行为非常复杂，难以通过我们的常规思维方法进行预测。
混沌理论最早的研究起点是在20世纪60年代，科学家Lorenz观察到大气运动的非线性行为，他提出了“蝴蝶效应”这个著名的概念，即即使是微不足道的变化，也可能对某些天气模式产生重大影响。
这个例子表明，即使我们已知原始条件，只进行这些条件的简单变化就足以导致模型行为的绝对变化，从而导致我们无法预测这个系统的未来行为。
混沌理论中的三要素混沌理论是一门复杂而又有深度的学科，它涉及到许多数学方面的知识，其中最为重要的三个方面是：1. 非线性非线性是混沌理论中最为基本的要素。
普通的线性方程在我们进行预测时，通常只要知道初值和方程的形式就可以进行预测，但是混沌现象则不同。
混沌理论研究的都是非线性方程，而非线性方程具有复杂多变的特点，初始条件发生轻微的变化，结果也可能迥异，这是造成混沌现象出现的重要原因。
2. 敏感依赖初值混沌现象最为重要的特点就是初始条件的微小变化可能会导致整个系统的运动轨迹产生很大的变化，这种情况被称为“敏感依赖初值”。
如果初值的精确性高，那么经过一段时间，系统的轨迹可能是收敛到一个确定的点或曲线，如果初值的精确性稍微低一些，那么系统将会是发生逐渐偏离，最终系统将处于一种混沌状态。
3. 复杂性混沌现象的行为表现往往是复杂、多变的。
正如前面所讲述的，混沌现象的本质是一种有序的、规律性的行为，该行为的规律和复杂性需要通过数学方法来描述。
发现混沌现象是一个不稳定的形态，而这种不稳定的形态之所以会导致复杂性，是因为本身的性质往往是由多个因素的复杂组合进行构建。
混沌理论
混沌理论简介混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法。
混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
这意味着，系统具有放大作用。
一个微小的运动经过系统的放大，最终影响会远远超过该运动的本身。
所以，当有人说，因为英国的一只蝴蝶扇了一下翅膀，中国可能会遭受一场台风时，他的观点里就包含着混沌理论的思想。
两个基本的概念：第一，未来无法确定。
如果你某一天确定了，那是你撞上了。
第二，事物的发展是通过自我相似的规律来实现的。
看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。
有三个原则：1、能量永远会遵循阻力最小的途径。
2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。
3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。
起因混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。
所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。
具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。
但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。
混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。
如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。
混沌理论的特性混沌理论有以下几个特性：1，随机性．2，敏感性． 3，分维性． 4，普适性．5，标度律．运用混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。
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太阳系运动的稳定性问题
• 1887 年,瑞典国王奥斯卡二世以“太阳系稳定 吗?”为题,发出悬奖； • 数学力学家庞加莱前往应征； • 庞加莱从这种“限制性三体问题”的研究中明白 : 三体中小物体的运动相轨线“复杂得我甚至不想 把它画出来”； • 庞加莱还推测到系统的这种紊乱不规则行为对初 始状态有超常的敏感性和终态的不可预测性； • 庞加莱实际上已经遇上了保守系统的“混 沌”(但当时还未用此术语) .
• 19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个 世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论 和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想， 都本源于庞加莱。 • 非线性科学中，那些可以有定量分析、精确 计算、数学理论或实验研究的部分，一般认为 可以归为以下三种：孤立波(soliton)，混沌 (chaos)，分形(fractal)
混沌的发现
真正有心抓住混沌的第一人是Lorenz. 1963年,气象学 家 Edward Lorentz 于《大气科学杂志》发表了一篇 “ 确定性非周期流（Deterministic non-periodic flow）”的论文．．．
因為小數點後的幾位誤差， 讓原本的風和日麗，霎時變成狂風暴雨 讓原本的風和日麗
分形
分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从 规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概 念，曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯 的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描 述方法——分形。分形理论出现较晚，它的数学 准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和 实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从 头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线 的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲 线，导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操 作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分 形数学和分形物理如何结合已经有科学家开始研 究。
用网络，生态网络，蛋白质折叠和工程问题越来越复杂越来越困难
千变万化，丰富多彩的宇宙如何能从简单的基本粒
子，基本相互作用演化而来的呢？
如果人们对基本粒子的性质，基本的物理规律完全
掌握后，是否有可能对我们所生活的世界作各种长 期的精确预言呢？
人们能精确地预言哈雷慧星每76年回归地球一次。但长期的 天气预报进展甚微，这是为什么？
混 沌
这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方 法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围 环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都 有)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、 封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见)。 罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学 推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可 少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理 论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌 理论很起作用，也有些问题则还没有找到合适的 数学工具。
孤立子
孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这 三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追 溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的 一个孤立波，他骑着马跟着这个波，奇怪的是 它直到3-4英里以后才破碎。水波的第一个孤立 波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁 斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立 子从那以后就几乎成了一个独立学科。
混沌理论及其应用
-------20世纪最伟大的三项理论之一
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三者相互联系
以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题 有关。当一个系统或事物里有可调的参量( 设参 量自身不参与随时间变化)，参量不同会引起系 统长期动态发生什么根本的(定性)变化，这是 “分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某 些临界值(叫做分岔点)，系统将有根本的转变， 比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了， 混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在 一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌， 而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时 空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的 观点，在非线性科学这个重大项目里的各个课题， 是既有分工又有联系。
混 沌
混沌，指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动 的规律却可用确定性的方程来描述。庞加莱在总结 天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。 20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩Born)也已明 确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但 混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于60 年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方 程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的， 天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学 家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按 他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。
范德坡和斯密尔
• 1927年,丹麦电气工程师范德坡(VanderPol) 在研究氖灯三极管振荡器时,也观察到某种 不规则行为--“Van del Pol 噪声”现象,但 当时只把它当作噪音而忽略掉了.后来的研 究发现Van del Pole 观察到的不是“噪 声”，而是一种混沌现象
• 1959 年，美国的斯密尔实现了第一个产生 混沌的模型，将一个周期性系统转化为混沌
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初 值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结 果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计 算机却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
蝴蝶效应
Lorenz发现大气运动的相轨线最终落入一条不断 缠绕的紊乱三维曲线(现被称作奇怪吸引子) .计算机实 验表明,这种运动非常敏感于初始状态. 也就是说,遵循 同一组非线性动力学方程的大气系统,从两个有微小 差异的初始状态出发,经过一段时间之后,运动将演化 为截然不同的结果. 这就是确定性动力学系统中出现 的不确定性,是不可避免的“内在随机性”. 洛伦兹把这 种“差之毫厘,失之千里”的现象戏称为“蝴蝶效应”
物理系统 简单系统——自由落体、单摆 复杂系统——分子物理系统
复杂系统
大气系统——风云变幻难测 生物系统——千差万别、种类繁多 经济系统 复杂多变，难以预测控制 社会系统
Internet
WWW
Complex Network Example: Biological Networks 生物系统中的复杂网络：细胞网络，蛋白质-蛋白质作
蝴蝶效应
“一只在北京舞动着翅膀的蝴蝶，竟能在堪萨斯掀起一 阵飓风？”
混沌系統对“初始条件”非常敏感
20世纪非线性科学发展的四个阶段
• • 40年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论 60年代：自组织理论（系统如何从无序→有序）：
Catastrophic Theory （Thom, Arnold)， 超循环论（Eigen）， Dissipative Structure（Prigogine），Synergetics （Haken）
原本天真的以為 這世上 只要幾條簡單的動力學方程式 再配上電腦的超強運算力 人類
便可模擬出自然界的所有現象
．．．
蝴蝶效应
1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家 爱德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空 管计算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为
( y x) x (r z ) x y y z xy bz
•
70年代：非线性科学
（系统如何从有序→ 混沌和无序 →更高层次的有序） Chaotic Dynamics（Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable System－Soliton Theory（Scott，扎哈罗夫）， Fractals （Mandelbrot）
孤立子系统
•目前人们在各种领域都发现了具有这种孤立 子解的物理体系(称为非线性可积系统)，例如 在核聚变的等离子中，在大脑的神经脉冲传播 过程中，在非线性光学中, 在超导隧道结中。 •目前特别引人注目的应用是光孤子通讯。 •实验室内已成功实现数万公里无中继放大器 的光孤子通讯，一根这样的光孤子非线性通讯 光缆相当于十万根传统的线性通讯光缆。
混沌发展简史----从庞加莱到Lorenz
只要给定了初 始条件,就可以 预言太阳系的 整个未来
机械决定论的鼓吹者---拉普拉斯
决定论和概率论
• 尽管拉普拉斯对概率论也做出了很大的贡献,但 他认为概率论只不过是对人类智力(决定论) 缺 陷的一种弥补而已,概率论并未动摇他对决定论 的笃信. • 而麦克斯韦、玻耳兹曼和吉布斯等人建立的统计 力学以及后人建立的量子力学则把概率论的思维 方式推向了顶峰. 决定论和概率论也各自走着独 立发展的道路.
•
90年代：复杂性科学
（复杂性的定义及量度，复杂系统的行为及模型） Neural Network （Hopfield）， Cellular Automaton （Wolfram）， 人工生命
非线性科学
• 非线性科学是一门研究非线性系统的共性，探索 事物复杂性的新学科(science of complexity) 。 • 所谓非线性是相对线性而言的。 • 线性是指量与量之间的正比关系，在平面直角坐 标系统中，表现为直线或曲线。在线性系统中， 分量之和等于总量f (x+y) = f (x) + f (y) and f (ax) = a f(x) , 描述线性系统的方程遵循叠加原理，即方程 的不同解加起来仍然是解。而非线性则刚好相反， 分量之和不等于总量，不遵循叠加原理。