混沌理论及其的应用实例共57页文档
混沌理论及其应用
混沌理论及其应用■背景混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式⩸其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。
在用计算机求解的过程中，Lorenz发现当方程中的参数取适当值时，解是非周期的且具有随机性，即由确定性方程可得出随机性的结果，这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背（确定性方程得出确定性结果）。
随后，Henon和Rossler等也得到类似结论。
Ruelle，May等对这类随机运动的特性进行了进一步研究，从而开创了混沌这一新的研究方向，近二三十年来，近似方法、非线性微分方程的数值积分法，特别是计算机技术的飞速发展，为人们对混沌的深入研究提供了可能，混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。
本文将介绍与混沌有关的基本概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展。
■混沌的基本知识混沌又称为蝴蝶效应，对于初始的条件非常敏感，目前尚无通用的严格的定义，一般认为，一周期信号输入某一确定的系统产生的貌似随机的信号，这种信号具有无穷嵌套和内秉随机性。
例如Logistic 映射，是非线性方程中出现的一个能成功地进行实验数学研究的不寻常的实例，它虽然简单却能体现出所有非线性现象的本质。
以Logistic 映射这只“小麻雀”为例来说明混沌运动的基本性质。
映射如式（1）最初用来描述昆虫的世代变化规律：（1）其中α为控制参量。
从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即x n= f n(x0), n = 0,1,2,…α值确定后，由任意初值x0在[0,1]内变化可迭代出一个确定的时间序列{x n}（称为x0的轨道）。
对于不同的α值系统将呈现不同的特性，如下图（1）所示。
纵坐标为变量x，所属区间为[0,1]，横坐标为控制参量α，所属区间为[0,4]，把参量空间分,500步，对每个固定的参量值α，变量x0从某一个初值开始迭代，把后继500个轨道点都画到所选参量的纵方向上这样扫过全部的参量范围。
(完整版)混沌系统介绍及例子
专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
又称浑沌。
英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。
作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。
虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。
运动的可预测性是一个物理概念。
一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。
牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。
20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。
共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。
混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。
混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。
他提出了著名的Lorenz 方程组：。
这是一个三阶常微分方程组。
它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。
式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。
复杂系统中的混沌理论
复杂系统中的混沌理论随着科技的发展和人们对自然现象的深入研究，有些自然现象被发现是具有一定规律性的，但又有不可预测的性质，这就是混沌现象。
混沌现象在许多自然现象中都会出现，如天气、流体力学、生态系统、股市等，今天我们就来深入研究一下复杂系统中的混沌理论。
一、什么是混沌理论？混沌理论，又称为混沌动力学，是一种研究非线性系统的数学理论。
非线性系统是指系统的输出不随着输入的线性变化而发生的系统，也就是说，非线性系统具有输入输出之间的非线性关系。
而混沌现象就是非线性系统中的一种行为。
混沌现象表现为一种看似无规律但又具有一定规律性和重复性的现象。
混沌理论在20世纪60年代末和70年代初才被发现和研究。
研究混沌现象需要使用复杂的数学方法，如微积分、微分方程、拓扑学等。
但它的突破性发现是由美国的三位著名学者洛伦兹、费根鲍姆和曼德勃洛特在研究大气气象方面的问题时引起的。
二、为什么产生混沌现象？产生混沌现象的原因是因为非线性系统中处于初值极其微小的两个相似系统，在演化中会发生巨大的差别，这种微小差异会被系统倍增放大。
这使得系统的行为变得难以预测，因为小的初值误差会在一定时间内呈现指数增长的趋势。
以上是混沌现象的数学解释，但从实际角度来看，混沌现象在很多系统中都出现了，如生态系统、股市、人口增长等等。
这些系统之所以出现混沌现象是因为它们都是非线性系统，从而使得输出变得更加复杂、不可预测。
三、混沌现象的特征？混沌现象的特征是对初始条件极其敏感、指数级敏感度和同时具有理论可再现性。
对初始条件极其敏感，是指在初始条件微小的偏差情况下，后续状态会完全不同。
这意味着对于混沌系统，重复试验可以得到完全不同的结果。
这是非线性系统行为的关键特征之一。
指数级敏感度是混沌现象的第二个特征，即当微小初始条件的偏差受到系统倍增放大时，它的敏感度呈指数级增长。
这也意味着，随着时间的推移，原来微小的初始值差异会变得越来越大。
同时具有理论可再现性，是指混沌现象是可以通过一组数学公式来模拟和复现的。
生命科学中的混沌理论与应用
生命科学中的混沌理论与应用生命科学是一门研究生命现象的学科，它包含了分子生物学、遗传学、细胞生物学、发育生物学、生物物理学等多个分支学科。
生命科学的发展，不仅是一门科学探索的过程，同时也是对人类认知自身、改变自身的历程。
而混沌理论，则是生命科学中一个新兴而有潜力的领域。
混沌理论最初起源于物理学领域，它指的是非线性系统中的一种动态行为，也就是说当系统非常敏感地依赖于输入的小变化时，系统的行为就会表现出随机、无规律的、似乎没有任何规律可循的特点。
混沌理论的核心思想是探究由简单系统规律的微小变化而产生的复杂行为，以及这些行为对系统整体性质的影响。
混沌现象的发现，为科学研究带来了深远的影响，不仅是物理学，化学、生物学等领域也逐渐引进了混沌理论，并开始探究混沌现象在这些领域的表现和应用。
在生命科学领域，混沌理论的应用日渐扩展。
生命科学中的混沌现象，是由分子层面的随机行为所导致的，比如基因突变、蛋白质折叠等。
而混沌现象在生物分子方面的应用，主要表现在以下几个方面：第一，混沌理论对于探究生物分子在系统中的动态行为有着重要的作用。
生物分子在体内的行为是极其复杂的，分子之间相互作用错综复杂，往往呈现出非线性动态行为。
混沌理论可以帮助研究人员探究生物分子运动规律、群体行为等诸多问题，揭示生物分子之间的相互作用方式，对于探索生物分子的结构和功能变化等方面，都起到了重要的帮助作用。
第二，混沌理论可帮助研究人员深入了解人体内部的代谢活动。
人体内部的代谢过程极其复杂，各个因素之间的相互作用具有非常高的复杂性。
混沌理论可以帮助研究人员探究代谢过程中的非线性动态行为，深入了解人体内部的细胞信号传递和能量代谢等重要信息，为药物研发、疾病诊治和人体健康等方面提供有力的支持。
第三，混沌理论也可以应用于神经系统的研究中，帮助科学家探究神经元在体内的运动轨迹、树突末梢的运动状态、大脑内部信息传递方式等重要问题。
这对于理解大脑的功能和修复神经系统的损伤等方面都具有重要价值。
混沌理论
混沌也能使你更易理解大师们终生的感悟。如道氏眼 中永恒的 5-3 波浪态、江恩《时空隧道》轮中之轮的循环 的描述、其及对书中之书《圣经》的解读， “好的操盘 手是没有观点的操盘手。”爱德华的“顺势而为”《交易 与禅宗》：“让市场而非自我去做决策——我不做技术分 析、基本分析，我仅仅随市场波动。”具备混沌基础后， 再读巴菲特、索罗斯、李佛莫尔、各种各样的华尔街股谚 等，会有全新的认知与感悟，你会看见他们多年的理念与 见识，多方面的认证了混沌世界所认可的规律。更有助于 理解均线系统或MACD等的价值与重点所在，以及RSI、 KDJ等技术指标之无价值。宫本武藏在其传世兵书的序中 写到：“终于在55岁时，我悟到了所谓兵法的精髓，至此 所有的修炼方式对我都失去了意义。我懂得了做一切事情 的至高无上的方法，乃是仿效自然。”
量子世界、人类历史、地震、天气运 行 …… 莫不如此。远至恐龙时代的大小 生态灭绝事件，近至非典、北美大停电、 各国证券市场，每年无数个烟头被仍向 场内，引发或大或小的震动，并蔓延、 终止 …… 但到底哪个烟头，才是那颗重 要的烟头？
相同的初始力，令人瞠目的结果，是所有混沌 系统的基本特征。大家都不难理解，曾救了萨达 姆命的藏身之所，这次偏就成了送命之处，但很 多人却很难理解同样一个历史点位，并不代表同 样的未来。许多历史学家在逐次的趋势和循环中， 搜寻说得过去的理由与解释，显然是用错了工具。 这些传统观念产生于匀衡物理和天文学中，而合 适的工具，却在非线性的非匀衡物理中。新物理 学家们则开始用模拟游戏代替方程式，去发现事 态运行的规律。
混沌理论，这个新世纪科学界的崭新世界观和 方法论，能轻易的扫除许多传统理论的大小谬误 与误区，但其自身的发展，仅仅还只是开始，未 来广阔的进步空间，也将超过今天我们所有的理 解。 布莱克在《混沌开创新科学》写到：“相对论排 除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除 了决定论可预见性的狂想。”更有人说：“ 20 世 纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子 力学和混沌”。“上世纪初人们经历了相对论和 量子力学两次科学革命。混沌革命，却是我们正 在经历的革命。”
混沌理论及其应用实例精品PPT课件
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牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
Period 4
25
Case 4
sufficient small
R
Irregular Random Nonperiodic orbit disclosed orbit
Chaos
26
Attractors of Chua’s circuit
27
28
实验现象的观察一
周期一
周期二
29
实验现象的观察二
铁条
磁铁
y
Duffing方程 yvy (y3y)Fsitn
10
yvy (y3y)Fsitn
F 0 y 1, y 1 y0
两个稳态 一个非稳态
11
双稳态系统 U(x)1kx21x4
24
x
k
k
12
v, F 0
不规则运动
13
yvy(y3y)Fcots v0.3,F0
14
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16
17
Experiment of Shaw(1984)
以往和未来的全部运动状态
4
无阻尼单摆
d2
d2t
g l
sin
0
m
d21
d2t
gl sin1
0
d22
d2t
gl sin2
0
d2(d12 t2)g lsin1 (2)0
混沌理论(Chaos theory)
混合理论attractor近代物理与新认识论1992, 3, 26吴文成混沌──不测风云的背后混沌理论，是近二十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。
量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括巨观世界拉普拉斯﹙Laplace﹚式的决定型因果律。
长久以来，世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，但对无秩序如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突兀增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当的无知。
但是在七Ｏ年代，美国与欧洲有少数科学家开始穿越混乱去打开一条出路。
包括物学家、物理学家及化学家等等，所有的人都在找寻各种俯拾皆是的混沌现象──袅绕上升的香烟烟束爆裂成狂乱的烟涡、风中来回摆动的旗帜、水龙头由稳定的滴漏变成零乱、复杂不定的天气变化与大崩盘的全球股市──的规则与一些简单模式中所隐藏令人惊讶的复杂行为。
十年之后，混沌已经变成一项代表重塑科学体系的狂飙运动，四处充斥为着混沌理论而举行的会议和印行的期刊。
它跨越了不同科学学门的界线，因为它是各种系统的宏观共相，它将天南地北各学门的思想家聚集一堂。
年轻的科学家相信他们正面临物理学改朝换代的序幕。
他们觉得物理学这行已经被高能粒子和量子力学这些华丽而抽象的名词主宰得够久，直到混沌革命──可以连接微观和宏观上百万物体集体行为之间的深深鸿沟的新起科学──开始时，顶尖物理学家才发现自己心安理得地回归到属于人类尺度的某些现象。
混沌理论的近代研究，逐渐领悟到自己正抗拒科学走向化约主义的趋势。
相当简单的数学方程式可以形容像天气或瀑布一样粗暴难料的系统，只要在开头输入小差异，很快就会造成南辕北辙的结果，这个现象被称为「对初始条件的敏感依赖」。
例如蝴蝶效应──今天北京一只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动，可能导致下个月纽约的大风暴──使得科学家始终无法模拟天气这个复杂系统，更不用说去精确地预测天气。
许多学科中，都背负着牛顿式决定论的担子。
混沌理论及其应用实例
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牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
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不存在能量以外的解析不变量，力学系统运动的稳定性成 了大问题。KAM不从整体的不变量行为讨论，而就给定的 具体环面的稳定性问题讨论
图像：在 1 时大多数环面微小变化，环面原有基本特
性得以保持。少量环面被极大破坏和变形。被破坏环面测 度小，但稠密地镶嵌于未被破坏的环面之间，这使整体的 解析不变量不存在
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(2) KAM理论(Kolmogorov- Anold- Moser)
1954, 前苏联数学家Kolmogorov(柯尔莫哥罗夫) 提出定理, 1963, 其学生Anold(阿诺德)给出定理的严格证明, 1973, 瑞士数学家Moser(莫塞)给出改进的证明. 不可积系统:
H H0 H1(J1, J2, θ1, θ2 )
理论解析分析: 有时+计算机分析
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1.2 非线性系统和混沌现象
非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态
附近的近似结果,自然界本质是非线性的.
弹性振动
1.简谐振动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位
移, 势能 U (x) 1 2x2
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牛顿第二定律: 线性系统
d2x m d 2t
解
x x0et , t 0,x x0 t , x
考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用