分岔与混沌理论与应用作业

分岔与混沌理论与应用

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我对混沌理论的认识

1、混沌理论概述

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为简单，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。

混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是蝴蝶效应。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。

2、分叉的概述

分叉理论研究动力系统由于参数的改变而引起解的拓扑结构和稳定性变化的过程。在科学技术领域中，许多系统往往都含有一个或多个参数。当参数连续改变时，系统解的拓扑结构或定性性质在参数取某值时发生突然变化，这时即产

生分叉现象[5]。

根据研究的目的，范围和对象以及方法的不同，分叉问题有不同的分类。根据系统轨线的范围可以分为局部分叉和全局分叉。局部分叉仅研究在平衡点或闭轨附近的某个邻域向量场轨线的拓扑结构的变化，全局分叉粗略的说就是非局部分叉，，局部分叉反映出许多实际工作中的分叉问题[6]。

在通常的分叉研究中可将分为静态分叉和动态分叉。静态分叉主要研究平衡点分叉。动态分叉主要研究闭轨，同宿轨线，异宿轨线，不变环面等的分叉，因而动态分叉实际上包含了静态分叉问题[6]。

分叉问题研究的内容广泛而丰富，即需要较厚的数学基础，有需要较宽的专业知识，归纳起来，大致可分为如下几个方面：

分叉集的确定，即确定分叉的必要条件和充分条件，这是分叉研究的基本内容。

分叉定性形态的研究，即研究分叉出现时系统拓扑结构随参数变化的情况，这是分叉研究的重要内容。

分叉解的计算，即系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分叉的直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要采取实用而有效的近似方法。

各种不同分叉的相互作用，以及分叉与动力系统的其他现象如混沌的联系。

3、通往混沌的道路

(1)倍周期分叉

分叉与混沌有着密切联系，系统周期解在一定条件下，会产生倍周期分叉。随着系统参数的变化，这种分叉可以无限延续下去，直至周期演化为无限的，出现混沌。

(2)阵发性分叉

阵发性分叉是指在分叉图上，系统的周期解随着参数的逐渐变化，在达到某一值时，不经过一系列的分叉，而是突然变成非周期的而成为混沌，分叉过程具有明显的跳变现象。

(3)由拟周期（准周期，概周期）通往混沌的道路

系统经过无穷多次准周期分叉进入混沌。只要经过有限次，一般几次即可进入混沌，这条道路是指直接通过若干次分叉进入混沌。

4、混沌理论的特性

(1)随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、韧始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。

(2)敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

(3)分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

(4)普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ＝4．669201609l0299097…

(5)标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。

5、混沌理论的应用

混沌理论也就是非线性动力系统的理论，包含了分叉现象、稳定的周期轨道运动和不稳定运动的组织、多解的共存和解的吸引槽的结构等等。尽管目前混沌理论还仅限于确定的、低维的系统，但在机械工程中已有不少应用，而且可以预料：随着研究的深入，理论本身会不断地发展，应用也会更加广泛。目前，有可能应用于机械工程的是混沌理论中的非线性时间序列分析和混沌的控制理论。