巧用三角函数解物理题(一题多解)

巧用三角函数解物理题
数学是自然科学的皇后与奴仆。

数学中的许多知识在物理解题中都有非常广泛的应用，如三角函数知识在解力、热、光学题，特别是竞赛题时，有着十分独特的作用。

平时解题时，若能注意引导学生充分利用三角函数知识解决相关物理题，不仅会简化解题过程，而且对增强学生逻辑思维能力，提高解题速度，都大有裨益。

一、三角函数与追击中的最值问题
例1.如右图所示，某人站在距公路40m 的A 处，发现公路上有一汽车从B 处以
的速度沿公路匀速行驶，已知AB 相距100m ，问此人最少要以多大的速度沿什么
方向奔跑才能与汽车相遇？
解析：本题在审题时切莫以为只要人奔跑的速度最小，跑的路程就应最短，得
出应沿与公路垂直的方向，即AO 方向奔跑的错误结论来。

因为速度的大小，不
单纯地取决于路程的长短，还受到通过该路程所能用的时间的限制。

解法一：设人应沿与AB 成θ角的方向奔跑，经时间t 与汽车在C 处相遇（如右
图），则：
s BC v t s AC v t 车人人，====0.过B 点作BD ⊥AC ，垂足为D.
因为△BCD ∽△ACO,所以B D B C A O A C
=.又因为BD AB =sin θ,所以0sin v t AB BC AO AC v t θ==人,即04/sin sin v AO v m s AB θθ
==人·. 显然要v 人最小，sin θ要最大，sin θθ==︒190，，此时，v m s 人min /=4。

即此人最少以4m/s 的速度沿垂直于AB 的方向奔跑，才能与汽车相遇。

解法二：设人以速度v 朝某一方向奔跑经过t 时间与汽车相遇
在C 点，如右图所示。

根据题意，得010BC v t t ==，根据勾股
定理
得OB ==
，
1010(OC BC OB t t =-=-=，勾股定理
222OC OA AC +=
，222210(40()t vt +=，简化为关于t 的
一元二次方
程22(100)100000t v --+=，存在解
则
2224(100)1000040000(84100)v v ∆=--⨯=-+，2160v -≥，即4/v m s ≥，当以最小速度min 4/v m s =运动时，此时对应
的t ===
，
40cos 4θ=
====，即与OA
成偏右arc θ=二、三角函数与杠杆中的最值问题
例2.如右下图所示，一根4m 长的木杆下端用铰链固定在地面上，杆顶有一根绳子水平向左拉，拉力恒为T ，杆的右边用一根铁丝欲将杆竖直固定在地面上，铁丝长为4m ，为了使铁丝上的拉力最小，其上端A 应固定在杆上离地面多高的地方？
解析：由于木杆上端所受水平向左的拉力T 一定，其力臂长也为定值（等于CD 的长），故影响铁丝上拉力F 变化的原因只有一个，就是其力臂DE 的长短，而DE 长短的变化又是受AB
倾斜程度控制的，
AB 的倾斜程度我们可用AB 与地面间的夹角θ的大小来衡量。

因为DE DB DB AB ==sin cos θθ，
所以DE AB m m ===sin cos sin cos sin θθθθθ422··
又由杠杆平衡条件得：T CD F DE ··=
T m F m F T ···，42222==sin sin θθ
当sin 2θ取最大值1，即θ=︒45时，F 最小，这时
AD AB m m ==︒=··sin sin θ44522
三、三角函数与杠杆（非共点力）平衡中的不定值问题
例3.如右图右，O 是杠杆OA 的支点，B 是OA 的中点，今在B 点挂一重物G ，若要在A
点用不大于G 的拉力使杠杆保持水平平衡，则拉力与水平面间的夹角变化范围多大？
解析：欲用不大于G 的拉力，使杠杆处于水平平衡状态，根据杠杆平衡条件，就要F
的力臂OC 不小于重物G 的力臂OB （如右图）。

因为OC OA OB OA ==·，sin θ12，要使OC OB ≥，就要sin θ≥12
，所以θ的变化范围为30150︒≤≤︒θ。

四、三角函数与光的反射问题
例4.有一种液面微变监视器，基本结构原理如图6所示，光束发射器始终以
一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束经液面反射，其反射光线被水平放臵的平面光电转换器接收，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来。

若反射到光电转换器接收平面上的光点从S 1点移向S 2点，则表明被监视液面 （选填“上升”或“下降”）；当液同上升高度一定时，接收平面上的光点S 1和S 2之间的距离与接收平面到液面的距离有没有关系？ （选填“有”或“没有”）
解析：当入射光线方向不变，即入射角不变时，入射光线的入射点会随液
面的升降而改变，从而引起反射光线左右平移。

当液面上升（或下降）时，
入射点就沿着入射光线的方向向左（或右）移，反射光线也跟着向左（或右）
平移，这样就导致光电屏上的光点左（或右）移。

由题设不难推知液面是上
升的。

设：第一次反射光线O S 11与新液面交于点M ，第一次反射所作的法线与新
液面交于点N ，液面上升的高度为∆h ，则O N O M 12⊥且O N h 1=∆（如右下图）.
因为S S O M O S MS 122221////，，所以四边形O MS S 212为平行四边形，S S O M 122=，不难证得Rt O NO Rt O NM ∆∆121≅，所以O N MN 2=. 在Rt O NO ∆12中，O N O N 21=tan α, 所以S S O M O N h 122222===∆·tan α,说明接收平面上光点S S 12之间的距离只跟液面升降的高度∆h 有关，而与接收平面到液面的距离无关。

五、三角函数与共点力分解与合成中的极值问题
例5.如右图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m 的质
点在外力F 的作用下从坐标原点O 由静止沿直线ON 斜向下运动，直线
ON 与y 轴负方向成θ角(θ＜错误！未指定书签。

)，则F 的大小至少为 ；若=F m g t a
n θ，则质点的机械能大小的变化情况
是 ．[2008年高考〃上海物理卷]
解法一：该质点在重力和外力F 的作用下从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如右图所示，当F 的方向为a 方向(垂直于ON )时，F 最小为mgtan θ；若=F mgtan θ，即F 可能为b 方向或c 方向，故除重力外的力F 对质点可能做正功，也可能做负功，所以质点的机械能增加、减少都有可能．
解法二：根据正弦定理或拉米定理，得sin sin G F αθ
=，可得sin sin G F θα=，当2πα=时，sin α有最大值，此时F 最小为mgsin θ。

[答案]mgsin θ，增加、减少都有可能。